1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编：9二项式定理计数概率与统计

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1、41981年2019年全国高中数学联赛试题分类汇编计数问题、概率与统计部分2019A 5、在1,2,3J|,10中随机选出一个数a，在_1, _2,一3| |,一10中随机选出一个数 b，则a2b被 3 整除的概率为_ .答案：匹100解析：首先数组 a,b 有 10 10=100 种等概率的选法.考虑其中使a2b被 3 整除的选法数 N.若a被 3 整除，则 b 也被 3 整除.此时a,b各有 3 种选法，这 样的 a,b有33=9 组.若a不被 3 整除，则 a2三 1 mod3 ，从而 b 三 1 mod3 .此时a有 7 种选法，b 有 4 种选法，这样的 a,b 有 7 4 =28

2、组.因此 N=9,28 = 37 .于是所求概率为。1002019A 8、将 6 个数2,0,1,9,20,19按任意次序排成一行，拼成一个 8 位数（首位不为0），则产生的不同的 8 位数的个数为_ .答案：498解析：将2,0,1,9,20,19的首位不为 0 的排列的全体记为 A，记 A 为 A 的元素个数。易知 A =5 5,600 .将 A 中 2 的后一项是 0 ,且 1 的后一项是 9 的排列的全体记为 B ; A中 2 的后一项是 0，但 1 的后一项不是 9 的排列的全体记为 C; A 中 1 的后 一项是 9，但 2 的后一项不是 0 的排列的全体记为 D .易知 B| =

3、 4!, B.+ C =5!，B + D =4 汇 4!,即 B =24, C =96, D =72 .由 B 中排列产生的每个 8 位数，恰对应 B 中的 2 汇 2 = 4个排列（这样的排列中，20 可与“ 2, 0 ”互换，19 可与“1,9 ”互换）.类似地, 由 C或 D 中排列产生的每个 8 位数， 恰对应 C 或 D 中的 2 个排列.因此满足 条件的 8 位数的个数为A (B UC UD +冋+ +口=A42c|+|D2=600 18 48 36 =498.2019B 5.将 5 个数2,0,1,9, 2019按任意次序排成一行，拼成一个8 位数（首位不为0），则产生的不同的

4、8 位数的个数为_ .答案：95解析：易知2,0,1,9,2019的所有不以0为开头的排列共有 4 4! =96 个.其中，除了 2,0,1,9,2019 和 2019,2,0,1,9 这两种排列对应同一个数 20192019，其余的数互不相等.因此满足条件的 8 位数的个数为 96-1=95 .2019B 6.设整数n .4，x2.-1的展开式中xn*与xy两项的系数相等，则n的值为_ .答案：51注意到x 2.了-1 “八C：xn_r2、.彳-1r，其中xn*项仅出现在求和指标r z0=44r=4时的展开式。锐“门为-1）中，其xn项系数为（-1）C：；而 xy 项仅出现在n求和指标 r=

5、n-1 时的展开式。：七（2丁7-1）中，其 xy 项系数为丿扩川-1 厂，因此有（-讥4=C：C：_L（-1 厂，注意到 n4,化简得 n 3=（1 厂 48，故只能是n为奇数且 n -3 = 48 .解得 n =51 .2018A2018A 3 3、将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为a,b,c,d,e, f，则abc def是偶数的概率为 9答案：10解析：先考虑abc def为奇数时，abc，def一奇一偶，若abc为奇数，则a, b, c为1,3,5的排列，进而d,e, f为2,4,6的排列，这样共有6 6 = 36种；若abc为偶数，由对称性得，72119也有6 6 =36种

6、，从而abc def为奇数的概率为，故所求为1 -6!1010 102018B2018B 3 3、将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为a,b,c,d,e, f，则abc def是奇数的概率为 1答案：丄10解析：由abc def为奇数时，abc，def一奇一偶，若abc为奇数，则a,b,c为1,3,5的排列，进而d,e, f为2,4,6的排列，这样共有6 6 =36种；若abc为偶数，由对称性得，721也有6 6 = 36种，从而abc def为奇数的概率为6! 102017A2017A 6 6、在平面直角坐标系xOy中，点集K = （x, y） | x, y二T,0,1/，在K中随机取

7、出三个点，则这三个点中存在两点距离为,5的概率为_4解析:答案：4”7 V,化解析： 由题意得K有9个点， 故从中取出三个点共有C9 = 84种。将K中的点按右图标记为AI,A2,，人，0，其中有8对点之间的距 离为,5，由对称性，考虑取AA两点的情况，则余下的一个点有7种取法，这样有7x8=56个三点组(不考虑顺序)。对每个Ai(i=1,2，8)，K中恰有Ai3, A5两点与之的距离为5(这里下标按模 8 可以理解)，因而恰有人，A书，A*这8个484三点组被计了两次，从而满足条件的三点组个数为56 - 8 =48，进而所求的概率为 竺二二。8472017B2017B 6 6、在平面直角坐标

8、系xOy中，点集K =；(x, y) |x, y=1,0,心，在K中随机取出三个 点，则这三个点两两之间距离不超过2的概率为_5答案：14解析：注意K中共有 9 个点，故在K中随机取出三个点的方式数为Cg =84种， 当取出的三点两两之间距离不超过2 时，有如下三种情况：(1)三点在一横线或一纵线上，有6 种情况，(2) 三点是边长为1,1,、.2的等腰直角三角形的顶点，有4 4=16种情况，(3)三点是边长为、2 .22的等腰直角三角形的顶点，其中，直角顶点位于(0,0)的有 4 个, 直角顶点位于(_1,0),(0, _1)的各有一个，共有 8 种情况.综上可知，选出三点两两之间距离不超过

9、2 的情况数为6 16 30，进而所求概率为3084_14.2016A2016A 4 4、袋子A中装有2张10元纸币和3张1元纸币，袋子B中装有4张5元纸币和3张1元 纸币，现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则A中剩下的纸币面值之和大于B中剩下的纸币面值之和的概率为_9答案：35解析：一种取法符合要求，等价于从A中取走的两张纸币的总面值a小于从 B 中取走的两 张纸币的总面值b，从而a : b_5,5=10.故只能从A中国取走两张 1 元纸币，相应的取 法数为Cl =3又此时ba=2，即从 B 中取走的两张纸币不能都是 1 元纸币，相应有2016B2016B 5 5、将红、黄、蓝 3 个球随机

10、放入 5 个不同的盒子A,B,C,D,E中，恰有两个球放在同 一盒子的概率为_12答案：25解析：样本空间中有 53=125 个元素.而满足恰有两个球放在同一盒子的元素个数为2 2C-C3=18种取法因此，所求的概率为3 18c5c；5410 21935ClP2=60过所求的概率为p60二11.125252015A2015A 5 5、在正方体中随机取3条棱，他们两两异面的概率为2答案：55解析：设正方体为 ABCD-EFGH，它共有 12 条棱，从中任意取出 3 条棱的方法共有Ci：=220种.下面考虑使 3 条棱两两异面的取法数.由于正方体的棱共确定3 个互不平行的方向（即AB、AD、AE

11、的方向），具有相同方向的 4 条棱两两共面，因此取出的 3 条棱必属于 3 个不同 的方向.可先取定 AB 方向的棱，这有 4 种取法.不妨设取的棱就是 AB，则 AD 方向只能取 棱 EH 或棱 FG,共 2种可能.当 AD 方向取棱是 EH 或 FG 时，AE 方向取棱分别只能是 CG2015B2015B 8 8、正 2015 边形AA?A2015内接于单位圆O，任取它的两个不同顶点A，Aj,则OA+OA 1的概率为_答案：6711007解析：因为|0Al=|OAj| = 1，所以|OA+OAj|2=|OA |2+1 OAj|2+2OA OAj=2(1 + cos1的概率是:1 32015

12、j12014A2014A 8 8、设代B,C, D是空间四个不共面的点，以 一的概率在每对点之间连一条边，任意两2对点之间是否连边是相互独立的，则A, B可用（一条边或者若干条边组成的）空间折线连接的概率为_3答案：34解析：每对点之间是否连边有 2 种可能，共有26=64种情况。考虑其中 A , B 可用折线连 接的情况数。有 AB 边：共种25=32情况。1无 AB 边，但有 CD 边：此时 A , B 可用折线连接当且仅当 A 与 C, D 中至少一点相连，且2 2B 与 C, D 中至少一点相连，这样的情况数为（2 -1）（2 -1）=9。2 22无 AB 边，也无 CD 边：此时 A

13、C , CB 相连有2种情况，AD , DB 相连也有2种情况，但其中 AC, CB , AD , DB 均相连的情况重复计了一次，故A , B 可用折线连接的情况数为22- 22-1 =7。483以上三类情况数的总和为 32+9+7=48，故 A, B 可用折线连接的概率为-6442014B2014B 7 7、将一副扑克牌中的大小王去掉，在剩下的52张牌中随机地抽取5张，其中至少有两张牌上的数字（或者字母J,Q,K,A）相同的概率是 _（要求计算出这个概率的数值，精确到 0.001）答案：0.4929_或 DH .由上可知，3 条棱两两异面的取法数为4X2=8,故所求概率为8 _2220 _

14、55故OAi+OAy1的充分必要条件是cos：OA,OAj2015 1342671p二2015 20141007即向量OA,OAj的夹角不解析：记所求事件为A，则A的对立事件A为“所抽取的 5 张牌上的数字各不相同”，我们 来计算A的概率。事件A可以分解成两步：第一步在 13 个不同数字中抽取 5 个数字，共有C；3种取法；第二步给每个数字涂一种花色每个数字共有4 种花色可选，5 个数字共有45种不同的选择。所以事件A共包含45C；3。由于在 52 张牌随机抽取 5 张的基本事件个数为CJ2，2013A2013A 6 6、从1,2，,20中任取5个不同的数，其中至少有2个是相邻数的概率为答案：

15、232323解析： 记所取的5个数分别为a1, a2,a3, a4,a5，且a1: a2: a3：a4：a5。若这五个数互不相邻，贝V1 Pn，求p +P2的最大可能值。解析：对任意的k =1,2，,m，设第k题没有答对的有xk人，则第k题没有答对的有n -xk人，由得分规则知，这n - xk在第k题均得到xk分，记这n个学生的得分之和为S，贝Unmmm P二S八Xk(n-Xk)二nXk_ 风i di k dk dm答案：491解析： 记aiai于是事件A发45C5135520.5071，从而P(A)二1 0.5071 = 0.4929。2013A2013A 8 8、2,1,*側2b8 =反之

16、，若符合”的8项数列：bn可以唯一确定一个符合题意条件的9项数列。岂=1a1ai 1aibi,i讣2厂，8二则bi因为每一个人在第k题上至多得xk分，故p1_ xkk T由于P1-P,-Pn，故有PnP1P2Pnn TS P所以P1Pn R1n TP1n T n -1将正九边形的每个顶点等概率地涂上红、蓝两种颜色之一，则存在三个同色的顶点构成锐角三角形的概率为 _ .247答案：丝256解析：若同一种颜色的顶点构成的凸多边形内部包含正九边形的外接圆圆心，则存在这种 颜色的三个顶点，其构成的三角形也包含圆心，从而这个三角形是锐角三角形。反之，若某 种颜色的顶点包含一个锐角三角形的顶点，则它们所生

17、成的凸多边形就包含了正九边形外接 圆的圆心。这样一来，如果红蓝两色的顶点生成的凸多边形都不包含圆心的话，那么这两种 颜色的顶点分别落在外接圆的半圆中，这种情况发生的仅有的可能是红点是连续的4 个顶点,18247或者是连续的 5 个顶点，它们各有 9 种情况。所以，所求的概率为p =1一再二丝22562012A2012A 8 8、某情报站有A,B,C,D四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种。设第1周使用A密码，那么第7周也使用A密码的概率为_2012B2012B 8 8、一个均匀的正方体骰子的各面上分别标有数字1,2/ ,6，每次投掷

18、这样两个相同的骰子，规定向上的两个面上的数字之和为这次投掷的点数。那么，投掷3次所得3个点数之积能被14整除的概率是 _ (用最简分数表示)1答案：131解析：考虑一次投掷时，投出的点数是7的概率为1，又投出的点数是奇数(偶数)的概6111 1率均为丄，故投出的点数是奇数但不是7的概率为丄22 6 3在3次投掷中，记“仅有一次投出的点数是7,另外两次至少有一次投出的点数是偶数”为事Xkn -1kjmn二Xk - Xk二2Xk -k Jk 4k丄ndXk2_ 丄Jk 41+-n -1由柯西不等式的曰是，PlPn另一方面,综上所述,一Xkmkjmxk-m(n -1)m(n 1) 34-个学生全部答

19、对，其他n-1个学生全部答错时，P1Pn= m( n -1)R P2的最大可能值为m(n-1)。2m(n1) m(n -1)若有2013B2013B 8 8、答案:解析:61243用P表示第k周用A种密码的概率，则第k周末用A种密码的概率为1 -.1 * 1 1 1Pk1(1Pk),k N,即P1 -341 ._131 1 1(Pk)，由P=1知，f 是首项为34.43113131161-，公比为-一的等比数列。所以Pk-一二一(-一)2，即Pk二一(-一)2，故P711 111 7件A，贝y P(A)=c3汉汉c2汉汉汉I=一 ，记“有两次投出的点数是7，另外6L232224一次投出的点数是

20、偶数”为事件B，则P(B)二C： ：i1 11，显然事件A与事件B互6 ) 224斥，711故所求概率为P(A) P(B)-o242432011A2011A 5 5、现安排-名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为_答案：15000解析：由题设条件可知，满足条件的方案有两种情形：(1)有一个项目有 3 人参加，共有C；5!C；5! = 3600种方案；(2)有两个项目各有 2 人参加，共有-(C；C；) 5!_C；5! =11400种方案；2所以满足题设要求的方案数为3600 114015000.20

21、11B2011B 4 4、把扑克牌中 代2, H),J,Q,K的分别看作数字1,2, ,11,12,13.现将一副扑克牌中的 黑桃、红桃各13 张放在一起，从中随机取出2 张牌，其花色相同且两个数的积是完全平方数的概率为_ .2答案：65解析： 从26张牌中任意取出2张， 共有C26=325种取法。 牌的花色相同且积是完全平方 数的有4=1 4,9=1 9,16=2 8,36 =3 12=4 9共10对，因此概率为10 2325一652010AB2010AB 6 6、两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两个颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮另一个人投掷。则先投掷人获胜的概率为 _12答案

22、：1217217解析：同时投掷两颗骰子点数和大于6 的概率为，从而先投掷人的获胜概率为36122十(2)2丄+(2)4丄+.,_=雯121212121212125171442009*72009*7、一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数 之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100 个正整数按从小到大排成的行，则最后一个数是_(可以用指数表示).答案：101298解析：易知：(i)该数表共有 100 行；(ii)每一行构成一个等差数列，且公差依次为d1,d2,d22,.,d9298(iii) a100为所求。设第n(n一2)行的第一个数为a*，贝Van=anJ+

23、(a2 +2心)=2an斗*2心= 22anm 2心2心= 222an2心22心 2心= 23an卫3 2n，= 2nJa1- （n一1） 2n，=（n 1）2n，故a100=101 298.2009*82009*8、某车站每天8 : 00 9: 00,9 : 00 10: 00都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是 随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为到站时刻8:108:308:509:109:309:50概率111623一旅客8:20到车站，则他候车时间的数学期望为 _(精确到分).答案：27解析：解：旅客候车的分布列为候车时间(分)11030507090概率111 11 11 1X

24、 XX236 62 63 6候车时间的数学期望为11111103050709027233612182008AB2008AB 3 3、甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满26局时停止设甲在每局中获胜的概率为2,1乙在每局中获胜的概率为 -33且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数的数学期望是(）241266274670A.B.C.D.818181243答案：B B解析：方法一： 依题意知，的所有可能值为 2、4、6.设每两局比赛为一轮，则该轮结束芦5P( =2)：9二20,P( =6) =(3)2二16，故E =254-206=-266.8

25、19819818181_方法二：依题意知，的所有可能值为 2、4、6令Ak表示甲在第k局比赛中获胜，则 Ak表示乙在第k局比赛中获胜由独立性与互不相容性得P( =2)二P(AA) P(瓦A2) ，P( =4)=卩(几入人3人4)PgAAsAj PRA2A3A4) P(AAA3A4)2、3,1、，1、3,2 20胡驚)(3)(1)(2)市，时比赛停止的概率为(2)2(1)5.若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各339得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.从而有P（：=4）=P( =6) =P(AA2A3A4)P(AA2A3A4)P(A2A3A4)卩(厲人2人3人4)2

26、008AB2008AB 9 9、将24名志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同 的分配方法共有_ 种。答案：222解析：方法一:用 4 条棍子间的空隙代表 3 个学校，而用”表示名额.如|:，|”|”卜:| 表示第一、二、三个学校分别有4, 18, 2 个名额.若把每个 “”与每个“”都视为一个位置，由于左右两端必须是”故不同的分配方法相当于24+2=26（个）位置（两端不在内）被 2个”占领的一种 占位法”.每校至少有一个名额的分法 ”目当于在 24 个“”之间的 23 个空 隙中选出 2个空隙插入“ ”故有C23=253 （种）又在 每校至少有一个名额的分法 ”中

27、至少 有两个学校的名额数相同”的分配方法有 31 种综上知，满足条件的分配方法共有253 - 31 =222（种）.方法二：设分配给 3 个学校的名额数分别为 X1、X2、X3，则每校至少有一个名额的分法数 为不定方程 X1X2x=24 的正整数解的个数，即方程X1X2 X3=21 的非负整数解的个数，它等于 3 个不同元素中取 21 个元素的可重组合：H?=C；3=253 .又在 每校至少有一个名额的分法”中至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有 31 种.综上知，满足条件的分 配方法共有253 31 = 222 （种）.2007*32007*3、将号码分别为1,2/ ,9的九个小球放入一

28、个袋中， 这些小球仅号码不同， 其余完全相 同。甲从袋中摸出一个球，其号码为a，放回后，乙从袋中再摸出一个球，其号码为b。则使 不等式a -2b 100成立的事件发生的概率等于 _52596061A.B.C.D.81818181答案：D D解析：甲、乙二人每人摸出一个小球都有9种不同的结果，故基本事件总数为92=81个。由不等式a-2b 10 0得2b：a 10,于是，当b =1,2,3,4,5时,每种情形a可取1,2, ,9中每一个值，使不等式成立，则共有9 5=45种；当b=6时，a可取3,4/ 9中每一个值， 有7种；当b=7时，a可取5,6,7,8,9中每一个值，有5种；当b=8时，a

29、可取7,8,9中每一 个值，有3种；当b=9时，a只能取9,有1种。于是，所求事件的概率为45 7 5 3 16181 81 2007*122007*12、将2个a和2个b共4个字母填在如图所示的16 个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有_ 种。答案：3960解析：2 2解：使2个a既不冋行也不冋列的填法有C4A4= 72种，同样，使2个b既不同行2 2 2也不同列的填法也有C4A4=72种，故由乘法原理，这样的填法共有72种，其中不符合要求的有两种情况：2个a所在的方格内都填有b的情况有72种；2个a所在的方格内仅有1个 方格内填有b的情况有

30、C；A；= 16 72种。所以，符合题设条件的填法共有722-72 -16 72 =3960种。因此E =254却61698181266812006*122006*12、袋中有8个白球和2个红球，每次从中随机取出1个球，然后放回1个球，则第4次恰好取完所有红球的概率为 _答案：0.0434解析：第 4 次恰好取完所有红球的概率为(-x)21-1 x211，、.令x = y 4,得g(y)二x 1215+1取y =1,有a0- a1- a2出川a20= g(1).62005*142005*14、(本题满分 20 分)。将编号为1,2,3,9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各有

31、一个小球设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为S.求使S达到最小值的放法的概率.(注：如果某种放法，经旋转或镜面反射后可与另一种放法重合，则认为是相同的放法)解析：九个编号不同的小球放在圆周的九个等分点上，每点放一个，相当于九个不同元素在8!圆周上的一个圆形排列，故共有&种放法，考虑到翻转因素，则本质不同的放法有9种.2下求使 S 达到最小值的放法数：在圆周上，从1 到 9 有优弧与劣弧两条路径，对其中任一条路径，设X1,X2，,Xk是依次排列于这段弧上的小球号码，则|1 -X1I |X1-X2I |Xk-9|_|(1 -X1厂(X1-X2)(Xk-9)|=|1 - 9|=8.上式取等号当

32、且仅当1:：X1：X2：:Xk：9，即每一弧段上的小球编号都是由1 到 9 递增排列.因此S最小=2 8=16.由上知，当每个弧段上的球号1,X1,X2，Xk,9确定之后，达到最小值的排序方案便唯一 确定在 1,2，9 中，除 1 与 9 外，剩下 7 个球号 2,3，8,将它们分为两个子集，元素 较少的一个子集共有C -C7C7 C3= 26种情况，每种情况对应着圆周上使S 值达到最2004*52004*5、设三位数n =abc，以a,b,c为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n有_A.45个B.81个 C.165个D.216个答案：C2-W10 10 10 10 10

33、 10 10 10= 0.0434.232005*72005*7、将关于X的多项式f(x)=1-X，X -X 21920g(y)二a。a a?y乐丫a2y，x亠x表示为关于y的多项式其 中y = x -4， 则a0 a1 a2“19 a20的值为_答案:解析:21516f (x)和式中的各项构成首项为1,公比为-X 的等比数列，由等比数列的求和公式，得：f (x)：_X _1(y 4)211y + 5小的唯一排法，即有利事件总数是26种，故所求概率P =8!1315解析：等边三角形共 9 个；等腰但不等边三角形：取两个不同数码(设为a,b)，有36种取法，以小数为底时总能构成等腰三角形，而以大

34、数为底时，b：；a：2b.a =9或8时，b = 4,3,2,1，有4 2 = 8种;a =7或6时，b =3,2,1,有3 2=6种；a=5或4时，b = 2,1有2 2=4种；a =3或2时，b=1，有1 2=2种，共有8 6 4 2 20种不能取的值.所以共有2 36 -20 =52种方法，而每取一组数，可有3种方法构成三位数，故共有52 3 =156个三位数。综上知，可取9 - 156 =165种数选C.2004*132004*13、（本题满分 20 分）一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次,如果这n次抛掷所出现的点数的和大于2n,则算过关.问：（1）某人在这项游戏中最

35、多能过几关？（2）他连过前三关的概率是多少？解析：解： 设他能过n关，则第n关掷n次，至多得6n点，由6n2n，知，n乞4即最多能过4关.要求他第一关时掷1次的点数大于2，第二关时掷2次的点数和大于4，第三关时掷3次的点数和大于842第一关过关的概率为 -；63第二关过关的基本事件有6 =36种，不能过关的基本事件有为不等式xy_4的正整数解的个数，有C：=6个（亦可枚举计数：1 2,1 2,1 3,2 1,2 2,3 1）计 6 种，65所以过关的概率为1；366第三关的基本事件有63种，不能过关的基本事件为方程x y z空8的正整数解的总数,可连写8个1,从8个空档中选3个空档的方法为C；

36、=56种，不能过关的概率连过三关的概率为5 236 272431的展开式按x的降幕排列，若前三项系数成等差数列,2如丿则该展开式中x的幕指数是整数的项共有答案：解析：不难求出前三项的系数分别是1,1n,1n（n -1）,2 811T2 -n = 1 n（n1）28“16 31 -当n=8时，T“=C：（）rx4（r =0,1,2，8）2所以当r =0,4,8时，x的幕指数是整数，即有3 项。2002*2002*三、（本题满分 50 分）在世界杯足球赛前，F国教练为了考察A,A2,A7这七名，准备让他们在三场训练比赛（每场90分钟）都上场，假设在比赛的任何时刻，这些中有且仅有一 人在场上，并且A

37、1, A2,A3,A4每人上场的总时间（以分钟为单位）均被13整除，如果每场换人 次数不限，那么按每名队员上场的总时间计算，共有多少种不同的情况。台匕过关的概率为17272027；2002*82002*8、将二项式解析：设第i名队员上场的时间为Xi分钟（i =1,2,3/ ,7），问题即转化为：求不定方程Xi xX7=270在条件71 Xi(i =1,2,3,4)且13 | Xj(j = 5,6,7)下的正整数解的级数。47若x1,x2,x7是满足条件的一组正整数解，则应有 aXj=7m,Xj=13n(m,nN)iz4j=5 m,n是不定方程7m 13 n=270在条件m_4且n _ 3下的一

38、组正整数解。 7 m -4 13 n -3二203，令m/二m_4, n，= n_3有7m/13=203求满足条件m_4且n_3的正整数解等价于求的非负整数解。易观察到7 2 13 (-1)=1,7 406 13 (-203)203,即m0=406, n0= -203m=406 是的整数解的整数通解为m，=406 _13k,n，=_203 - 7k其中kZ令m/= 40613k _ 0,=-203 7k - 0,解得取k =29,30,31得到满足条件的三组非负整数解:1）当m = 33, n = 3时，显然X5= X6= X7=13仅有又设Xi=7 yi(i =1,2,3,4)，于是由不定方

39、程yy2y3y 33有413C331= C32=4960组正整数解。此时有满足条件的c32=4960组正整数解。2)在m=20, n =10时，设x7yi(i =1,2,3,4),x7yj(j -5,6,7)于是由不定方程32y1y2y3y20有C组正整数解，不定方程氐 氐 寸=10有C9组正整数解。此时有满足条件的C；9C；=34884组正整数解。3)在m =7, n =17时，设xy(i =1,2,3,4),Xj=7y)(j =5,6,7)。于是由不定方 程y1y2y3y7有c；组正整数解，不定方程牡 * f =1有组正整数解。此时有满足条件的C；Ci；= 2400组正整数解。综上满足条件

40、的正整数解的组数为33332C32C19C9C6C16-4960 34884 2400 =42244。2001*52001*5、若（1 x x2）1000的展开式为a。qx a?x2亠 一a200 x2000，则a0 a3a6a a1998的值为A.3B.3C.3D.3答案：C C解析：令x =1可得a0 a1 a2 a3亠亠a2000= 31000；232000令 x= 可得a0 a a2 a3 亠.亠a2000=0；（其中-丄 -i，则 * 3=1 且2+1=0）E = 29=16 、1 = 0.n=、m = 33”m=20丿 、 、n = 3n = 10从而得到满足条件的三组正整数解:2

41、9 乞 131,m = 7 n= 17m = 3n = 14种可能,2 2令x=2可得a0- a2- a/?- a3, 6亠 一a2000，4000= 0.以上三式相加可得3 a。*3*6 *9 *1998= 31000所以aa3a6 a- as= 3999.2001*122001*12、在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图） ，要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物.现有4 种不同的植物可供选择，则有 _ 种栽种方案.答案：732解析：考虑 A、C、E 种同一种植物，此时共有4 3 3 3 =108种方法.考虑 A、C、E 种二种植物，此时共有3 4 3 3 22= 432种

42、方法.考虑 A、C、E 种三种植物，此时共有A；2 2 2 =192种方法.故总计有108 - 432 192 = 732种方法.2000*82000*8、设an是3-.、x“的展开式中X项的系数（n =2,3,4，），则lim 二n,a2as答案：182000*122000*12、如果：（1）a,b,c,d都属于1,2,3,4?； （2）a = b,b =c,c=d,d =a； （3）a是a,b,c,d中的最小值，那么，可以组成的不同的四位数abed的个数是_答案：28解析：a,c可以相等，b,d也可以相等.当a,c相等，b,d也相等时，有C2-6种；当a,c相等，b, d不相等时，有A3

43、A；=8种；当a,c不相等，b,d相等时，有CC；+C；=8种；当a,c不相等，b,d也不相等时，有A；=6种；综上共有6 88 28种。1999*51999*5、在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场。那么，在上述3名选手之间比赛的场数是（）A.0B.1C.2D.3答案：B B解析：这三名选手之间的比赛场数是r，共n名选手参赛.由题意，可得 6 - r = 50,| n - 3 n - 4即44 r.由于0空r乞3，经检验可知，仅当r=1时，n = 13为正整数.21998*61998*6、在正方体的8个顶点，1

44、2条棱的中点, 共线的三点组的个数是（）akk(k -1)k -1k于是6个面的中心及正方体的中心共27 个点中,解析：由题意得an二C：3n，.A.57B.49C.43D.37答案：B B解析：注意到8个顶点中无3点共线，故共线的三点组中至少有 个是棱中点或面中心或体中心. 体中心为中点：4对顶点，6对棱中点，3对面中心；共13组;面中心为中点：4 6 =24组； 棱中点为中点：12个.共49个，选 B.1998*91998*9、从0,1,2,3,4,567,8,9这10个数中取出3个数，使其和为不小于10的偶数，不同的取 法有_种.答案：51解析：从这10个数中取出3个偶数的方法有Cs 1

45、0种，取出1个偶数，2个奇数的方法有1 2 C5C5=50种，而取出3个数的和为小于10的偶数的方法有（0,2,4 ）, （0,2,6）, （0,1,3）,0,1,5,0,1,7,0,3,5,2,1,3,2,1,5,4,1,3，共有9种，故应答10 50-9 =51种.1997*111997*11、设ABCDEF为正六边形，一只青蛙开始在顶点A处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一若在 5 次之内跳到D点，则停止跳动；若5次之内不能到达D点，则跳完5次也 停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共_ 种.答案：26解析：青蛙跳 5 次，只可能跳到B, D,F三点（染色可证）.青蛙顺

46、时针跳 1 次算+1,逆时针跳 1 次算1,写 5 个“口 1 ”，在中填“ +”号或“” 号： 1 1 1 口 1 1规则可解释为：前三个中如果同号，则停止填写；若不同号，则后2 个中继续填写符号.前三同号的方法有 2 种； 前三个不同号的方法有23-2=6种， 后两个中填号的方 法有2种.共有 2+6X4=26 种方法.1996*111996*11、从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色.将一个正方体的六个面染色，每面恰染一种颜色，每两个具有公共棱的面染成不同颜色则不同的染色方案共有_种（注：如果我们对两个相同的正方体染色后，可以通过适当的翻转，使得两个正方体的上、下、左、右、前、后六个对应

47、面的染色都相同，那么，我们就说这两个正方体的染色方案相同）.答案：230解析：由于至少 3 种颜色：若 6 种颜色全用：上面固定用某色，下面可有5 种选择，其余 4 面有4-1!=6种方法，共计5 6=30种方法；若用 5 种颜色：上下用同色：6 种方法，选 4 色：C；4-1!=30；*=90种方法；.22 2若用 4 种颜色：C6C4=90种方法.3若用 3 种颜色：C6=20种方法.共有 230 种方法.1996*121996*12、在直角坐标平面上，以199,0为圆心，以199为半径的圆周上，整点（即横、纵坐标皆为整数的点）的个数为 _.答案：4解析：把圆心平移至原点，不影响问题的结果

48、.故问题即求x2 y2=1992的整数解数.显然x, y一奇一偶，设x =2m,y = 2n -1.且 仁m, n乞99.则得4m2=199（2n -1）2二198 2n 200 -2n.即m2= 99 n 100 - n三n -1一nmod 420门三0,1(mod4)由于m为正整数,m三0,1(mod4)；(n-1-n月丿，二者矛盾，.2n三2,3(mod4)故只有0,_199,_ 199,0这 4 解.共有 4 个.199,_199,0,0,398,0.1995*111995*11、将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可使用，那么不同的染色方法的

49、总数是 _ 答案：420解析：顶点染色，有5种方法，底面 4 个顶点，用 4 种颜色染，A：=24种方法；用 3 种颜 色，选 1对顶点C；种，这一对顶点用某种颜色染C4，余下 2 个顶点，任选 2 色染，A种， 共有C；C4A2=48种方法；用 2 种颜色染：Af =12种方法；共有5(24 + 48 + 12)=420种方法.1993*121993*12、三位数(100,101，,999)共900个，在卡片上打印这些三位数，每张卡片上打印一 个三位数，有的卡片所印的，倒过来看仍为三位数， 如198倒过来看是861；有的卡片则不然， 如531倒过来看是1凸，因此，有些卡片可以一卡二用， 于是

50、至多可以少打印_ _ 张卡片.答案：34解析： 首位与末位各可选择1,6,8,9有4种选择，十位还可选0，有5种选择，共有4 5 4 =80种选择但两端为1,8，中间为0,1,8时，或两端为9,6，中间为0,1,8时，倒后不 变；共有2 3 2 3 =12个，故共有802=34个.21990*111990*11.设n= 1990，则4r(13Cn232C：3C；+ +3995。9 )=_.21答案：-丄2r1990r叩990解析：取 -一+i展开的实部即为此式.而-一+ i=- + i.故原式I22丿I22丿221=2 1990*121990*12 .8个女孩与25个男孩围成一圈，任何两个女孩

51、之间至少站两个男孩，则共有 种不同和排列方法.(只要把圆旋转一下就能重合的排法认为是相同的).答案：7!25!C：6解析：每个女孩与其后的两个男孩组成一组，共8组，与余下9个男孩进行排列，某个女孩始终站第一个位子，其余7组在8 9-16个位子中选择7个位子，得C：种选法.7个女 孩可任意换位，25个男孩也可任意换位，故共得7!25!C176种排列方法.1989*11 .如果从数1,2,3/ ,14中，按由小到大的顺序取出a1,a2,a3，使同时满足a2p _3，a3- a?-3，那么，所有符合上述要求的不同取法有 _种.答案：120解析： 令a；，a2二a?- 2，a3二a3-4，则得1 -

52、a(:a2:a3 -10.所求取法为Cw -120. 2n 11988*7 .x 2的展开式中，x的整数次幕的各项系数之和为 _ .答案:1 32n 112解析:皈+2行依2严=2（C；n卅2乂+C爲23严+代2貯22匕0）.令x =1，得所求系数和为132n 11.21988*9.甲乙两队各出7名队员，按事先排好顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，直至一方队员全部淘汰为止，另一方获得胜利，形成一种比赛过程。那么所有可能出现的比赛的过程种数为 _ .答案：解析：画 1 行 14 个格子，每个格子依次代表一场比赛，如果某场比赛某人输了，就在相应 的

53、格子中写上他的顺序号（两方的人各用一种颜色写以示区别）.如果某一方 7 人都已失败则在后面的格子中依次填入另一方未出场的队员的顺序号于是每一种比赛结果都对应一种填 表方法，每一种填表方法对应一种比赛结果这是一一对应关系故所求方法数等于在14 个格子中任选 7 个写入某一方的号码的方法数.共有C：种比赛方式.1987*9 .五对孪生兄妹参加k个组活动，若规定：孪生兄妹不在同一组；非孪生关系的任意两个人都恰好共同参加过一个组的活动，有一人只参加两个组的活动，则k的最小值为_.（命题组供题）答案：14解析：设此 10 人为A,a, B,b,C,c,D,d,E,e.A只参加 2 组，故除a外其余 8

54、人应分成 2组，每组人数都不超过 4 人（否则有孪生兄妹同组）.记第一组为:B,C,D,E?，第二组为b,c,d,el于是其余 8 人中大写字母不再同组，小写字母也不再同组.即除a外其余组中人数不超过 2 人.每人都再参加 3 组，故至少还要3 4=12组.a可参加其中 4 组.即至少要14 组.又a,B,c?,E,d I 5,，a,C,bC,d, ；C,&,D,b1,D,c D,a,e, 匸从,E,cl a,E,d?满足要求.故所求最小值为14.1985*8、方程2x1 X2 *3 ,10=3的非负整数解共有 _ 组.答案：174解析：当为=1时，x2X3，X10=1，共有 9 解；当为=0时，x2X3 X10 =3,共有9 Ag C93=165解.共有174解.1983*7、在正方形ABCD所在平面上有点P，使 等腰三角形，那么具有这样性质的点P的个数有（A. 9个B. 17个C. 1个答案：A A解析：作图，以正方形的顶点为圆心，边长为半径作 形的中心满足要求，共有 9 个点.选 A.PAB、：PBC、 ：PCD、 ：PDA都是）D. 5个