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1、-1-1.1平面直角坐标系与曲线方程精 品 数 学 课 件北 师 大 版第二章参数方程1 1参数方程的概念参数方程的概念一般地,在取定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标(x,y)都是某个变数t的函数 并且对于t取的每一个允许值,由方程组所确定的点P(x,y)都在这条曲线上,那么方程组就叫作这条曲线的参数方程,联系x,y之间关系的变数t叫作参变数,简称参数.相对于参数方程,我们把直接用坐标(x,y)表示的曲线方程f(x,y)=0叫作曲线的普通方程.名师点拨对参数方程,应从以下六个方面加以理解(1)参数方程的形式:方程组中有三个变数,其中x和y表示点的坐标,第三个变数t叫作参变数,而且x与y分别
2、是t的函数,由于横、纵坐标都是变数t的函数,因此给出一个t能唯一地求出对应的x,y的值,因而能得到唯一的点.(2)参数的取值范围:在写曲线的参数方程时,必须指明参数的取值范围,取值范围不同,所表示的曲线也可能会有所不同,同一曲线选取的参数不同,曲线的参数方程可以有不同的形式.(3)参数方程与普通方程的统一性:普通方程是相对参数方程而言的,普通方程反映了坐标变数x与y之间的直接联系,而参数方程是通过参变数反映坐标变数x与y之间的间接联系;普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式;参数方程可以与普通方程进行互化.(4)参数的作用:参数作为间接地联系横、纵坐标x,y之间关系的中间变数,起到了桥
3、梁的作用.(5)参数的意义:如果参数选择适当,参数在参数方程中可以有明确的几何意义,也可以有明确的物理意义,可以给解决问题带来方便,即使是同一条曲线,也可以用不同的变数作为参数.写参数方程时必须注明哪个字母是参数.(6)参数方程与含有参数的方程是两个不同的概念.如方程x2+y2+(t-1)x+3ty+2=0(t为参数)是含有参数的方程,它表示曲线系,而不是参数方程.【做一做1】 曲线(x-1)2+y2=4上的点可以表示为 ()A.(-1+cos ,sin )B.(1+sin ,cos )C.(-1+2cos ,2sin )D.(1+2cos ,2sin )解析：将点的坐标代入方程,使方程成立的
4、即可.答案：D解析：由题意,设d2=(x-5)2+(y+4)2=(2+cos -5)2+(sin +4)2=8sin -6cos +26=10sin(-)+26,答案：6 思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”.(1)参数方程是通过参数反映坐标变量x,y之间的间接联系. ()(2)参数方程中的参数没有任何意义. () 探究一探究二思维辨析求曲线的参数方程求曲线的参数方程【例1】 如图,ABP是等腰直角三角形,B是直角,腰长为a,顶点B,A分别在x轴、y轴上滑动,求点P在第一象限的轨迹的参数方程.分析：解决此类问题关键是参数的选取.本例中由于A,B的滑动而引起点P
5、的运动,故可取OB的长为参数,或取BP与x轴正向夹角为参数来求解.探究一探究二思维辨析解：(方法一)设点P的坐标为(x,y),过点P作x轴的垂线交x轴于点Q,如图所示.则RtOAB RtQBP.探究一探究二思维辨析(方法二)设点P的坐标为(x,y),过点P作x轴的垂线交x轴于点Q,如图所示.探究一探究二思维辨析反思感悟求曲线的参数方程的步骤1.画出图形,建立合理的坐标系.坐标系选取是否合理,对于求参数方程的繁简程度有着决定性的作用,同时,建立方式不同,所得参数方程的形式也不同.2.设出点的坐标,并选取合适的参数.由于参数方程是关于曲线上点的坐标的方程,所以必须设出曲线上任意一点的坐标.参数的选
6、择要考虑以下两点:一是曲线上每一点的坐标x,y与参数的关系比较明显,容易列出方程;二是x,y的值可以由参数唯一确定.例如,在研究运动问题时,通常选时间为参数;在研究旋转问题时,通常选旋转角为参数.此外,离某一定点的有向距离、直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数.探究一探究二思维辨析3.列出点的横、纵坐标关于参数的方程.求曲线方程实质上就是建立关于曲线上任意一点的坐标的方程,其本质就是列方程.所以,要在题目条件中找到等量关系(有时是某些定义、定理或公式等),然后利用坐标和参数将等量关系表示出来,就得到了方程.4.求参数的取值范围,并写出曲线的参数方程.因为求曲线的方程需注意两个方面:(1)
7、曲线上任一点的坐标都是这个方程的解;(2)同时以这个方程的解作为坐标的点都在曲线上.所以,必须通过参数的取值范围(实质上是函数的定义域)达到曲线上点的坐标和方程的解一一对应的目的.探究一探究二思维辨析变式训练1 设质点沿以原点为圆心, 2为半径的圆作匀角速度运动,角速度为 rad/s,试以时间t为参数,建立质点运动轨迹的参数方程.解：如图,运动开始时质点位于点A处,此时t=0,设动点M(x,y)对应时刻t,由图可知探究一探究二思维辨析参数方程表示曲线上的点参数方程表示曲线上的点【例2】 已知曲线C的参数方程是 (t为参数).(1)判断点M1(0,1),M2(5,4)与曲线C的位置关系;(2)已
8、知点M3(6,a)在曲线C上,求a的值.分析：由参数方程的概念,只需判断对应于点的参数是否存在即可,若存在,说明点在曲线上,否则不在曲线上.探究一探究二思维辨析探究一探究二思维辨析反思感悟参数方程是曲线方程的另一种表达形式,点与曲线位置关系的判断,与平面直角坐标方程下的判断方法是一致的.对于曲线C的普通方程f(x,y)=0,若点M(x1,y1)在曲线上,则f(x1,y1)=0,若点N(x2,y2)不在曲线上,则f(x2,y2)0.同样,对于曲线C的对应的参数t有解,否则无解,即参数t不存在. 探究一探究二思维辨析变式训练2 已知某条曲线C的参数方程为 (其中t为参数,aR).点M(5,4)在该
9、曲线上,求常数a.探究一探究二思维辨析因忽视参数的取值范围而致误典例将参数方程 (t为参数,0t)化为普通方程,并说明方程表示的曲线.正解：0t,-3x5,-2y2.又(x-1)2+(y+2)2=16cos2t+16sin2t=16,曲线的普通方程为(x-1)2+(y+2)2=16(-3x5,-2y2).它表示的曲线是以(1,-2)为圆心,4为半径的上半圆.探究一探究二思维辨析纠错心得1.本题忽略了参数t的取值范围,在参数方程中,t0,x-3,5,y-2,2.2.将参数方程化为普通方程时,很容易改变变量的取值范围,从而使得两种方程所表示的曲线不一致,因此在解题时一定要验证普通方程与参数方程的等
10、价性.探究一探究二思维辨析1 2 3 4 51.参数方程 (t为参数)的曲线必过点()A.(1,2)B.(-2,1) C.(2,3) D.(0,1)解析：由参数方程 (t为参数),令x=1,-2,2,0,分别得t=0,-3,1,-1,y=0,3,3,-1,故选C.答案：C1 2 3 4 52.下列方程可以作为x轴的参数方程的是() 解析：因为x轴上的点的纵坐标为0,横坐标可以为任意实数,所以选D.答案：D1 2 3 4 53.已知O为原点,参数方程 (为参数)上的任意一点为A,则|OA|=()A.1B.2C.3D.4解析：参数方程 (为参数)的曲线为圆心为O,半径为3的圆,|OA|=3.答案：C1 2 3 4 54.曲线 (为参数)上的点到原点的最大距离为.解析：曲线 (为参数)表示圆心为C(3,-4),半径为1的圆,故圆上的点到原点的最大距离为|OC|+1=6.答案：61 2 3 4 55.已知参数方程 (为参数,0,2),判断点A(1, )和B(2,1)是否在方程的曲线上.解：把A,B两点的坐标分别代入参数方程,
高中数学北师大版选修4－4 课件：2.1参数方程的概念
