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1、第三届“长江杯”全国数学邀请赛预赛试题（七年级）一、选择题（每小题5分，共30分以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的）1以下四个论断中不正确的是( )A在数轴上，关于原点对称的两个点所对应的两个有理数互为相反数 B两个有理数互为相反数，则它们在数轴上对应的两个点关于原点对称 C两个有理数不等，则它们的绝对值不等 D两个有理数的绝对值不等，则这两个有理数不等2我们从不同的方向观察同一物体时，可能看到不同的图形.则从正面、左面、上面观察都不可能看到长方形的是( )ABCD 3在代数式中，x与y的值各减少25，则该代数式的值减少了( )A50 B75 C D4如果，且.则下列说法中可能成立的是(
2、)Aa、b为正数，c为负数 Ba、c为正数，b为负数 Cb、c为正数，a为负数 Da、c为负数，b为正数第5题图5如图，若ABCD，则等于（ ）A50 B40 C30 D206商家获得的利润按以下公式计算：利润=售价进价售价税率.若税率由b%调为c%，且商品的进价和利润都未改变，则商品的售价是原来的( )A倍 B倍 C倍 D倍二、填空题（每小题5分，共30分。）7 计算：= 8关于x的方程的解是 9方程|2015x2015|=2015的根是 10若，则的值等于 11若P是质数，且P+3整除5P，则的末位数是 12时钟的分针和时针在下午4点至5点成45角的时刻是 三、解答题（每小题15分，共60
3、分，写出推理、运算的过程及最后结果）13小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题：“当式子取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ”小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了。”小明说：“利用数轴可以解决这个问题。”他们把数轴分为三段：，和，经研究发现，当时，值最小为3请你根据他们的解题解决下面的问题：（1）当式子取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 (2)已知，求相应的x的取值范围及的最大值。写出解答过程14已知O为直线AB上的一点，COE是直角，OF平分AOE（1）如图1，若COF=34，则BOE=；若COF=n，则BOE=；BOE与COF的数量关系为 （2）当射线OE
4、绕点O逆时针旋转到如图2的位置时，（1）中BOE与COF的数量关系是否仍然成立？如成立请写出关系式；如不成立请说明理由（3）在图3中，若COF=65，在BOE的内部是否存在一条射线OD，使得2BOD与AOF的和等于BOE与BOD的差的一半？若存在，请求出BOD的度数；若不存在，请说明理由第14题图15(本小题满分15分)老师带着两名学生到离学校33千米远的博物馆参观老师乘一辆摩托车，速度为25千米小时这辆摩托车后座可带乘一名学生，带人后速度为20千米小时学生步行的速度为5千米小时请你设计一种方案，使师生三人同时出发后都到达博物馆的时间不超过3个小时16有依次排列的3个数：3，9，8，对任相邻的
5、两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，8，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可产生一个新数串：3，3，6，3，9，9，8，继续依次操作下去，问：从数串3，9，8开始操作第一百次以后所产生的那个新数串的所有数之和是多少？第三届“长江杯”全国数学邀请赛预赛试题 七年级参考答案一、选择题1D 2C 3C 4C 5B 6A二、填空题7 84 9 103 118 12下午4点分或4点30分三、解答题13（1） 和8； （2）当，时当，时当，时 所以时，有最大值14（1）COE是直角，COF=34， EOF=9034=56， 由OF平分AOE AO
6、E=2EOF=112， BOE=180112=68； 当COF=n， EOF=90n， AOE=2EOF=1802n， BOE=180（1802n）=2n， 所以有BOE=2COF 故答案为：68，2n，BOE=2COF；（2）BOE与COF的数量关系仍然成立理由如下： 设COF=n，如图2， COE是直角， EOF=90n， 又OF平分AOE AOE=2EOF=1802n， BOE=180（1802n）=2n， 即BOE=2COF；（3）存在理由如下： 如图3，COF=65， BOE=265=130， EOF=AOF=9065=25， 而2BOD与AOF的和等于BOE与BOD的差的一半， 2
7、BOD+25=（130BOD）， BOD=1615要使师生三人都到达博物馆的时问尽可能短，可设计方案如下： 设学生为甲、乙二人乙先步行，老师带甲乘摩托车行驶一定路程后，让甲步行，老师返回接乙，然后老师带乘乙，与步行的甲同时到达博物馆 5分 设老师带甲乘摩托车行驶了x千米，用了小时，比乙多行了这时老师让甲步行前进，而自己返回接乙，遇到乙时，用了乙遇到老师时，已经步行了离博物馆还有 要使师生三人能同时到达博物馆，甲、乙二人搭乘摩托车的路程应相同，则有 13分即甲先乘摩托车24千米，用时1.2小时，再步行9千米，用时1.8小时，共计3小时因此，上述方案可使师生三人同时出发后都到达博物馆的时间不超过3个小时 15分16 一个依次排列的n个数组成一个n一数串：， 2分 依题设操作方法可得新增的数为： 所以，新增数之和为： 6分 原数串为3个数：3，9，8 第1次操作后所得数串为：3，6，9，8 8分 根据（*）可知，新增2项之和为： 第2次操作后所得数串为： 3，3，6，3，9，9，8 10分 根据（*）可知，新增2项之和为： 12分 按这个规律下去，第100次操作后所得新数串所有数的和为： 15分7
第三届“长江杯”全国数学邀请赛预赛试题(七年级)
