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1、 石墨烯电子狄拉克方程之数理演绎 （2015年5月1日） 作者： 北京东之星应用物理研究所 伍 勇 ， 贺 宁（计算机软件工程师）1. 量子场论中狄拉克方程的引出非相对论量子力学中，速度的自由粒子运动状态由薛定谔方程描述（自然单位）：从能量-动量色散关系，对应算符变换： 容易导出自由粒子薛定谔波动方程： （1） 当，粒子服从相对论量子力学能量-动量色散关系 , 由上述算符对应关系可建立场 的克莱因-戈登（Klein-Gordon）相对论波动方程,又称KG方程： （2） 或 其中， 狄拉克凭借理论直觉，对（2）两端做形式开方，以维持算符线性化（对t二次微商会导致负几率困难）得到： , （3）这就
2、是三维自由粒子的狄拉克方程（Dirac equation）。态函数是函数空间和4维自旋空间的直积空间中的矢量，比例参量，的形式和性质如是： , ，其中为2X2单位矩阵，三个泡利矩阵 ， ， （4）易证：, 引入： 可将狄拉克方程（3）写成四维形式： （5）这里，证明(3),(5)的一致性如下：方程(3)乘() ; ()方程左端有 于是由（3）导出（5）。由于动量算符与哈密顿算符对易，故有共同本征函数，设狄拉克方程（3）的自由电子平面波解形式为， （6a） ， ， ， （6b） ,称为旋量，称为双旋量，易验证4分量态函数亦是动量本征方程 的解。将（6）代入（3），得到定态狄拉克方程： （7）也是
3、哈密顿量的本征方程，其中，根据（4） （8）方程(7)变形为， （7a）由于，证明详见参考文献1），由(7a)的久期方程，解得狄拉克电子能量，由此知对应同一个动量值，狄拉克电子的本征能量应有正，负两个取值。接着，求解本征矢。 显见同时也与螺旋度算符对易（文献1），2）中也有证明），螺旋度算符定义为自旋在动量方向上的投影，由此便可定出，所以是,的共同本征态，由三算符可确定高度简并的的具体形式。 这里，的本征方程是： ，将定义中因子1/2去掉，不影响方程表达，螺旋度算符本征值 （9）打开矩阵，可知，满足相同的本征方程，二者只相差一常数。先定出。 （9a）在球坐标中，的单位方向矢量, , （10a）
4、 方程（9a）成为： （10）当：（10）的两个联立方程是 解得 写成对称形式 (右旋态）， （11a）同法可得 (左旋态）， （11b） 下面，回到哈密顿本征方程（7），以确定的，。 利用（8）和（10a）: ， 哈密顿本征方程（7） 变形如是： 便得到等价方程(12)： (12)展开哈密顿矩阵，解联立方程（13），对于选定的动量本征值，得出,的四种共同本征态：，=选定，； 根据(11a), ， 代入方程（13，3）得： 代入方程（13，4）得： 于是狄拉克方程（3）的平面波解并对应本征值的,的共同本征矢，四分量旋量波函数如是： （14）N是归一化因子。，=，； 根据(11b),，, 与方法
5、相似，于是狄拉克方程（3）平面波解并对应本征值的,的共同本征矢量如是： （15），=，； 根据(11a), ，原方程（12）可变形为：同法解得： 利用，即，改写为， 类似，解得于是狄拉克方程（3）平面波解并对应本征值的,的共同本征矢量如是： （16），=，； 根据(11b),，, 与方法相似，解出狄拉克方程（3）平面波解并对应本征值的,的共同本征矢量如是： （17）由可定出归一化因子,将（14）代入此式得到：至此，自由粒子狄拉克方程四分量旋量波函数完全确定。狄拉克方程（7）的一般解则是这四种基矢量的线性叠加。2. 石墨烯狄拉克方程的建立在参考文献5），即本篇文档的第（一）篇，里，我们计算出石墨
6、烯的能带： （18）为考察石墨烯的狄拉克电子的性质，将在狄拉克点（亦称费米点）附近展开，令， ，代入表达式（18）：这里，是相对狄拉克点的动量， ； 打开三角函数，化简，于是得到，或写为 （19）若直接用泰勒公式在狄拉克点，也就是费米点（能带与费米面交于六个点（），是能带零点。见图2）或文献5），对能带作级数展开应得到：对比（19）可知。是电子的费米速度。这就是狄拉克点附近石墨烯电子能量与动量的线性色散关系。分别对应，和能带。联系哈密顿量的本征方程的本征值表达式（19），可由久期方程导出：，于是得到矩阵： （20）， ，因而石墨烯电子哈密顿方程是 （21）这正是狄拉克方程（7），当时的2维表达
7、形式，因此石墨烯电子在点遵守2D狄拉克方程（21）。因为当，时，基矢量.,（14）.（17），约化为两个，4维旋量空间约化为2维，将代入（11）式，便得到方程（21）在点的二分量波函数，现称狄拉克费米子: （22a） 这里，在动量空间将反射为，那么得，或等价为将式(20)的改为，则得到对应的波函数： （22b）（19） 表明在布里渊区点附近能带色散关系呈线性，形成狄拉克锥结构,图2,图3是作者分别用Math和ProE软件绘制的： 据文献综述拓扑绝缘体是因为强自旋轨道耦合，才出现边缘态使平庸的能带拓扑结构扭结成狄拉克锥，自旋指向被轨道锁死，如图2。但石墨烯的低能电子只受到极弱的自旋轨道耦合作用，
8、却出乎意外的在室温实现量子霍尔效应，对磁场做出独特不群的响应。石墨烯电子在费米面附近失去有效质量，而磁场中回旋质量 不为零，却与一般能带电子不同，由质能方程描述： 简洁的石墨烯真是按照实验和理论物理学家用愈来愈现代繁多艰深的数学语言所精心拼接建构的那种模样？雾镜水影，我们在跑马看花。3.结束语第（一）篇，里（参考文献5），我们曾从非相对论的薛定谔方程出发，到达本篇却见到的是相对论的狄拉克方程，描述着石墨烯费米面附近的主角电子。也许应该讲它是 电子“卸装”（或“卸妆”）后的准粒子-相对论性狄拉克费米子，高能物理告诉我们，中微子与电子常常如影随行，石墨烯的狄拉克方程（21）不是更像是无处不在的自旋
9、1/2，静止质量非常小，能以光速（不时又见报道c）飞行，称为宇宙隐身人的中微子态方程?作者真有“种瓜得豆”的感觉。石墨烯电子的质量m到哪里去了？转变为高速度状态的能量了?在建立薛定谔方程时我们并没有考虑电子的自旋，也许是A，B两种子晶格之间的跃迁主导了赝自旋的角色，使得在低能凝聚态物理里见到相对论粒子?它们这样自然的必然的联系着，演绎着。看一看我们绘制的碳原子，凭借电子s，p轨道杂化，d轨道的重排扩展在自然界1D到3D表现为百变的脸谱，显示出无可匹敌的可塑性，可适性，包容性。 我们相信碳原子，石墨烯.以及它的庞盛家族，在神秘的生命和遥远莫测的宇宙中涉足万相万物，打开与它相关的问号，可以揭示我们至今还没有正确认知的物理。参考文献：1）钱伯初，曾谨言：“量子力学习题精选与剖析”p261,科学出版社2）喀兴林：“高等量子力学”高等教育出版社3）黄昆，韩汝琦：“固体物理学”高等教育出版社4）陆栋，蒋平，徐至中：“固体物理学”上海科学技术出版社5）伍勇， 贺宁：石墨烯电子的能带和狄拉克方程(一)-石墨烯电子能带之数理演绎 6) 伍 勇，贺 宁：石墨烯能带旋转图，视频剪辑 (.avi)
石墨烯电子的能带和狄拉克方程(二)
