概率论与数理统计三版课后答案

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1、本文档为精品文档，如对你有帮助请下载支持，如有问题请及时沟通，谢谢支持！第一章事件与概率1 .写出下列随机试验的样本空间。(1)记录一个班级一次概率统计考试的平均分数(设以百分制记分)。(2)同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。(3)生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。(4)对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。(5)在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。(6)实测某种型号灯泡的寿命。C=0,1，100n,解(1)n其中n为班级人数。C=3,4，,18。=10,11,。(

2、4)C=00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,0111,1111,其中0表本次品，1表不正品。(5)Q=(x,y)10Vx1,0y0。2 .设A,B,C为三事件，用A,B,C的运算关系表示下列各事件，。(1) A发生，B与C不发生。(2) A与B都发生，而C不发生。(3) A,B,C中至少有一个发生。(4) A,B,C都发生。(5) A,B,C都不发生。(6) A,B,C中不多于一个发生。(7) A,B,C至少有一个不发生。(8) A,B,C中至少有两个发生。解(1)ABC,(2)ABC,(3)A+B+C,(4)ABC,(5)ABC,(6

3、)AB+AC+BC或ABCABCABCABC,(7)A+B+C,(8)AB+AC+BC或ABC.ABC一ABC一ABC3.指出下列命题中哪些成立，哪些不成立，并作图说明。(1)aU B = ABUb(2) AB = AB7(3)若B匚AMUB=ABAUB,则B仁A(5)A BC = ABC(6)若AB =6且CUA,则BC=6解:(1)成立，因为aBUb=(aUb)(BUb)=aUb。(2)不成立，因为ab=a+b#ab。(3)成立，二B二A,:.BUAB,又ABuB,二B=AB。(4)成立。(5)不成立，因左边包含事件C,右边不包含事件C,所以不成立。(6)成立。因若BCw。，则因CCA,必

4、有BCUAB,所以ABw。与已知矛盾，所以成立。图略。4.简化下列各式：(A+B)(B+C)(2)(A+B)(A+B)(3)(AB)(AB)(AB)解:(1)(A+B)(B+C)=AB+AC+B+BC,因为AB+BCUB,所以，(A+B)(B+C)=B+AC。(2)(A+B)(A+B)=A+AB+BA+BB,因为aB+ba=ac=a,BB=C且C+6=C,所以(A+B)(A+B)=a。(3)(AB)(AB)(AB)=A(A+B)=6+AB=AB。5设a,B,1C是三事件，且P(A)=P(B)=P(C)=4,一一1P(AB)=P(BC)=0,P(AC),8求A,B,C至少有一个发生的概率。解AB

5、C匚AB0乙P(ABC)/P(AB)=0,故P(ABC)=0所求概率为P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)6 .从1、2、3、4、5这5个数中，任取其三，构成一个三位数。试求下列事件的概率：(1)三位数是奇数；(2)三位数为5的倍数；(3)三位数为3的倍数；(4)三位数小于350。解设A表示事件“三位数是奇数”，B表示事件“三位数为5的倍数”，C表示事件“三位数为3的倍数”，D表示事件“三位数小于350”。基本事件总数为3VIA5,(2)2Va = A：3,Vb =A： 1,Vc =4 3!,(4)Vd =A K2 +A A1,-2_

6、P(A)=r36 -=0.660P(B)=P(A)=P(D) =A2 14 3!12=0.26024 八， =0.460内父2 + A1 A；A33600.557 .某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶、红漆3桶，在搬运中所有标签脱落，交贷人随意将这些油漆发给顾客。问一个定货4桶白漆、3桶黑漆和2桶红漆的顾客，能按所定颜色如数得到定货的概率是多少？解随机试验E为任意取9桶交与定货人，共有C197种交货方式。其中符合定货要求的有C140-C3-C；种，故所求概率为8 .在1700个产品中有500个次品、1200个正品。任取200个。（1）求恰有90个次品的概率；（2）求至少有2个次

7、品的概率。解（1）试3金E为1700个产品中任取200个，共200有C1700种取法，其中恰有90个次品的取法为90110C500-C1200,故恰有90个次品的概率为(2)设事件A表示至少有2个次品，B表示恰有1个次品，C表示没有次品，则A=S-(BUC),且BC二(),BUC=SP(A尸PS-(BU二1 一c500199C12002001200C)=P(S)-P(B)+P(C)20017009 .把10本书任意地放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率。解Vq=P10=10!,设所论事件为A,则8!3!P(A)0.067Va=8!X3!10!10 .从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋

8、子中至少有两只鞋子配成一双的概率是多少？解Vq=Co,设A表示事件“4只鞋中至少有2只配成一双”，则A表示“4只鞋中没有2只能配成一双”。先求出P(A),再求P(A)。10864有利于A的情形共有4!种(因为不考虑取4只鞋的次序，所以被4!除)。108644!8P(A)4-0.381C1021故813P(A)=1-P(A)=10.6192121另一解法：有利于事件A的总数为c5c8c廓c；是重复的翱目11 .将3鸡蛋随机地打入5个杯子中去，求杯子中鸡蛋的最大个数分别为1,2,3的概率。解依题意知样本点总数为53个。以Ai(i=1,2,3)表示事件“杯子中鸡蛋的最大个数为i”，则Ai表示每杯最多

9、放一只鸡蛋，共有A53种放法，A2表示由3个鸡蛋中任取2个放入5个杯中的任一个中，其余一个鸡蛋放入其余4个杯子中，放法总数为八2八1八1C3c5c4种A3表示3个鸡蛋放入同一个杯中，共有C5种放法，故12 .把长度为a的线段在任意二点折断成为三线段，求它们可以构成一个三角形的概率。解设所论事件为A,线段a被分成的三段长度分别用x,y和a-x-y表示，则样本空间为：0vx2L)=之，1或y1+x;(2)当乙船先到时，甲船应迟来两小时以上，即x-y2或y1+x,yWx-2,1212(24-1)2-(24-2)2L(A)2213P(A)=122L(A)2(23+22)L8)2420.879o14.已

10、知P(A)11=4，P(BA)=3，P(AB)=求P(B),P(AUB)o解由乘法公式知P(AB)1/121P(B)=-二一P(A|B)1/261111P(AB)=P(A)P(B)-P(AB)：4612315.已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取两次，每次任取一只，作不放回抽样。求下列事件的概率。(1)两只都是正品；(2)两只都是次品；(3)一只是正品，一只是次品；(4)第二次取出的是次品。解设以Ai(i=1,2)表示事件“第i次取出的是正品“，因为不放回抽样，故284587P(AiA2)=P(Ai)P(A2|Ai):(1) 109211P(AA2)=P(A1)P(&IA1);(2) 10

11、945(3)(4) 4)945-8221P(A2)=P(A1A2A1A2)=P(A1A2)P(A1A2)=一一一一10910916.在做钢筋混凝土构件以前，通过拉伸试验，抽样检查钢筋的强度指标，今有一组A3钢筋100根，次品率为2%,任取3根做拉伸试3金,如果3根都是合格品的概率大于0.95,认为这组钢筋可用于做构件，否则作为废品处理，问这组钢筋能否用于做构件？解设Ai表示事件“第i次取出的钢筋是合格品”，则所以P(AA2A3)=P(A)P(A2A)P(aA1A2):0.9406:二0.95故这组钢筋不能用于做构件。17 .某人忘记了密码锁的最后一个数字，他随意地拨数，求他拨数不超过三次而打开

12、锁的概率。若已知最后一个数字是偶数，那么此概率是多少？解设以A表示事件“第i次打开锁”(i=1,2,3),A表示“不超过三次打开”，则有易知：A1,A1A2,A1A2A3是互不相容的。P(A)=P(AiA1A2A1A2A3)=P(A)P(AiA2)P(AA2A3)=P(Al)P(Ai)P(A2|Al)P(A)P(A2|Ai)P(A3)|AA2)-t-*-f-*所求概率是10109109810同理，当已知最后一个数字是偶数时,18 .袋中有8个球，6个是白球、2个是红土8个人依次从袋中各取一球，每人取一球后不再放回袋中。问第一人，第二人，最后一人取得红球的概率各是多少个。解设以Ai(i=1,2,

13、8)表示事件“第i个人取到的1P(A),是红球”。则4又因A2=A1A2+AA2,由概率的全概公式得类似地有19 .设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知两件中有一件是不合格品，问另一件也是不合格品的概率是多少？解设A,B分别表示取出的第一件和第二件为正品，则所求概率为20 .对某种水泥进行强度试验，已知该水泥达到500#的概率为0.9,达到600#的概率为0.3,现取一水泥块进行试验，已达到500#准而未破坏，求其为600#的概率。解设A表示事件“水泥达到500#”，B表示事件“水泥达到600#。则P(A)=0.9,P(B)=0.3,又B仁A,即P(AB)=0.3,所以P(BA)=

14、P(AB)/P(A)=0.3/0.9=1/321 .以A,B分别表示某城市的甲、乙两个区在某一年内出现的停水事件，据记载知P(A)=0.35,P(B)=0.30,并知条件概率为P(AB)=0.15,试求：(1)两个区同时发生停止供水事件的概率；(2)两个区至少有一个区发生停水事件的概率。解(1)由题设，所求概率为P(AB)=P(B)P(AB)=0.30,15=0.045.(2)所求概率为P(AB)=P(A)P(B)-P(AB)=0.350.30-0.045=0,605o22 .设有甲、乙两袋，甲袋中装有n只白球、，m只红球；乙袋中装有N只白球、M只红球，今从甲袋中任意取一只球放人乙袋中，再从乙

15、袋中任意取一只球。问取到白球的概率是多少？解设AA2分别表示从甲、乙袋中取到白球，则由全概率公式23 .盒中放有12只乒乓球，其中有9只是新的。第一次比赛时从其中任取3只来用，比赛后仍放回盒中。第二次比赛时再从盒中任取3只，求第二次取出的球都是新球的概率。解设Bi(i=0,1,2,3)表示事件“第一次比赛时用了i个新球”，用A表示事件“第二次比赛时取出的球都是新球”。则有i3-k3P(Bi)=CC,P(ABi)=CC12C12。本文档为精品文档，如对你有帮助请下载支持，如有问题请及时沟通，谢谢支持！由全概公式有3P(A)= P(Bi)P(ABi)=Zi=0i 33C9c3 C9_L(Ci441

16、30250.4161924 .将两信息分别编码为A和B传递出去，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02.而B被误收作A的概率为0.01.信息A与信息B传送的频繁程度为2:1.若接收站收到的信息是A,问原发信息是A的概率是多少？解设事件H表示原发信息为A,C表示收到信息为A,则H表示原发信息是B。H,H是S的一个划分。依题意有由贝叶斯公式有25 .甲、乙、丙三组工人加工同样的零件，它们出现废品的概率：甲组是0.01,乙组是0.02,丙组是0.03,它们加工完的零件放在同一个盒子里，其中甲组加工的零件是乙组加工的2倍，丙组加工的是乙组加工的一半，从盒中任取一个零件是废品，求它不是乙组加工的概率

17、。解设A1,A2,A3分别表示事件“零件是甲、乙、丙加工的”，B表示事件“加工的零件是废品”。则P(BA)=0.01,P(BA2)=0.02,P(BA3)=0.03一47P(A2B)=1-P(A2B)=1所以1111。26 .有两箱同种类的零件。第一箱装50只，其中10只一等品；第二箱装30只，其中18只一等品。今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样。试求(1)第一次取到的零件是一等品的概率。(2)第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率。解设事件A表示“取到第一箱”，则A表示“取到第二箱”，Bi,B2分别表示第一、二次取到一等品。(1)

18、依题意有：1101P(A)=P(A)P(B1|A)=2,505,183P(BJA)=菰=工305由全概率公式P(B1 B2 | A)=10 950 49P B2 |A)=18 1730 29由全概率公式P(B1B2)93M17、12P(B2|B)=12)=+/=0.4856P(B1)3495M29)2527 .设有四张卡片分别标以数字1,2,3.4.今任取一张设事件A为取到4或2,事件B为取到4或3,事件C为取到4或1,试验证P(AB)=P(A)P(B),P(BC)=P(B)P(C),P(CA)=P(C)P(A，P(ABC)井AP(B)P(C)。证样本空间建中有4个样本点，而A、B、C中均含有

19、2个样本点，故又AB、AC、BC中均含有1个样本点“取到4”-1P(AB)=P(AC)=P(BC)一41P(AB)=P(A)P(B)=4P(AC)=P(A)P(C)同理P(BC)=P(B)P(C)又ABC中有1个样本点取到4_11一P(ABC)二一一二P(A)P(B)P(C)4828 .假设B1，B2关于条件A与A都相互独立，求P(ABB)RAB1)P(耶)12RAB1)P(BzA)P(A回)RB2A)证由Bjb2关于条件A与A是相互独立的，故有P(B1B2A)=P(B1A)P(B2A),PB1B2A)=P(B1A)P(B2A),以及P(A)P(B1A)=P(AB0=P(B)P(AB)从而29

20、 .如果一危险情况C发生时，一电路闭合并发出警报，我们可以借用两个或多个开关井联以改善可靠性，在C发生时这些开关每一个都应闭合，且若至少一个开关闭合了，警报就发出，如果两个这样的开关并联联接，它们每个具有0.96的可靠性(即在情况C发生时闭合的概率)，问这时系统的可靠性(即电路闭合的概率)是多少？如果需要有一个可靠性至少为0.9999的系统，则至少需要用多少只开关并联？这里设各开关闭合与否都是相互独立的。解设n只开关并联，以Ai表示事件“在C发生时，第i只开关闭合“，则由已知条件诸Ai相互独立，且P(Ai)=0.96,从而知，当n=2时，系统的可靠性为又若使系统可靠性至少为0.9999,则必须

21、0.9999-nnnP(Ai)-1-P(Ai)=1P(Ai)=1_P(A)n=1_(0.04)i1i1i1(1-0.9999)n_1g=2.86即1g0.04故至少需用3只开关才能使系统的可靠性至少为0.9999。30 .甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人中的概率分别为0.4,0.5,0.7,飞机被一人击中而被击落的概率为0.2,被两人击中而被击落的概率为0.6,若三人都击中，飞机必定被击落。求飞机被击落的概率。解设A1,A2,A3分别表示甲、乙、丙击中飞机，Bi(i=0,1,2,3)表示有i个人击中飞机，H表示飞机被击落。则A,A2,A3独立,且于是P(B0)=(1-0.4)(1-0.5

22、)(1-0.7)=0.09依题意有:P(H|Bo)=0,P(HBi)=0.2,P(HB2)=0.6,P(HB3)=1于是，由全概公式有P(H)=0.0900.360.20.410.60.141=0.45831 .在装有6个白球，8个红土和3个黑球的口袋中，有放回地从中任取5次，每次取出一个。试求恰有3次取到非白球的概率。解由题设知，取一个非白球的概率p=11/17,于是_332b(3;5,11/17)=C5(11/17)(6/17)%0.3375。若视11/17%0.65,则可查表得b(3;5,11/17)=b(3;5,0.65)期0.336432 .电灯泡使用时数在1000小时以上的概率为0

23、.2,求三个灯泡在使用1000小时后最多只有一只坏了的概率。解设A表示事件“一个灯泡可使用1000小时以上”，则A的概率为p=0.2,q=0.8。考察三个灯泡可视为n=3的贝努利试验，于是所求概率为_330_2232P=C3PqC3Pq=(0.2)3(0.2)0.8=0.104o33 .某地区一年内发生洪水的概率为0.2,如果每年发生洪水是相互独立的，试求：(1) 洪水十年一遇的概率；(2) 至少要多少年才能以99%以上的概率保证至少有一年发生洪水。解这是贝努利概型，p=0.2.(1)n=10，设A表示事件“洪水十年一遇”，则(2)由题设，即要1-(0.8)n2成立,解此不等式得n221,即至

24、少要21年才能以99%以上的概率保证至少有一年发生洪水。34 .在打桩施工中，断桩是常见的，经统计，甲组断桩的概率为3%,乙组断桩的概率为1.2%。某工地准备打15根桩，甲组打5根，乙组打10根，问：(1) 产生断桩的概率是多少？(2) 甲组断两根的概率是多少？解设A表示事件“所打桩是甲组的，B表示事件“所打桩是乙组的”，C表示事件“在打桩施工中产生断桩”。则P(CA)U0.03,P(CB)U0.012,P(A)=5/15,P(B)=10/15(1)由全概公式有P(C)=P(A)P(CA)P(B)P(CB)：0.018(2)是贝努利概型，这里p=P(CA)=O.03,n=5,于是所求概率为_2

25、23_2_3P=C5P(1-p)=10(0.3)(0.97)：0.0082o35 .某养鸡场一天孵出n只小鸡的概率为1-P0:p1,0:二a:二其中p，若认为孵出一只公鸡和一只母鸡是等可能的，求证:一天孵出k只母鸡的2aPkTFT概率(2一p)，又已知一天已孵出母鸡，问还能孵出一只公鸡的概率是多少？证设Ak是表示事件“一天中孵出k只母鸡”，Bn是表示事件“一天中孵出n只小鸡”，则Bn是互不相容事件，且p(Bn)=pn,klklnkkink_kknkk,knP(AkBn)=Cn()(一)=。(一)222o(1)k之1(2)某天已孵出一只母鸡，即A发生，在此条件下还孵出一只公鸡，即B2发生，因此所求概率为