初三数学相似三角形典型例题(含标准答案)

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1、初三数学相似三角形（一）相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是：1. 理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比，了解黄金分割。2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成已知比。3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。4. 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。相似三角形是平面几何的主要内容之一，在中考试题中时常与四边形、圆的知识相结

2、合构成高分值的综合题，题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在10%左右，有时也单独成题，形成创新与探索型试题；有利于培养学生的综合素质。（二）重要知识点介绍：1. 比例线段的有关概念：在比例式ac：中，、叫外项，b、c叫内项，a、 c叫前项，(ab cd )abddb、 d 叫后项， d 叫第四比例项，如果b=c ，那么 b 叫做 a、 d 的比例中项。把线段 AB 分成两条线段AC和 BC，使2黄金分割， C 叫做线AC=AB BC，叫做把线段 AB段 AB 的黄金分割点。2. 比例性质：基本性质：acadbcab cdbdbd合比性质：acbdac?m (bd ?n0)ac?ma等

3、比性质：bd?nbbdn3. 平行线分线段成比例定理：定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1 l 2 l 3 。ABDE，ABDE，BCEF ，?则BCEFACDFACDF1/12推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。4. 相似三角形的判定：两角对应相等，两个三角形相似两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似三边对应成比例，两三角形相似如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个

4、直角形相似平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交， 所构成的三角形与原三角形相似直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似5. 相似三角形的性质相似三角形的对应角相等相似三角形的对应边成比例相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比相似三角形周长的比等于相似比相似三角形面积的比等于相似比的平方【典型例题】例 1.（ 1）在比例尺是1：8000000的中国行政区地图上，量得A、 B 两城市的距离是 7.5厘米，那么A、 B 两城市的实际距离是千米。（ 2）小芳的身高是1.6m ，在某一时刻，她的影子长2m，此刻测得某建筑物的影长是18 米，则此

5、建筑物的高是米。解： 这是两道与比例有关的题目，都比较简单。（ 1）应填 600 （ 2）应填 14.4 。例 2. 如图，已知 DE BC，EF AB，则下列比例式错误的是：ADAECEEAA. ABACB.FBCFC.DEADEFCFBCBDD. ABCB分析：由 DE BC，EF AB 可知， A 、 B 、 D都正确。而不能得到DEAD ，BCBD故应选 C。利用平行线分线段成比例定理及推论求解时，一定要分清谁是截线、谁是被截2/12线， C中 DE 很显然是两平行线段的比，因此应是利用三角相似后对应边成比BC例这一性质来写结论，即DEADAEBCABAC例 3. 如图，在等边 ABC

6、中， P 为 BC 上一点， D 为 AC上一点，且APD=60 ，BP 1， CD2 ，求 ABC 的边长3解： ABC 是等边三角形 C= B=60又 PDC= 1+ APD= 1+60 APB= 1+ C= 1+60 PDC= APB PDC APBPCCDABPB设 PC=x ， 则 AB=BC=1+x x2x3， x2，11 AB=1+x=3 。 ABC 的边长为3。例 4.如图：四边形ABEG、 GEFH、 HFCD都是边长为a 的正方形，（ 1）求证： AEF CEA（ 2）求证： AFB+ ACB=45分析： 因为 AEF 、 CEA 有公共角AEF故要证明 AEF CEA只需

7、证明两个三角形中，夹AEF、CEA 的两边对应成比例即可。证明：（ 1）四边形ABEG、 GEFH、 HFCD是正方形 AB=BE=EF=FC= ，a ABE=90 AE2a， EC2a3/12 AE2a2， EC2a2EFaAE2a AEECEFAE又 CEA= AEF CEA AEF（ 2） AEF CEA AFE= EAC四边形ABEG是正方形 AD BC， AG=G ，E AG GE ACB= CAD， EAG=45 AFB+ ACB= EAC+ CAD= EAG AFB+ ACB=45例 5. 已知： 如图， 梯形 ABCD中， AD BC，AC、BD交于点 O，EF经过点交AB 于

8、E，交CD于F求证： OE=OF证明： AD EFBCOEAEOEEBBC，ABADABOEOEAEEBABBCADABAB11AB11 OE=OFBCADOE同理：111 1 BC1 AD OF OE OF从本例的证明过程中，我们还可以得到以下重要的结论： AD EF111BCADBCOE AD EF BCOEOF1EF2 AD EF11112即1BC1ADBCOEOFADEF2O且和两底平行，12BCEF4/12这是梯形中的一个性质，由此可知，在AD、 BC、 EF 中，已知任何两条线段的长度，都可以求出第三条线段的长度。例 6. 已知：如图， ABC中， ADBC于 D，DE AB 于

9、E ， DF AC于 F求证：AEACAFAB分析： 观察 AE、 AF、 AC、 AB 在图中的位置不宜直接通过两个三角形相似加以解决。因此可根据图中直角三角形多，因而相似三角形多的特点，可设法寻求中间量进行代换，通过ABD ADE ，可得：ABAD，于是得到2AE AB ，同理ADAEADAEAC可得到AD2AF AC ，故可得：AEAB AF AC ，即AFAB证明： 在 ABD 和 ADE 中， ADB= AED=90 BAD= DAE ABD ADEABADADAE2 AD=AE AB同理： ACD ADF2可得： AD=AFAC AE AB=AF ACAEACAFAB例 7.如图，

10、 D 为 ABC 中 BC 边上的一点， CAD= B，若 AD=6，AB=8，BD=7，求 DC的长。分析： 本题的图形是证明比例中项时经常使用的 “公边共角 ”的基本图形，我们可以由基本图形中得到的相似三角形，从而得到对应边成比例，从而构造出关于所求线段的方程，使问题得以解决。解： 在 ADC 和 BAC 中 CAD= B， C= C ADC BAC5/12ADDCACABACBC又 AD=6 ， AD=8 ， BD=7DCAC3AC7 DC4DC3即AC4AC37 DC4解得： DC=9例 8.如图，在矩形ABCD中， E 是 CD的中点， BE AC于 F，过 F 作 FG AB交 A

11、E 于 G，2求证： AG=AFFC证明：在矩形ABCD中， AD=BC， ADC= BCE=90又 E 是 CD 的中点，DE=CE Rt ADE Rt BCE AE=BE FGAB AEAGBEBF AG=BF在 Rt ABC 中， BF AC 于 F Rt BFC Rt AFB AFFBBFFC2 BF =AFFC2 AG=AF FC例 9. 如图，在梯形 ABCD中， AD BC，若 BCD 的平分线 CH AB 于点 H， BH=3AH，且四边形 AHCD的面积为 21 ，求 HBC的面积。6/12分析： 因为问题涉及四边形 AHCD，所以可构造相似三角形。把问题转化为相似三角形的面

12、积比而加以解决。解： 延长 BA、 CD交于点P CHAB， CD平分 BCD CB=CP，且 BH=PH BH=3AH PA：AB=1： 2 PA：PB=1： 3 ADBC PAD PBCSPAD ： S PBC1： 9PCH1S PBCS2 S PADS四边形 AHCD2： 7 S四边形AHCD21S PAD6 S PBC54PBC27 S1 SHBCa292b一、填空题1.已知 2ab， 则 a：b53： 5 ：7，与它相似的三角形的最长边是21cm ，则其余两边之和2.若三角形三边之比为是cm3.如图， ABC 中， D、 E 分别是 AB、 AC的中点， BC=6 ，则 DE=； A

13、DE 与ABC的面积之比为：。4.已知线段 a=4cm， b=9cm，则线段a、 b 的比例中项 c 为cm。5.在 ABC 中，点 D、 E 分别在边AB、 AC 上， DE BC，如果 AD=8， DB=6， EC=9，那么AE=6.已知三个数1， 2 ， 3 ，请你添上一个数，使它能构成一个比例式，则这个数是7/127.如图，在梯形ABCD 中， AD BC， EF BC，若AD=12cm， BC=18cm， AE： EB=2： 3，则 EF=8.如图， 在梯形ABCD 中， AD BC， A=90， BD CD， AD=6，BC=10，则梯形的面积为：二、选择题1.如果两个相似三角形对

14、应边的比是3： 4，那么它们的对应高的比是A. 9：16B.3：2C. 3： 4D.3：72.在比例尺为1：m的某市地图上，规划出长a 厘米， 宽 b 厘米的矩形工业园区，该园区2的实际面积是米442abm2A.10 m10 mC.abmB.D.abab1044103. 已知，如图， DE BC，EF AB，则下列结论：AEBEADABFCBCECBF EFDECEEACFBFABBC其中正确的比例式的个数是A.4个B.3个C.2个D.1 个4. 如图，在 ABC 中， AB=24， AC=18 ，D 是 AC 上一点， AD=12 ，在 AB 上取一点 E， 使 A 、D、 E 三点为顶点组

15、成的三角形与ABC相似，则AE 的长是8/12A.16B.14C.16或 14D.16或 95. 如图，在 Rt ABC中， BAC=90 ， D 是 BC 的中点， AE AD，交 CB 的延长线于点 E，则下列结论正确的是A. AED ACBB. AEB ACDC. BAE ACED. AEC DAC三、解答题：1.如图，AD EG BC， AD=6， BC=9， AE： AB=2： 3，求 GF 的长。2.如图， ABC中， D 是 AB 上一点，且AB=3AD， B=75， CDB=60，求证： ABC CBD。3. 如图， BE 为 ABC 的外接圆 O 的直径， CD 为 ABC

16、的高，求证： AC BC=BE CD9/124. 如图， Rt ABC 中， ACB=90 ， AD 平分 CAB 交 BC 于点 D，过点 C 作 CE AD 于E， CE 的延长线交AB 于点 F ，过点E 作 EG BC交 AB 于点 G ，AE AD=16， AB45 ，（1）求证： CE=EF（2）求 EG 的长 参考答案一、填空题：1.19 ：132. 243. 3；1： 44. 65. 122 等 。6.只要是使得其中两个数的比值等于另外两个数的比值即可，如：2 2 、27.14.48.166二、选择题：1. C2. D3. C4. D5. C三、解答题：1.解： ADEG BC

17、EGAE在 ABC 中，有 BCABEFBE在 ABD中，有ADABAE： AB=2： 3BE： AB=1： 3EG2BC ，1AD3EF3BC=9 ， AD=6EG=6， EF=210/12 GF=EG EF=42. 解： 过点 B 作 BE CD于点 E， CDB=60 ， CBD=75 DBE=30 ， CBE= CBD DBE=75 30 =45 CBE 是等腰直角三角形。 AB=3AD，设 AD=k，则 AB=3k ， BD=2kDE=k ， BE3k BC6k BD2k2，BC6k3BC6k2AB3k3BDBCBCAB ABC CBD3. 连结EC， BC BC E= A又 BE 是 O 的直径 BCE=90又 CD AB ADC=90 ADC ECBACCDEBBC即 AC BC=BE CD4. （ 1） AD 平分 CAB CAE= FAE又 AE CF CEA= FEA=90又 AE=AE ACE AFE （ ASA ） CE=EF（2） ACB=90 ， CE AD ， CAE= DAC CAE DACACAE ADACAC2AEAD1611/12在 Rt ACB 中BC2AB2AC2(45)21664BC8又 CE=EF， EG BCFG=GBEG 是 FBC 的中位线1BC42EG12/12