《圆》回顾与思考

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1、第三章 圆回顾与思考（第 2 课时）教学设计一、学生起点分析学生的知识技能基础 通过本章内容的学习，学生初步掌握圆的相关知识，结合圆复习课第一 课时，逐渐形成“圆的基本概念与定理” 、“与圆有关的位置关系” 、“与圆有关的 计算”的知识网络体系 .学生活动经验基础在圆的相关知识的学习过程中， 学生逐渐形成了数学思想方法， 如在探索圆 周角与圆心角关系、点与圆、直线与圆的位置关系的过程中体会分类讨论思想， 研究拱桥跨度、拱高等问题时建立建模思想，研究垂径定理、圆心角、弧、弦之 间关系定理时体会化归与转化思想等 . 同时在以往的数学学习中学生已经经历了 很多探究学习的过程， 具有了一定的探究学习的

2、经验， 具备一定的提出问题、 分 析问题的能力 .二、教学任务分析通过复习课第一课时内容的学习， 学生对 圆的知识网络体系进行了初步 的梳理与构建 . 本课通过创设开放性的问题情景，引导学生综合应用知识从不同 角度展开提问并尝试解答，从另一个维度对本章的数学知识与思想方法进行反 思，通过进一步整合、重组，将其内化到学生原有的认知体系中 . 为此，本节课 的教学目标是：1通过问题的设计，对圆的相关知识与思想方法进行反思，逐步培养提出 问题，分析问题的能力；2在解决具体问题的过程中，构建圆的知识体系，内化数学思想方法 . 3在探索活动中通过合作与交流，进一步发展合作交流的能力和数学表达能力.三、教

3、学设计分析本课共分三个环节：问题开放、变式练习、总结归纳第一环节：问题开放如图：已知在 ABC中，AB=AC,以AB为直径的 O O交BC于点D,过D作DE丄AC于点E, CD = .3 , / ACB=30 o .请同学们尝试提出问题分析本题改编自一道课后练习题，题目的信息量非常丰富，由于问题的 开放性，学生可提出问题的角度很多，如垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、点 与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、与圆有关的计算等 如：问题1:求证点D是BC的中点;AD，构造直径所对的圆问题2:求O O的半径；问题3:求点O到BD的距离； 问题4:求证DE是O O的切线;学生提出问题后，分组并进行求解或

4、证明问题1:求证点D是BC的中点；分析本题涉及圆的基本概念与性质，通过连接 周角，利用直径所对的圆周角是直角，等腰三角形三线合一，即可得证本题辅 助线的构造方式是有关圆问题讨论的常用方案， 本题也较好地体现了转化的思想 方法.类似地，学生还可以提出：求证 AD平分/ CAB.问题2:求O O的半径;分析利用含30o角的直角三角形边角关系，勾股定 理，等边对等角等方法，便可求得半径本题较好地体现了 圆与三角形知识的综合应用类似的，学生还可以提出：求DE、AE、AD的长度, 解题思路类似问题3:求点O到BD的距离;分析本题通过作 OF丄BD,构造垂径定理基本模型，结合勾股定理便可求得结论.教师点拨

5、：以上几个问题主要涉及圆的基本概念与定理， 请同学们谈一谈学 习这部分内容的知识线索？圆具备轴对称性和旋转对称性，利用轴对称变换的方法我们探索垂径定 理及其逆定理，然后用推理证明的方法进行证明；用旋转变换的方法我们探索圆 心角、弧、弦之间相等关系的定理，然后加以证明；我们还用推理证明的方法研 究了圆周角与圆心角的关系教师点拨：虽然圆这部分涉及的知识非常丰富， 但只要我们把握了学习的基 本线索，相关的概念、定理便易于理解、掌握 本章还研究了与圆有关的位置关 系，请同学们继续就有关内容提出新的问题？问题4:求证DE是O O的切线分析本题主要考察直线与圆的位置关系， 证明方法多种，涉及知识面较再进行

6、分组讨论,丰富，是一个很有价值的问题为此，本题先由学生独立完成, 讨论、比较不同的证明方法，总结规律证法1:由于已知点D为圆上一点，要求证 DE是。O的切线，根据切线得判定定理，可构造辅助线 0D，并 证明半径0D丄DE.具体方法如下：连接 DO、AD，因为AB 是直径，所以/ ADB = 90 o,即/ 1 + Z 4 = 90 o；又 因为 DEX AC 所以/ 4+Z C = 90 o,可得/ 1 = / C = 30 o.因为 AB = AC,所以/ B=/ C = 30 o,故/ 3= 90 o -/ B = 60 o；又因为 OD =OA,所以/ 2=/ 3 = 60 o,所以/

7、ODE=/ 1 + / 2 = 90 o,即半径 OD丄DE,从而得证DE是。O的切线.教师点拨：这种证法的亮点在于准确把握了证明直线与圆相切的一种常用的 辅助线作法，构造半径 OD，通过证明OD丄DE，从而得证DE是O O的切线.还有其它证明方法吗？证法2:可以通过证明 OD / AC,由/ ODE=/DEC=90 o,证明DE是O O的切线.具体方法如下：连接DO,因为 OB=OD, AB=AC，所以/ 5=/ B,/ C=/B,故/ 5=/ C, 所以 OD / AC;又因为 DEX AC,所以/ ODE = / DEC= 90 o，即半径OD丄DE，所以DE是O O的切线.教师点拨：本

8、题结合了平行线的性质与判定， 使证明方法更简洁了，可见在几何证明过程中，知识综合应用的优越性.证法3:还有更简洁的方法！由于 BO=AO, BD=CD，禾U用三角形中位线即可得证OD/ AC,便易证DE是O O的切线.分析通过一题多证，从多角度构建起知识的联系与拓展， 进一步丰富的 几何知识体系的构建教师适时进行点拨，结合本题总结归纳直线与圆的位置关 系的有关知识以及与切线有关的常用辅助线作法第二环节：变式练习变式：如图，已知O O的直径 AB = 2，Z ABC = 30 o,BC = 2 ,3 , D是BC的中点，试判断点D与O O的位置关系.请判断下列解题过程是否正确?解：连接OD、AD

9、,v AB是直径 :丄 ADB= 90 ovAO=BO1二 OD= AB =AO2点D在圆上分析本题考查点与圆的位置关系，基本的思想方法是转化为点到圆心的 距离与半径比较，即把“形”的关系，转化为“数”的关系该题解题过程为看似利用“直径所对的圆周角是直角”以及“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”便可获得结论，然而仔细分析题目条件却发现/ADB并没有条件确定圆周OD的长度，再与半径角，条件不完备，解法错误本题应利用勾股定理计算出 比较作出判断解：连接OD，作 OF丄BC于点F11在 RtABOF 中，/ B= 30 o, OF = - OB=丄22 BF= . BO2 -OF 2-2v D 是

10、 BC 中点，BC = 2 3，BD= BC= - 3 2 DF = BD BF =2在 RtA DOF 中,二 OD = OB点D在圆上第三环节课堂小结1 通过开放问题情景，从多角度提出问题，逐步培养提出问题，解决问题 能力；2.圆的内容综合性较强，在具体应用中，进一步完善知识体系构建四、教学设计反思学生从不同角度展开提问并尝试解答，让学生把本章的知识点重新组织起来 由于问题的开放性，学生提问的角度有许多，包括垂径定理、圆心角、弧、弦的 关系、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、与圆有关的计算等通过教师引导，学生参与提问，并尝试解决的方式，体现了学习的自主性，是一种主动参 与，思维是开放的有助于学生对所学知识的进一步理解与掌握，有助于把章节 知识内化到学生原有的认知体系中，符合新课程教学的基本理念.