第3讲.解析几何之中点弦题型Word版

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1、第三讲.解析几何之中点弦题型【教学目标】1. 掌握两点的中点坐标公式；2.掌握韦达定理在解析几何中的应用；3.会求解解析几何中相关的中点弦问题。【知识、方法梳理】 1.若，则的中点坐标是2.一元二次方程，则有3.解析几何中遇到中点弦问题，基本解题思路是联立方程，利用韦达定理（注意判别式）【典例精讲】例1.直线与椭圆交于两点，求的中点坐标。【解析】：将直线代入椭圆，得设，中点则，所以中点【点评】：看到中点，想到韦达定理推荐精选例2.设直线交椭圆于两点，且的中点为，求直线的方程。【解析】：直线斜率不存在的情况显然不可能，所以设直线代入椭圆方程，整理得设，则，又因为所以，解得，经检验此时所以【点评】

2、：联立方程利用韦达定理是解决中点问题的基本方法例3.已知双曲线与点，过点作直线与双曲线交于两点，若为中点.（1）求直线的方程；（2）若，证明不存在以为中点的弦.【解析】：（1）解：设过点的直线方程为，代入双曲线方程得设，则有由已知.解得.又时，从而直线方程为.（2）证明：按同样方法求得，而当时，所以这样的直线不存在.【点评】：注意检验的重要性，上题中中点在椭圆内部，检验只是形式而已，而双曲线的情况较为复杂，检验的步骤必不可少，具体的情况我们以后会做分析。例4.若抛物线上总存在关于直线对称的两点，求的范围 推荐精选【解析】：设对称的两点分别为，中点，考虑到直线应与垂直，设直线，联立方程得，所以，

3、点也在上，所以，即代入直线，得所以方程化简为考虑到，解得例5.已知椭圆上有不同两点关于对称，求的取值范围；【解析】：设，中点，依题意被直线垂直平分，所以，设，代入椭圆，整理得则，由于也在上，所以，考虑到有两个交点，解得所以【点评】：直线与椭圆相交的问题，通常采取设而不求，即设出，但不是真的求出，而是借助于一元二次方程根与系数的关系来解决问题.由OAOB得是解决本题的关键.例6.椭圆的左、右焦点分别是，过斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，且，成等差数列（1）求证：；（2）设点在线段的垂直平分线上，求椭圆的方程【解析】：（1）由题设，得， 由椭圆定义，所以，推荐精选设，：，代入椭圆的方程，整理得，

4、 （*）则，于是有， 化简，得，故， （2）由（1）有，方程（*）可化为 设中点为，则，又，于是 由知为的中垂线， 由，得，解得， 故，椭圆的方程为例7.已知抛物线,过动点且斜率为1的直线与该抛物线交于不同的两点，且。(1)求的取值范围 (2)若线段的垂直平分线交轴于点，求面积的最大值 【解析】：(1)设直线的方程为：，代入抛物线方程得，即，即又，。(2)设，的中点,由(1)知，则有线段AB的垂直平分线的方程为,从而N点坐标为推荐精选点N到AB的距离为从而当有最大值时，有最大值为。【双基训练】1.若直线与抛物线交于两点，则线段的中点坐标是_2.设直线交椭圆于两点，且的中点为，求直线的方程。3.

5、已知双曲线与点，问能否过点作直线与双曲线交于两点，使得为中点？若能，求出直线的方程；若不能，请说明理由。4.已知椭圆上有不同两点关于对称，求的取值范围；【纵向应用】5.已知直线与双曲线交于、点。（1）求的取值范围；（2）是否存在这样的实数，使、两点关于直线对称？若存在，请求出的值；若不存在，说明理由。推荐精选【横向拓展】 6.定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”。如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比。已知椭圆。（1） 若椭圆，判断与是否相似？如果相似，求出与的相似比；如果不相似，请说明理由

6、；（2） 写出与椭圆相似且短半轴长为的椭圆的方程；若在椭圆上存在两点、关于直线对称，求实数的取值范围？（3） 如图：直线与两个“相似椭圆”和分别交于点和点，证明：【练习题答案】1.2.3.能，推荐精选4.5.【解析】：（1）由消去，得依题意即且（2）如果存在的话，必须满足被垂直平分，所以代入（1）中方程得设，的中点，则，即但不在上，所以不存在这样的。6.【解析】：（1）椭圆与相似。因为椭圆的特征三角形是腰长为4，底边长为的等腰三角形，而椭圆的特征三角形是腰长为2，底边长为的等腰三角形，因此两个等腰三角形相似，且相似比为（2）椭圆的方程为：-设，点，中点为，则，所以则 因为中点在直线上，所以有，即直线的方程为：，由题意可知，直线与椭圆有两个不同的交点，即方程有两个不同的实数解，所以，即推荐精选（3）证明：直线与轴垂直时，易得线段AB与CD的中点重合，所以；直线不与轴垂直时，设直线的方程为：，线段AB的中点，线段AB的中点为同理可得线段CD的中点为，即线段AB与CD的中点重合，所以 （注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!） 推荐精选