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1、【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 4-7解三角形应用举例课后强化作业 新人教A版基础巩固强化一、选择题1(文)已知两座灯塔A、B与C的距离都是a，灯塔A在C的北偏东20，灯塔B在C的南偏东40，则灯塔A与灯塔B的距离为()AaB.aC.aD2a答案B解析由余弦定理可知，AB2a2a22aacos1203a2，得ABa，故选B.(理)某人向正东方向走x km后，向右转150，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好 km，那么x的值为()A.B2C2或D3答案C解析如图，ABC中，AC，BC3，ABC30，由余弦定理得，AC2AB2BC22ABBCcosABC，3x296xcos30，
2、x或2.2一艘海轮从A处出发，以每小时40n mile的速度沿东偏南50方向直线航行，30min后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B、C两点间的距离是()A10n mile B10n mileC20n mile D20n mile答案A解析如图，由条件可知ABC中，BAC30，ABC105，AB20，ACB45，由正弦定理得，BC10，故选A.3海上有A、B两个小岛相距10n mile，从A岛望C岛和B岛成60的视角，从B岛望C岛和A岛成75的视角，则B、C的距离是()A10n mile B.n mileC5n mil
3、e D5n mile答案D解析在ABC中由正弦定理得，BC5.4有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20，现高不变，将倾斜角改为10，则斜坡长为()A1 B2sin10C2cos10 Dcos20答案C解析如图，BD1，DBC20，DAC10，在ABD中，由正弦定理得，AD2cos10.5.(2012厦门质检)如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15，向山顶前进100m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45，若CD50m，山坡对于地平面的坡度为，则cos()A.B2C.1 D.答案C解析在ABC中，由正弦定理可知，BC50()，在BCD中，sinBDC1.由题
4、图知，cossinADEsinBDC1.6如图，海岸线上有相距5n mile的两座灯塔A、B，灯塔B位于灯塔A的正南方向海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A的北偏西75方向，与A相距3n mile的D处；乙船位于灯塔B的北偏西60方向，与B相距5n mile的C处，则两艘轮船之间的距离为()A5n mile B2n mileC.n mile D3n mile答案C解析连接AC，ABC60，BCAB5，则AC5.在ACD中，AD3，AC5，DAC45，由余弦定理得CD.7在地面上一点D测得一电视塔尖的仰角为45，再向塔底方向前进100m，又测得塔尖的仰角为60，则此电视塔高约为_m()A237 B
5、227C247 D257答案A解析解法1：如图，D45，ACB60，DC100，DAC15，AC，ABACsin60237.选A.解法2：在RtABD中，ADB45，ABBD，BCAB100.在RtABC中，ACB60，AB15050237.二、填空题8(2014镇江月考)一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60方向，行驶4h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15方向，这时船与灯塔的距离为_km.答案30解析如图，依题意有AB15460，MAB30，AMB45，在三角形AMB中，由正弦定理得，解得BM30(km)9在O点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时
6、刻物体位于P点，一分钟后，其位置在Q点，且POQ90，再过一分钟，该物体位于R点，且QOR30，则tanOPQ的值为_答案解析由于物体做匀速直线运动，根据题意，PQQR，不妨设其长度为1.在RtPOQ中，OQsinOPQ，OPcosOPQ，在OPR中，由正弦定理得，在ORQ中，两式两边同时相除得tanOPQ.三、解答题10港口A北偏东30方向的C处有一检查站，港口正东方向的B处有一轮船，距离检查站为31n mile，该轮船从B处沿正西方向航行20n mile后到达D处观测站，已知观测站与检查站距离21n mile，问此时轮船离港口A还有多远？解析在BDC中，由余弦定理知，cosCDB，sinC
7、DB.sinACDsin(CDB)sinCDBcoscosCDBsin.在ACD中，由正弦定理知AD2115(n mile)此时轮船距港口还有15n mile.能力拓展提升一、选择题11江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45和60，而且两条船与炮台底部连线成30角，则两条船相距()A10m B100mC20m D30m答案A解析设炮塔顶A、底D，两船B、C，则BAD45，CAD30，BDC30，AD30，DB30，DC10，BC2DB2DC22DBDCcos30300，BC10.12(2012湖南文，8)在ABC中，AC，BC2，B60，则BC边上的高等于()A.B
8、.C.D.答案B解析在ABC中，AC2AB2BC22ABBCcosB，即7AB2422AB，AB22AB30，AB3或AB1(舍去)，则BC边上的高ADABsinB3sin60.二、填空题13(2012重庆理，13)设ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且cosA，cosB，b3，则c_.答案解析由已知sinA，sinB.sinCsin(AB)sin(AB)sinAcosBcosAsinB.由正弦定理，c.14.(2013湖北八市联考)如图所示，已知树顶A离地面m，树上另一点B离地面m，某人在离地面m的C处看此树，则该人离此树_m时，看A，B的视角最大答案6解析过C作CFAB于点F，
9、设ACB，BCF，由已知得AB5(m)，BF4(m)，AF9(m)则tan()，tan，tan().当且仅当FC，即FC6时，tan取得最大值，此时取得最大值三、解答题15(2012河北衡水中学调研)如图，在山脚A测得山顶P的仰角为30，沿倾斜角为15的斜坡向上走10m到B，在B处测得山顶P的仰角为60，求山高h(单位：m)解析在三角形ABP中，ABP180，BPA180()ABP180()(180).在ABP中，根据正弦定理得，AP.又60，30，15，山高为hAPsin5(m)16在海岛A上有一座海拔1 km的山峰，山顶设有一个观察站P，有一艘轮船按一固定方向做匀速直线航行，上午11：00
10、时，测得此船在岛北偏东15、俯角为30的B处，到11：10时，又测得该船在岛北偏西45、俯角为60的C处(1)求船的航行速度；(2)求船从B到C行驶过程中与观察站P的最短距离解析(1)设船速为xkm/h，则BCkm.在RtPAB中，PBA与俯角相等为30，AB.同理，RtPCA中，AC.在ACB中，CAB154560，由余弦定理得BC，x62km/h，船的航行速度为2km/h.(2)作ADBC于点D，连接PD，当航行驶到点D时，AD最小，从而PD最小此时，AD.PD.船在行驶过程中与观察站P的最短距离为km.考纲要求能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题补
11、充说明1解斜三角形应用题常见题型测量距离问题、测量高度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等2根据实际问题构造三角形是应用的关键例1在海岸A处，发现北偏东45方向，距离A(1)n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75的方向，距离A 2n mile的C处的缉私船奉命以10n mile/h的速度追截走私船此时，走私船正以10n mile/h的速度从B处向北偏东30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？解析如图所示，注意到最快追上走私船且两船所用时间相等，若在D处相遇，则可先在ABC中求出BC，再在BCD中求BCD.设缉私船用th在D处追上走私船，则有CD10t，BD10t，在AB
12、C中，AB1，AC2，BAC120，由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcosBAC(1)2222(1)2cos1206，BC，cosCBA，CBA45，即B在C正东CBD9030120，在BCD中，由正弦定理得sinBCD，BCD30.即缉私船沿北偏东60方向能最快追上走私船点评本例关键是首先应明确方向角的含义，在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点备选习题1已知A船在灯塔C北偏东80处，且A到C距离为2km，B船在灯塔C北偏西40，A
13、B两船距离为3km，则B到C的距离为()A.km B(1)kmC(1)km D.km答案B解析由条件知，ACB8040120，设BCxkm，则由余弦定理知9x244xcos120，x0，x1.2.(2012西安五校二模)如图，在某港口A处获悉，其正东方向距离20n mile的B处有一艘渔船遇险等待营救，此时救援船在港口的南偏西30距港口10n mile的C处，救援船接到救援命令立即从C处沿直线前往B处营救渔船(1)求接到救援命令时救援船距渔船的距离；(2)试问救援船在C处应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援？(已知cos49)解析(1)由题意，在ABC中，AB20，AC10，CAB120，
14、CB2AB2AC22ABACcosCAB，CB220210222010cos120700，BC10，所以接到救援命令时救援船距渔船的距离为10n mile.(2)ABC中，AB20，BC10，CAB120，由正弦定理，得，即，sinACB.cos49sin41，ACB41，故救援船应沿北偏东71的方向救援3.如图所示，甲船由A岛出发向北偏东45的方向做匀速直线航行，速度为15n mile/h，在甲船从A岛出发的同时，乙船从A岛正南40n mile处的B岛出发，朝北偏东(arctan)的方向做匀速直线航行，速度为10n mile/h.(1)求出发后3h两船相距多少海里？(2)求两船出发后多长时间
15、相距最近？最近距离为多少海里？(3)两船在航行中能否相遇？试说明理由解析以A为原点，BA所在直线为y轴建立平面直角坐标系设在t时刻甲、乙两船分别在P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x115tcos4515t，y1x115t，由arctan可得，cos，sin，故x210tsin10t，y210tcos4020t40，(1)令t3，则P、Q两点的坐标分别为(45,45)，(30,20)，|PQ|5.即两船出发后3h，相距5n mile.(2)由(1)的求解过程易知：|PQ|20，当且仅当t4时，|PQ|取得最小值20.即两船出发后4h，相距最近，距离为20n mile.(3)由(2)知两船航行过程中的最近距离为20n mile，故两船不可能相遇内容总结
2015高考数学人教A版本（4-7解三角形应用举例）一轮复习学案
