整体分析及总体刚度矩阵的性质

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1、整体分析及总体刚度矩阵的性质整体分析整体分析23yP3xP314562xP1yPaaaa 图示结构的网格共有四图示结构的网格共有四个单元和六个节点。在节个单元和六个节点。在节点点1 1、4 4、6 6共有四个支杆支共有四个支杆支承。结构的载荷已经转移承。结构的载荷已经转移为结点载荷。为结点载荷。 整体分析的四个步骤：整体分析的四个步骤：1 1、建立整体刚度矩阵；、建立整体刚度矩阵；2 2、根据支承条件修改整体、根据支承条件修改整体刚度矩阵；刚度矩阵；3 3、解方程组，求节点位移；、解方程组，求节点位移；4 4、根据节点位移求出应力。、根据节点位移求出应力。 单元分析得出单元刚度矩阵，下面，将各

2、单元组单元分析得出单元刚度矩阵，下面，将各单元组合成结构，进行整体分析。合成结构，进行整体分析。整体分析整体分析 1 1、建立整体刚度矩阵、建立整体刚度矩阵( (也叫作结构刚度矩阵也叫作结构刚度矩阵) ) 上图中的结构有六个节点，共有上图中的结构有六个节点，共有1212个节点位移分量和个节点位移分量和1212个个节点力分量。由结构的节点位移向量求结构的节点力向量时，节点力分量。由结构的节点位移向量求结构的节点力向量时，转换关系为：转换关系为： 分块形式为：分块形式为： 其中子向量其中子向量 和和 都是二阶向量，子矩阵都是二阶向量，子矩阵 是二行二列矩阵。整体刚度矩阵是二行二列矩阵。整体刚度矩阵

3、KK是是1212* *1212阶矩阵。阶矩阵。 FK 111121314151612212223242526233132333435363441424344454645515253545556566162636465666FKKKKKKFKKKKKKFKKKKKKFKKKKKKFKKKKKKFKKKKKK i iFijK整体分析整体分析 2 2、根据支承条件修改整体刚度矩阵。、根据支承条件修改整体刚度矩阵。 建立整体刚度矩阵时，每个建立整体刚度矩阵时，每个节节点的位移当作未知量看待，没有点的位移当作未知量看待，没有考虑具体的支承情况，因此进行整体分析时还要针对支承条件加以考虑具体的支承情况，因

4、此进行整体分析时还要针对支承条件加以处理。处理。 在上图的结构中，支承条件共有四个，即在在上图的结构中，支承条件共有四个，即在节节点点1 1、4 4、6 6的四的四个支杆处相应位移已知为零：个支杆处相应位移已知为零： 建立建立节节点平衡方程时，应根据上述边界条件进行处理。点平衡方程时，应根据上述边界条件进行处理。 3 3、解方程组，求出节点位移。、解方程组，求出节点位移。 通常采用消元法和迭代法两种方法。通常采用消元法和迭代法两种方法。 4 4、根据节点位移求出应力。、根据节点位移求出应力。14460000uuvv，整体刚度矩阵的形式整体刚度矩阵的形式 整体刚度矩阵整体刚度矩阵 是单元刚度矩阵

5、是单元刚度矩阵 的集成。的集成。 1 1、刚度集成法的物理概念：、刚度集成法的物理概念： 刚度矩阵中的元素，即由节点作单位位移时引起的节点力。刚度矩阵中的元素，即由节点作单位位移时引起的节点力。在单元刚阵在单元刚阵 中，中， 表示表示j j节点单位位移，其他节点位移为节点单位位移，其他节点位移为零时，零时，单元单元e e在在i i节点引起的节点力节点引起的节点力；类似，在整体刚阵中，；类似，在整体刚阵中， 表示表示j j节点单位位移，其他节点位移为零时，节点单位位移，其他节点位移为零时，整体结构在整体结构在i i节点节点引起的节点力引起的节点力（由于结构已被离散为一系列单元，即所有与（由于结构

6、已被离散为一系列单元，即所有与i i、j j节点相关的单元在节点相关的单元在i i节点引起的节点力之和）。节点引起的节点力之和）。 如上图结构，计算如上图结构，计算 时，与节点时，与节点2 2和和3 3相关的单元有单元相关的单元有单元和和，当节点，当节点3 3发生单位位移时，相关单元发生单位位移时，相关单元和和同时在节点同时在节点2 2引起节点力，将相关单元在节点引起节点力，将相关单元在节点2 2的节点力相加，就得出结构的节点力相加，就得出结构在节点在节点2 2的节点力的节点力 。由此看出，结构的刚度。由此看出，结构的刚度系数是相关单元的刚度系数的集成，系数是相关单元的刚度系数的集成，结构刚度

7、矩阵中的子块是结构刚度矩阵中的子块是相关单元的对应子块的集成相关单元的对应子块的集成。 ek K ekeijkijk23k13232323kkk整体刚度矩阵的形式整体刚度矩阵的形式2 2、刚度矩阵的集成规则：、刚度矩阵的集成规则：1 1）在整体离散结构变形后，应保）在整体离散结构变形后，应保证各单元在节点处仍然协调地相互证各单元在节点处仍然协调地相互连接，即在该节点处所有单元在该连接，即在该节点处所有单元在该节点上有相同位移，节点上有相同位移，2 2）整体离散结构各节点应满足平）整体离散结构各节点应满足平衡条件。即环绕每个节点的所有单衡条件。即环绕每个节点的所有单元作用其上的节点力之和应等于作

8、元作用其上的节点力之和应等于作用于该节点上的节点载荷用于该节点上的节点载荷RiRi， 12niiii eiieFR12i 3412i Ri34整体刚度矩阵的形式整体刚度矩阵的形式 2 2、整体刚度矩阵的集成方法、整体刚度矩阵的集成方法 具体集成方法是：先对每个单元求出单元刚度矩具体集成方法是：先对每个单元求出单元刚度矩阵阵 ，然后将其中的每个子块，然后将其中的每个子块 送到结构刚送到结构刚度矩阵中的对应位置上去，进行迭加之后即得出结构度矩阵中的对应位置上去，进行迭加之后即得出结构刚度矩阵刚度矩阵KK的子块，从而得出结构刚度矩阵的子块，从而得出结构刚度矩阵KK。 关键是如何找出关键是如何找出 中

9、的子块在中的子块在KK中的对应位置。中的对应位置。这需要了解单元中的节点编码与结构中的节点编码之这需要了解单元中的节点编码与结构中的节点编码之间的对应关系。间的对应关系。 ekkij ek整体刚度矩阵的形式整体刚度矩阵的形式23145aaaa61j3m2m1m4i3i1i2i4j3j2j4m 结构中的节点编码称为结构中的节点编码称为节点的总码，各个单元的三节点的总码，各个单元的三个节点又按逆时针方向编为个节点又按逆时针方向编为i,j,m,i,j,m,称为节点的局部码。称为节点的局部码。 单元刚度矩阵中的子块单元刚度矩阵中的子块是按节点的局部码排列的，是按节点的局部码排列的，而结构刚度矩阵中的子

10、块是而结构刚度矩阵中的子块是按节点的总码排列的。因此，按节点的总码排列的。因此，在单元刚度矩阵中，把节点在单元刚度矩阵中，把节点的局部码换成总码，并把其的局部码换成总码，并把其中的子块按照总码次序重新中的子块按照总码次序重新排列。排列。整体刚度矩阵的形式整体刚度矩阵的形式 以单元以单元为例，局部码为例，局部码i,j,mi,j,m对应于总码对应于总码5,2,45,2,4，因此，因此 子块按照总码重新排列后，得出扩大矩阵子块按照总码重新排列后，得出扩大矩阵 为：为： (2)k(2)K )2(jjK)2(jmK)2(jiK)2(mjK)2(mmK)2(miK)2(ijK)2(imK)2(iiK2j2

11、m2i2j2m2i126543216543局部码总码 而相应的单元刚度而相应的单元刚度方程为（或节点力表方程为（或节点力表达式）：达式）： 1222(2)32442556000FKFF整体刚度矩阵的形式整体刚度矩阵的形式用同样的方法可得出其他单用同样的方法可得出其他单元的扩大的单元刚度方程元的扩大的单元刚度方程: :据节点力平衡，各个单元相据节点力平衡，各个单元相应节点力叠加：应节点力叠加：整理可得，整体平衡方程：整理可得，整体平衡方程： 1122( )33445566 e=1,2,.4eeeeeeeFFFKFFF i=1,.6eiieFR KR整体刚度矩阵的形式整体刚度矩阵的形式整体平衡方程

12、：整体平衡方程： 1 1）其中）其中KK为将各单元的扩大矩阵迭加所得出的结构刚度矩为将各单元的扩大矩阵迭加所得出的结构刚度矩阵：阵：集成包含搬家和迭加两个环节：集成包含搬家和迭加两个环节： A A、将单元刚度矩阵、将单元刚度矩阵 中的子块搬家，得出单元的扩中的子块搬家，得出单元的扩大刚度矩阵大刚度矩阵 。 B B、将各单元的扩大刚度矩阵、将各单元的扩大刚度矩阵 迭加，得出结构刚度迭加，得出结构刚度矩阵矩阵KK。2 2） 为节点载荷向量，为节点载荷向量， 为节点位移向量。为节点位移向量。 (1)(2)(3)(4)(e)KKKKKK eK KReK eK 1TnRRR 1Tn)1(jjK)2(mm

13、K)2(miK)1(jmK)1(jiK)2(jmK)4(iiK)4(miK)4(jiK2m1j2m4i126543216543局部码总码321i ,j ,m431j ,m,i432m,j ,i321ijm1j431jmi432mji4i)1(mmK)2(jjK)3(iiK)1(miK)3(imK)1(iiK)3(mmK)4(jjK)2(jiK)3(ijK)3(mjK)4(jmK)2(iiK)3(jjK)4(mmK2. 整体刚度矩阵的特点整体刚度矩阵的特点 在有限元法中，整体刚度矩阵的阶数通常是很高的，在在有限元法中，整体刚度矩阵的阶数通常是很高的，在解算时常遇到矩阵阶数高和存贮容量有限的矛盾。

14、找到整体解算时常遇到矩阵阶数高和存贮容量有限的矛盾。找到整体刚度矩阵的特性达到节省存贮容量的途径。刚度矩阵的特性达到节省存贮容量的途径。 1 1、对称性。、对称性。 只存贮矩阵的上三角部分，节省近一半的存贮容量。只存贮矩阵的上三角部分，节省近一半的存贮容量。 2 2、稀疏性。、稀疏性。 矩阵的绝大多数元素都是零，非零元素只占一小部分。矩阵的绝大多数元素都是零，非零元素只占一小部分。整体刚度矩阵的特点整体刚度矩阵的特点 2 2、稀疏性。、稀疏性。 矩阵的绝大多数元素都是零，非零元素只占一小部分。矩阵的绝大多数元素都是零，非零元素只占一小部分。 节点节点5 5只与周围的六个节点只与周围的六个节点(

15、2(2、3 3、4 4、6 6、8 8、9)9)用三角形用三角形单元相连，它们是单元相连，它们是5 5的相关节的相关节点。只有当这七个相关节点产点。只有当这七个相关节点产生位移时，才使该节点产生节生位移时，才使该节点产生节点力，其余节点发生位移时并点力，其余节点发生位移时并不在该节点处引起节点力。因不在该节点处引起节点力。因此，在矩阵此，在矩阵KK中，第中，第5 5行的非行的非零子块只有七个零子块只有七个( (即与相关节即与相关节点对应的七个子块点对应的七个子块) )。整体刚度矩阵的特点整体刚度矩阵的特点 2 2、稀疏性。、稀疏性。 一般，一个节点的相关结一般，一个节点的相关结点不会超过九个，

16、如果网格中点不会超过九个，如果网格中有有200200个节点，则一行中非零个节点，则一行中非零子块的个数与该行的子块总数子块的个数与该行的子块总数相比不大于相比不大于9/2009/200，即在，即在5%5%以以下，如果网格的节点个数越多，下，如果网格的节点个数越多，则刚度矩阵的稀疏性就越突出。则刚度矩阵的稀疏性就越突出。 利用矩阵利用矩阵KK的稀疏性，的稀疏性，可设法只存贮非零元素，从而可设法只存贮非零元素，从而可大量地节省存贮容量。可大量地节省存贮容量。1110987654321098765432整体刚度矩阵的特点整体刚度矩阵的特点 3 3、带形分布规律。、带形分布规律。 上图中，矩阵上图中，

17、矩阵KK的非零元素分布在以对角线为中心的非零元素分布在以对角线为中心的带形区域内，称为带形矩阵。在半个带形区域中的带形区域内，称为带形矩阵。在半个带形区域中( (包括对角包括对角线元素在内线元素在内) )，每行具有的元素个数叫做半带宽，用，每行具有的元素个数叫做半带宽，用d d表示。表示。半带宽的一般计算公式是：半带宽的一般计算公式是： 半带宽半带宽 d = ( d = ( 相邻结点码的最大差值相邻结点码的最大差值 + 1 ) + 1 ) * * 2 2 上图中相邻节点码的最大差值为上图中相邻节点码的最大差值为4 4，故，故d=(4+1)d=(4+1)* *2=102=10 利用带形矩阵的特点

18、并利用对称性，可只存贮上半带的利用带形矩阵的特点并利用对称性，可只存贮上半带的元素，叫半带存贮。元素，叫半带存贮。 整体刚度矩阵的特点整体刚度矩阵的特点 图图(a)(a)中的矩阵中的矩阵KK为为n n行行n n列矩阵，半带宽为列矩阵，半带宽为d d。半带存贮。半带存贮时从时从KK中取出上半带元素，按图中取出上半带元素，按图(b)(b)中的矩阵中的矩阵 的排列方的排列方式进行存贮，即将上半部斜带换成竖带。存贮量式进行存贮，即将上半部斜带换成竖带。存贮量n n* *d d，存贮量，存贮量与与KK中元素总数之比为中元素总数之比为d/nd/n，d d值越小，则存贮量约省。值越小，则存贮量约省。dn(a

19、)Knnd*K )(b*K矩阵矩阵K K 矩阵矩阵 对角线对角线 第第1 1列列 r r行行 r r行行 r r列列 4545度斜线度斜线r r行行s s列列 r r行行s-r+1s-r+1列元素列元素 元素元素*K整体刚度矩阵的特点整体刚度矩阵的特点 同一网格中，如果采用不同的节点编码，则相应的半带同一网格中，如果采用不同的节点编码，则相应的半带宽宽d d也可能不同。如图，是同一网格的三种节点编码，相邻节也可能不同。如图，是同一网格的三种节点编码，相邻节点码的最大差值分别为点码的最大差值分别为4 4、6 6、8 8，半带宽分别为，半带宽分别为1010、1414、1818。因此，应当采用合理的节点编码方式，以便得到最小的半带因此，应当采用合理的节点编码方式，以便得到最小的半带宽，从而节省存贮容量。宽，从而节省存贮容量。161098743251876543921014109876325