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1、精品文档二项式定理1二项式定理：( a b)nCn0 anCn1a n 1b L C nr an r brL C nnbn (n N ) ，2基本概念：项数：共 (r 1) 项通项 ： Tr 1Cnr an r br展开式中的第 r1 项 C nr a nr b r 叫做二项式展开式的通项。3注意关键点：项数：展开式中总共有(n1) 项。顺序：注意正确选择a , b , 其顺序不能更改。(ab) n 与 (ba)n 是不同的。指数： a 的指数从 n 逐项减到 0 ，是降幂排列。b 的指数从0 逐项减到 n ，是升幂排列。各项的次数和等于 n .系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系
2、数依次是Cn0, Cn1 ,Cn2 , Cnr , Cnn . 项的系数是 a 与 b 的系数（包括二项式系数） 。4常用的结论： （令值法）令 a1,bx,(1x)nCn0C n1 xC n2 x2LC nr xrLC nn xn ( nN )令 a1,bx,(1x) nCn0C n1 xC n2 x2LCnr x rL(1)n Cnn xn ( nN )5性质：二项式系数的对称性：与首末两端 “对距离” 的两个二项式系数相等，即 Cn0Cnn ，CnkCnk 1 二项式系数和 ：令 ab1, 则二项式系数的和为Cn0Cn1C n2LCnrLC nn2n ，变形式 Cn1C n2LCnrLC
3、nn2n1 。奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：Cn0Cn2Cn4Cn2rC n1Cn3L C n2r 112n2n 12各项的系数的和：g xa bx n . 令 x=1g（ 1）奇数项系数和：偶数项系数和：1g 1 g 121 g 1 - g 12：如果 n 是偶数时 ，则中间项 （第 nn 二项式系数的最大项1 ）的二项式系数项 Cn2取得最大值。2精品文档精品文档如果 n 是奇数时 ，则 中间两项 （第 n1 . 第 n3n 1n1项） 系数项 Cn2, Cn2同22时取得最大值。 系数的最大项 ：求 (abx) n 展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分
4、别为 A1, A2, An1 ，设第 r1 项系数最大，应有Ar1ArAr，从而解出 r 来。1Ar 26二项式定理的十一种考题的解法：题型一：二项式定理的逆用；例： Cn1C n2 6 Cn3 62L C nn 6n 1.解： (16) nCn0C n16Cn2 62C n3 63LCnn 6n 与已知的有一些差距，C n1Cn2 6 Cn3 62L C nn 6n 11 (Cn1 6 Cn2 62L C nn 6n )1 (C n061 (1 6) n1 (7 nCn16C n262LCnn6n1)11)666练： Cn13Cn29Cn3L 3n 1 Cnn.题型二：利用通项公式求xn 的
5、系数；例：在二项式 ( 4 13x2 ) n 的展开式中倒数第3项的系数为 45，求含有 x3的项的系数？x解：由条件知 Cnn 245 ，即 Cn245 ，n2n90 0 ，解得 n9(舍去 )或 n10 ，由1210 r2rTr 1 C10r (x 4 )10r ( x3 )rC10r x43，由题意10 r2 r 3,解得 r6 ，43则含有 x3 的项是第 7 项 T61 C106 x3210 x3, 系数为 210 。练：求 (x21 )9 展开式中 x9的系数？2 x。题型三：利用通项公式求常数项；例：求二项式 ( x21)10 的展开式中的常数项？2x解：Tr 1 C10r (
6、x2 )10r () r205 r5 rC108 ( 1)81C10r ( 1 )r x2 ，令200 ，得 r8 ，所以 T9452x222256练：求二项式 (2 x1)6 的展开式中的常数项？2x精品文档精品文档练：若 (x21 )n 的二项展开式中第 5 项为常数项，则 n _.x题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；例：求二项式 (x3x)9 展开式中的有理项？1127 r27 r解： Tr 1C9r ( x 2 )9 r ( x 3 )r( 1)r C9r x 6 ，令Z ,( 0 r 9 ) 得 r3或 r9 ，6所以当 r3时， 27r4 ， T4 ( 1)3 C93 x
7、484 x4 ，9时， 27r6当 r3，T10( 1)3 C99 x3x3 。6题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；例：若 (x21)n展开式中偶数项系数和为256，求 n .3x2解：设 (x21)n展开式中各项系数依次设为a0 , a1,an ,3x2令 x1, 则有 a0a1an0, ， 令 x1, 则有 a0 a1 a2 a3( 1)n an 2n , 将 - 得： 2( a1a3 a5)2n ,a1a3a52n 1 ,有题意得，2n 125628， n 9。练：若(3151)n的展开式中，所有的奇数项的系数和为10242xx，求它的中间项。题型六：最大系数，最大项；
8、练：在 (ab)2 n 的展开式中，二项式系数最大的项是多少？解：二项式的幂指数是偶数2n ，则中间一项的二项式系数最大，即 T2nTn 1 ，也就是第 n1项。21练：在 ( x1) n 的展开式中，只有第5 项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？23 x解：只有第5 项的二项式最大，则n1 5 ，即 n 8, 所以展开式中常数项为第七项等于261 2C8()7例：写出在 ( ab) 7 的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？精品文档精品文档解：因为二项式的幂指数7 是奇数，所以中间两项( 第 4,5项 ) 的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有 T4C73a4b3 的系数最小，
9、T5C74a3b4 系数最大。练：在 (12x)10 的展开式中系数最大的项是多少？解：假设 Tr 1 项最大， Q Tr 1C10r2r xrAr1ArC10r 2rC10r1 2r12(11r )r，化简得到 6.3k 7.3，又C10r 2rC10r1 2r解得Ar1Ar21 ,r 12(10r )Q 0r10 ， r7 ，展开式中系数最大的项为T8C10727 x715360 x7 .题型七：含有三项变两项；例：求当 ( x23x2) 5的展开式中 x 的一次项的系数？(x23x2) 5( x22) 3x 5， Tr 1C5r ( x22)5 r (3 x)r ，当且仅当 r1 时，
10、Tr1 的展开式中才有 x 的一次项，此时 Tr 1 T2C51( x22) 4 3x ，所以 x 得一次项为 C51C44 243x它的系数为 C51C44 243 240 。.题型八：两个二项式相乘；例： 求 (12x) 3(1x)4 展开式中 x2的系数 .解：Q (12x)3的展开式的通项是 C3m(2 x) mC3m2m xm ,(1 x) 4的展开式的通项是 C 4n (x)nC 4n1nxn ,其中 m0,1,2,3, n0,1,2,3, 4,令 mn2, 则 m0且 n 2, m1且 n1,m2且 n0,因此 (12x)3 (1x) 4的展开式中 x2的系数等于 C30 20C
11、42(1)2C31 21C41(1)1C32 22C40( 1)06 .练： 求(13x )6 (11)10 展开式中的常数项 .4 x练：已知(1x x2)( x1 n, nN*且 2n 8,则 n_.x3 ) 的展开式中没有常数项题型九：赋值法；例：设二项式 (3 3 x1 ) n 的展开式的各项系数的和为p ，所有二项式系数的和为s , 若xps272 , 则 n 等于多少？精品文档精品文档解：若 (3 3x1 )na0a1xa2 x 2an xn ，有 P a0a1an ， SCn0C nn2n ，x令 x1得 P4n ，又 ps272 , 即 4n2n272(2 n17)(2 n16)0 解得2n16或 2n17(舍去) ，n4 .1n练：若3x的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为多少？x例： 若(12x)2009a0a1x1a2x2a3 x3La2009 x2009( xa1a2a2009的值为R), 则22220092解： 令 x1a1a2a20090,a1a2a2009a0,可得 a022222009222220092在令 x0可得 a01,因而 a1a2a20091.22222009练： 若( x2)5a5 x5a4 x4a3x3a2 x2a1x1a0 , 则 a1a2a3 a4a5_.精品文档
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