0707习题课(第7章空间解析几何与向量代数)

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1、习习 题题 课课第七章第七章 空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数习习 题题 一、选择、填空题：一、选择、填空题：) (, . 1 baba则则为共线的单位向量为共线的单位向量设设. 0 . 1 . 1 . 1 .DCBA ) ( . 2的位置关系是的位置关系是及及与向量与向量向量向量baba . . . . .斜交斜交垂直垂直共线共线共面共面DCBA) (,0cos , . 3有有时时当当次为次为与三坐标轴正向夹角依与三坐标轴正向夹角依设向量设向量 Q. . ,/ .,/ . ,/ .面面坐标面坐标面坐标面坐标面坐标面坐标面xozQDzoxQCyozQBxoyQA CCC) (, 0

2、, 0 . 6则则且且设平面方程为设平面方程为 BCDDCzBx) (,1cos , . 4有有时时当当次为次为与三坐标轴正向夹角依与三坐标轴正向夹角依设向量设向量 Q./ . , ., . , .坐标面坐标面坐标面坐标面坐标面坐标面坐标面坐标面xoyQDzoxQCyozQBxoyQA A) ()( . 52 ba.2 . , .,2 . , .22222222bbaaDbbaaCbbaaBbaA BC. . , ., . , .轴轴垂直于垂直于轴轴平行于平行于轴轴经过经过轴轴平行于平行于yDyCyBxA的方向是的方向是的模是的模是为为依次依次在三个坐标轴上的投影在三个坐标轴上的投影向量向量

3、_, _, 3 , 2 , 17. aaa 1, 2, 314143cos ,142cos ,141cos ._43 .10222的名称为的名称为方程方程yxz ._43 . 822的名称为的名称为方程方程yxz ._32 . 922的名称为的名称为方程方程yxz 椭圆抛物面椭圆抛物面椭圆抛物面椭圆抛物面椭圆锥面椭圆锥面._ ) 0 , 1 , 0( )2 , 1, 3( 2.1的平面方程是的平面方程是及及轴，且过点轴，且过点平行于平行于QPx _| , , , , 1.1 cbabacacbcbacba则则均为非零向量，且均为非零向量，且设设._212312:)0 , 0 , 0( 3.1的

4、的距距离离为为到到直直线线原原点点 zyxLM3.知知：它它们们两两两两垂垂直直。由由, , , bacacbcba | | | | caccbcba 又又：1 | c1. | 1, | | ba同同理理，y + z = 110.解：解：.M解：解：lN(2, 3,1)d2, 2 , 1 s.|ssNMd .证证14(p336)14(p336).|:, ,000ssMMdLMsLMLM 的距离的距离到直线到直线点点试证试证且直线的方向向量为且直线的方向向量为上任意一点上任意一点是直线是直线外一点外一点是直线是直线设设|,|2100sMMSMNM ,|210dsSMNM .|0ssMMd ,sM

5、NLN 且且上一点上一点是直线是直线设设 )3()2(bababbbaaa 6).3()2( , 5, 2,3, .babababa 求求且且的夹角等于的夹角等于已知向量已知向量二二 25621104 .141 解解:.3 .2.1,1 , 0 , 1,0 , 1 , 1 .和两条对角线的长和两条对角线的长确定的平行四边形面积确定的平行四边形面积与与、上的投影上的投影在在、夹角夹角与与、向量、向量求求已知向量已知向量三三babababa 3. 1 21|2.Prj bbaab 6| ba2| ba|,|. 3bas ba101011kji),1, 1, 1( 222)1()1(1 S.3 .0

6、83: 85213: .上的投影方程上的投影方程在三个坐标面上及平面在三个坐标面上及平面求直线求直线五五 zyxtztytxL .0523 223221 .的平面方程的平面方程且垂直于平面且垂直于平面求通过直线求通过直线六六 zyxzyx.),3 , 1, 2( ),1 , 3, 1( .求其面积求其面积量量设平行四边形两边为向设平行四边形两边为向四四 ba.23142: 53142:)3 , 4, 1( .21都垂直的直线方程都垂直的直线方程和和并与两直线并与两直线求过点求过点七七 tztytxLyxzyxL .,0201: ,01 .垂直垂直且与且与与平面的交点与平面的交点直线直线使它通过

7、使它通过求作一直线求作一直线内内在平面在平面八八LzxzyLzyx S|,|ba 解解:.),3 , 1, 2( ),1 , 3, 1( .求其面积求其面积量量设平行四边形两边为向设平行四边形两边为向四四 ba ba312131 kji),5 , 1, 8( 2225)1()8( S.103 习习 题题 答答 案案.083: 85213: .上上的的投投影影方方程程在在三三个个坐坐标标面面上上及及平平面面求求直直线线五五 zyxtztytxL :面面xoyL 解解:,0052 zyx:面面yozL ,0094 xzy:面面zoxL ,00298 yzx: L)3 , 1, 1()8 , 2 ,

8、 1( n),5 , 1, 3(: ML, 083 zyx, 0261114 zyx),1,11,14( 习习 题题 答答 案案.0523 223221 .的平面方程的平面方程且垂直于平面且垂直于平面求通过直线求通过直线六六 zyxzyx),2 , 3, 2(: sL解解:),1, 2 , 3(:1 n平面平面1:nsn 取所求平面取所求平面),13, 8 , 1( ,)2 , 2, 1(:所求平面所求平面取取 L所求平面为所求平面为, 0)2(13)2(8)1( zyx. 09138 zyx即即习习 题题 答答 案案.23142: 53142:)3 , 4, 1( .21都垂直的直线方程都垂

9、直的直线方程和和并与两直线并与两直线求过点求过点七七 tztytxLyxzyxL)0 , 3 , 1()1 , 4, 2(:11 sL解解:),10, 1 , 3( ),2 , 1, 4(:22 sL21:sss 取所求直线的方向向量取所求直线的方向向量),1,46,12( :所求直线方程为所求直线方程为.13464121 zyx习习 题题 答答 案案 .,0201: ,01 .垂直垂直且与且与与平面的交点与平面的交点直线直线使它通过使它通过求作一直线求作一直线内内在平面在平面八八LzxzyLzyx得交点得交点解解 020101zxzyzyx解解:),0 , 1, 0( )2 , 0 , 1(

10、)1 , 1 , 0(: sL),1, 1 , 2( ),1 , 1 , 1(: n平面平面nss 1:取所求直线的方向向量取所求直线的方向向量),1 , 3, 2( 所求直线方程为所求直线方程为.1312zyx 习习 题题 答答 案案 S| )3()2( |baba 解解:ba 5.30 总习题七（总习题七（p337-338）, 3, 4 .10 ba设向量设向量6),( ba.3 2积积为为边边的的平平行行四四边边形形的的面面和和求求以以baba ),sin(.5baba 6sin345 14.（见书本）（见书本）解解:.3)1 , 0 , 0()0 , 0 , 3( .15角的平面的方程

11、角的平面的方程成成面面且与且与和和求过点求过点 xoyBA设平面方程为：设平面方程为：, 1 czbyax，和和因为平面过点因为平面过点)1 , 0 , 0()0 , 0 , 3(BA，故故1, 3 ca这样平面方程为这样平面方程为, 113 zbyx角角，面面成成又又因因为为所所求求平平面面与与3 xoy故故222222100.1)1()31()1 , 0 , 0).(1 ,1,31(3cos bb ,263 b解之得解之得故所求平面为故所求平面为3326 zyx或或222222100.1)1()31()1 , 0 , 0).(1 ,1,31(3cos bb . 3326 zyx思考与练习思

12、考与练习,2)1(2xy 抛物柱面抛物柱面0 z平面平面; 1224 zyx及及P338 题题21 画出下列各曲面所围图形画出下列各曲面所围图形:,1)2(2zx 抛物柱面抛物柱面; 10, 0 yxzy及及平面平面,)4(222xyzyx 柱面柱面旋转抛物面旋转抛物面0 z平面平面. 1 x及及P338 题21(1)解答解答:xyzoxy 220z1224zyx)0, 1 ,2()0,2,8(4xyzo2xyz1111xyzP338 21 (2)1111ozx121 yx0y0z1) 1 , 1 () 1, 1 ( zxyozyx22xy 20z1xP338 21(4)选选 读读 例例 题题

13、例例1 1解解: :共面共面且且，使使，求单位向量求单位向量，已知已知bancnnkjickjbia,22,2000 ,0kzj yi xn 设设由题设条件得由题设条件得:10 ncn 0ban 0)1 , 2 , 0(210001 kjiba 1222 zyx022 zyx02 zy)1 , 2 , 0( 解得解得,31 y).323132(0kjin ,32,32 zx( (待定常数法待定常数法) )例例2 2解解: :.401284, 0405:角的平面方程角的平面方程组成组成且与平面且与平面求过直线求过直线 zyxzxzyx过已知过直线的平面束方程为：过已知过直线的平面束方程为： ,

14、0)4(5 zxzyx , 04)1(5)1( zyx即即),1 , 5 ,1( n其法向量其法向量),8, 4, 1( 1 n又已知平面的法向量又已知平面的法向量由题设知由题设知,4cos11nnnn ,9272)3(9212 即即,43 ( (平面束法平面束法) )代回平面束方程代回平面束方程,整理得整理得:, 012720 zyx,43 , 04)1(5)1( zyx, 04 过已知直线过已知直线平面平面又又 zx),1, 0 , 1( 2 n其法向量为其法向量为),8, 4, 1(1 n则则为为设其与已知平面的夹角设其与已知平面的夹角, 2121cosnnnn 8129 ,21 ,4

15、所求平面为所求平面为, 012720 zyx. 04 zx或或例例3 3解解: (参数方程法参数方程法).1243:,12:)1 , 1 , 1(210的方程的方程都相交的直线都相交的直线且与两直线且与两直线求过点求过点LxzxyLxzxyLM 将两已知直线方程化为参数方程为：将两已知直线方程化为参数方程为：,12:1 tztytxL:,21的交点分别为的交点分别为与与设所求直线设所求直线LLL 1243:2tztytxL),1,2 ,(111 tttAB).12 , 43 ,(111 ttt222).12 , 43 ,()1,2 ,(222111 tttBtttA和和,)1 , 1 , 1(

16、0三点共线三点共线与与BAM即有即有:,00对应坐标成比例对应坐标成比例于是于是BMAM,1)12(1)1(1)43(1211212121 tttttt, 2, 021 tt解之得解之得),3 , 2 , 2(),1, 0 , 0(BA ,)3 , 2 , 2()1 , 1 , 1(0上上同在直线同在直线和和点点LBM的方程为的方程为故故 L.211111 zyx例例4 4解法解法.1.1.(.(平面束法平面束法) ).02:01012:上的投影直线的方程上的投影直线的方程在平面在平面求直线求直线 zyxzyxzyxL :的平面束方程为的平面束方程为过直线过直线 L, 0)1()12( zyx

17、zyx , 0)1()1( )1()2( zyx即即, 设其垂直于平面设其垂直于平面, 0)1()1(2)1(1)2( 得得则由两平面法向量垂直则由两平面法向量垂直 ,41 解得解得,代入平面束方程代入平面束方程将将 , 013 zyx得得所求投影直线方程为所求投影直线方程为.02013 zyxzyx解法解法.2.2.(.(分析法分析法) ):的方向量为的方向量为取直线取直线 L)1, 1 , 1()1 , 1, 2( s),3 , 3 , 0( 面的法向量为面的法向量为而垂直于已知平面的平而垂直于已知平面的平设过设过L),3, 3 , 9( )1, 2 , 1( sn),1 , 0 , 0(

18、 上一点上一点取直线取直线L故故,所求投影直线方程为所求投影直线方程为:.02013 zyxzyx面方程为面方程为而垂直于已知平面的平而垂直于已知平面的平过过L, 013 zyx例例4 4.02:01012:上的投影直线的方程上的投影直线的方程在平面在平面求直线求直线 zyxzyxzyxL 例例5 5解解.(.(分析法分析法) ).0:3111:的投影直线的方程的投影直线的方程上上在平面在平面求直线求直线 zyxzyxL 的一个方向量的一个方向量直线直线 L s:面的法向量为面的法向量为而垂直于已知平面的平而垂直于已知平面的平设过设过L),0 , 4 , 4( )1 , 1 , 1( sn),

19、0 , 1, 1( 上一点上一点取直线取直线L故故,所求投影直线方程为所求投影直线方程为:.020 yxzyx:的投影平面的方程为的投影平面的方程为L, 0)0(0)1(4)1(4 zyx, 02: yx即即),3 , 1, 1( 例例6 6解解.,1101:求旋转曲面的方程求旋转曲面的方程轴旋转一周轴旋转一周绕绕直线直线zzyxL ,),(是曲面上任意一点是曲面上任意一点设设zyxM由于高度不变由于高度不变,1zz ,1不因旋转而改变不因旋转而改变轴的距离轴的距离到到和和又又rzMM2121yr 故故,22yx 故所求旋转曲面方程为故所求旋转曲面方程为. 1222 zyx,), 1(111旋转而来旋转而来设其为直线上点设其为直线上点zyM,11zy r提示提示: 在在 L 上任取一点上任取一点), 1(000zyM轴轴绕绕为为设设zMzyxM0),(旋转轨迹上任一点旋转轨迹上任一点,Lxozy0MM则有则有00zy z 22yx 201y 得旋转曲面方程得旋转曲面方程1222 zyxr，代代入入第第二二方方程程将将zy 0.,1101:求旋转曲面的方程求旋转曲面的方程轴旋转一周轴旋转一周绕绕直线直线zzyxL 例例6 6