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1、 空间的距离、教学目标：能用向量方法进行有关距离的计算二、重点难点：1、教学重点：向量方法求点到面的距离2、教学难点：向量方法求点到面的距离。三、教学方法：自主、合作、探究四、教具准备：多媒体设备五、教学过程：（一）、新课引入1、空间中的距离包括：两点间的距离，点到直线的距离，点到平面的距 离，平行直线间的距离，异面直线直线间的距离，直线与平面的距离，两 个平行平面间的距离。这些距离的定义各不相同，但都是转化为平面上两 点间的距离来计算的。2、距离的特征：距离是指相应线段的长度；此线段是所有相关线段 中最短的；除两点间的距离外，其余总与垂直相联系。3、求空间中的距离有直接法，即直接求出垂线段的
2、长度；转化法， 转化为线面距或面面距，或转化为某三棱锥的高，由等积法或等面积法求 解；向量法求解。（二）、进行新课 1、两点间的距离公式设空间两点A x, y，乙，B X2, y2Z，则2 2 2AB 二.Xi X2 j 亠 iy y2 j 亠 i.z -Z22、向量法在求异面直线间的距离设分别以这两异面直线上任意两点为起点和终点的向量为a，与这两条异面直线都垂直的向量为n，则两异面直线间的距离是a在n方向上的 正射影向量的模。d二叵也4、向量法在求点到平面的距离中(1)设分别以平面外一点P与平面内一点 M为起点和终点的向量为 a，平面的法向量为n，贝U P到平面的距离d等于a在n方向上正射影
3、向量的|n|(2)先求出平面的方程，然后用点到平面的距离公式：点P (xo,yo,zo)到平面AXfBY+CZ+D=O的距离d为：d=I A x o+B y o+C Zo+D Ia2+b2+c2(三)、例题评析【例1】直三棱柱 ABD-ABiCi的侧棱 AA=73，底面 ABD中，/ C=90 ,AC=BC=1，求点B到平面ABC的距离。解1:如图建立空间直角坐标系，由已知得直棱柱各顶点坐标如下：A (1,0,0 ), B (0,1,0 ), C (0,0,0 ) A (1,03 ), B (0,1，占),Ci (0,0,3 )A1B =(一 1,1, V3),A1C= ( 1,0,-a/3)
4、B1A1= (1,1,0）n AiB 二 0n AiC 二 0面AiBC 的_x、y_、3z=0 -x - 3z = 0即 n =（-. 3,o,i）2|n|法向量为 n =(x, y, z)， 则x y = 0z =i所以，点B到平面AiBC的距离d J Ai Bi 1Bi解2建系设点同上(略)，设平面AiBC的方程为ax+by+cz+d=0d =0b +d =0(a, b,c,d不全为零)，把点Ai，B, C三点坐标分别代入平面方程得a f 肌=平面AiBC的方程为3 x+z=0b =0又 Bi（0,i,3）设点B到平面ABC的距离为d，则d=I yf3 x o+ix o+/3 Iy3.t
5、.3）2+i2【例2】如图，四面体ABCD中，0、E分别是BD BC的中点，CA =CB =CD =BD =2 AB = AD -、2(I )求证：AO _平面BCD(II )求异面直线 AB与CD所成角的大小;(III )求点E到平面ACD的距离。解：(I )略E(II )解：以0为原点，如图建立空间直角坐标系,B(1,0,0), D(-1,0,0),C(0, .3,0), A(0,0,1), E(123,0),B.(_1,0,1),Cd 十 1,-、3,0)L T 厂BACD _寸24.cos ： BA CD *=CD.异面直线AB与CD所成角的大小为arccos二24(III)解：设平面
6、ACD的法向量为FTn.AD =(x,y,z).(-1,0, 一1)=0,n.AC =(x,y,z).(0,、3,-1)=0,oxn =(x, y,z),则令y -1,得n八3)是平面acd的一个法向量，又EC珂-2,i3,0),.点E到平面ACD勺距离h二3. 21FT【例3】如图，直二面角 D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形,AB所在直线为y轴，过0点平行于AD的直线为z轴,建立空间直角坐标系0 xyz，如图 AE _ BE幣AE丄面BCE BE=面BCE 在Rt AEB中,AB二2, O为AB的中点,OE -1. A(0,-1,0),E(1,0,0),C(0,1,2).AE =(1,1,0), AC =(0,2,2).设平面 AEC的一个法 向量为n 二(x, y, z)，AE n 二 0, 则AC n= 0,即x+y=0,解得 j2y +2x = 0.y = -x,z = x,令X =1,得n二是平面AEC的一个法向量.又平面BAC的一个法向量为 m =(1,0,0)，（五）、课堂小结向量法求距离六、课外作业：七、教学反馈:
10空间的距离
