抛物线及其标准方程

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1、, .-抛物线及其标准方程作者:日期:个人收集整理，勿做商业用途第2课时教学目标知识与技能1 .掌握定义法求解动点轨迹方程的基本步骤.2 .加深理解抛物线的定义，并拓展推广抛物线定义.3 ,能够熟练地运用抛物线的方程解决一些问题.4 .能够将到焦点的问题与到准线的问题进行互相转化，提高学生的转化能力.过程与方法1 .理解求解轨迹的重要方法一一定义法以及其中所体现的数形结合思想.2 .将折线问题转化为直线问题来解决的化归思想的形成.3 .运用抛物线方程的相关知识解决实际应用问题.情感、态度与价值观通过经历轨迹方程的求解，及定义与方程的深入探求，经历探求成功的心理体验，激发 学生主动探究的动机，提

2、高学生对数形结合思想、化归思想、创新思维的热情.重点难点教学重点：抛物线的定义及方程的运用.教学难点：到焦点的距离与到准线距离的转化.教学过程复习引入1 .抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线1的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛 物线的焦点，定直线1叫做抛物线的准线.2 .推导抛物线的标准方程如图所示，建立直角坐标系，设IKF =p(p0),那么焦点F的坐标为哈，0),准线1 的方程为工=Y，设抛物线上的点M(x, y),则有3+y，= x+苓.化简方程得y3=2px(p0).方程y=2px(p0)叫做抛物线的标准方程,(1)它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F吟

3、，0),它的准线方程是x=P2 ,(2)一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以 抛物线的标准方程还有其他几种形式：y=-2px,f=2py, x=-2py.这四种抛物线的图 形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下.3.抛物线的准线方程：如图所示，分别建立直角坐标系，设出|KF =p(p0),则抛物 线的标准方程如下：(l)y2=2px(p0),焦点：鸟 0),准线 L x=-1(2)x3=2py(p0),焦点：(0,多，准线 1： y=*(3)y:=-2px(p0),焦点：(一0)，准线 1： x=* 乙乙(4) x=-2py(p0),焦点：(0, 一,准线

4、L y=*热身练习1 .点M与点F(4,0)的距离比它到直线1： x+5=0的距离小1,求点M的轨迹方程.学情预测：学生可能会由已知，得点M属于集合P=M MF|+1= x+5|.将MF用点的坐标表示出来，化简后就可得到点M的轨迹方程，但这种解法的化简过程 比较繁琐.引导学生仔细分析题目的条件，点M与点F的距离比它到直线1： x+5=0的距离小 1，就是点M与点F的距离等于它到直线x+4=0的距离”，由此可知点M的轨迹是以 F为焦点，直线x+4 = 0为准线的抛物线.个人收集整理，勿做商业用途解：如图，设点M的坐标为(x, y).由已知条件可知，点M与点F的距离等于它到直线x+4=0的距离.根

5、据抛物线的定义, 点M的轨迹是以F(4, 0)为焦点的抛物线.博=4, .8.因为焦点在x轴的正半轴上，所以点M的轨迹方程为：y=16x.设计意图：此题为抛物线定义的灵活应用.加强对抛物线定义的理解与认识.2 .说出下列抛物线的焦点坐标和准线方程.(l)y=8x焦点为,准线方程为.(2)x2=4y焦点为,准线方程为.2y+3x=0焦点为，准线方程为.(4)y=-x=焦点为，准线方程为.O3333解：(1)(2, 0), x= 2 (2)(0,1), y= 1 (3)0), x=- (4)(0, -R，y=xoo乙乙设计意图：复习已知抛物线的标准方程求焦点坐标、准线方程的方法：关键要确定轴向.3

6、 .根据下列条件写出抛物线的标准方程.(1)焦点是 F( 3, 0).(2)准线方程是y=3.(3)焦点到准线的距离是4,焦点在y轴上.解：(l)y= -12x (2)x= -12y (3)f=-8y 或 x=8y活动设计：以上3个问题可让学生先独立思考，必要时，允许合作讨论.教师巡视指导.讲授新课(一)标准方程的再认识1分别求满足下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点(3, -4).(2)焦点在直线x-y+2=0上.活动设计：学生先独立思考，当然，学生自愿合作讨论的也允许.(1)分析：因为抛物线的标准方程只含有一个待定系数，所以只需要一个独立的条件即 可求出标准方程，而标准方程有四种形式，所

7、以要根据条件选设方程形式.解：因为点(3, -4)在第四象限，所以抛物线可能开口向右或向下.故设方程为 y=2px (p0)或 x:= 2py(p0).169将点(3, 4)代入得方程为：产=母或X一,(2)分析：因为焦点在直线上，而且是标准方程，所以焦点也应该在坐标轴上，而直线与坐标轴有两个交点，这两个焦点都可能是焦点.解：由题意知直线与坐标轴交于(-2,0)和(0,2).若抛物线以(一2,0)为焦点，则方程为y,=-8x.抛物线以(0,2)为焦点，则方程为x=8y.点评：(1)掌握运用待定系数法求抛物线的标准方程，解题时强调方程形式的选择：(2) 进一步熟悉抛物线的焦点位置与标准方程之间的

8、关系：(3)培养学生运用知识解决问题的能 力.(二)定义的拓展2抛物线y:=4x上一点到焦点的距离为3,则这个点的坐标是.(变式一)抛物线/=4x上一点的横坐标是4,则这个点到焦点的距离为.(变式二)抛物线y=2px上有一点A(4, m)到准线的距离为6,则m=.(变式三)抛物线上一点A(-5, m)到焦点F(n,0)的距离为6,则抛物线的标准方程为(变式四)已知点A(0, - 1),点P是抛物线y=4x上一动点，则点P到定点A的距离与 点P到抛物线的准线的距离和的最小值为.设计意图：由定义可知，抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离，后者可以用 这个点的横坐标或纵坐标单独地表示出来，所以

9、应该围绕这个特点来解决问题.解：由题意可知抛物线y=4x的准线方程为x=-l,因为这个点到焦点的距离为3, 所以它到准线的距离也是3,从而它的横坐标为2,将它代入方程得坐标为(2, 2m).(变式一)答案：5(变式二)m=4啦(变式三)由已知焦点F(n,0)得：焦点在x轴上，所以准线方程为x=-n.抛物线上一点A( 5, m)到焦点F(n,0)的距离为6,所以它到准线的距离也等于6,而 且点A(5, m)在y轴的左侧，故开口向左，设方程为y=4nx,则一n一(5)=6,，n= 一L所以方程应为：y：=4x.（变式四）解：如图点P到点A的距离与点P到抛物线焦点距离之和为PA+PF,故最小 值在A

10、、H、F三点共线时取得，此时PA+PF=AF.又A（0, -1）, F（1,O）,所以，AF = aJ0-124-1-0:=2.点评：解决变式四需注意先判断定点的位置，再进行转化.（三）数学应用3已知抛物线形古城门底部宽12 m,高6 m,建立适当的坐标系，求出它的标准方程.解：如图建立直角坐标系，设方程为x=-2py,则A（6, -6）在抛物线上,即：6=-2px（6）A2p=6故方程为X：= -6y.引申：一辆货车宽4 m,高4 m,问能否通过此城门？X212解：让货车沿正中央行驶，车宽4 m,当x=2时，y=食=-3X2=-* o00此时，地而到该点的高度为h=6|=学4.故车子可以顺利

11、通过. J J研究：若城门为双向行道，那么该货车能否通过呢？x218解：让货车靠正中央行驶，车宽4 m,当x=4时，y=一卷=-34:=一 ooJO I Q此时，地而到该点的高度为11=6一鼻=三0).则准线方程为:P-2t - yP- 2 有(3) =5, p=4.方程为:x= -8y.设计说明设计本门课玉要是为了使学生加深对抛物线的定义的理解，加深对抛物线标准方程的认 识，以及能够运用抛物线标准方程解决现实生活中与之有关的问题.设计从复习抛物线定义 及标准方程的推导开始，让学生对进一步加深对知识的理解，然后通过例题引导学生分析问 题，解决问题，熟练掌握抛物线的标准方程的四种形式.通过变式训

12、练逐步增加难度，循序 渐进，增加学生的思维量，使其能够全而地分析问题、解决问题，最后通过一道实际问题， 让学生知道知识来源于生活，又能够服务于生活，提高学生的学习兴趣.备课资料备选例题：过抛物线y，=2px的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个交点的坐标为(X” yj, (x:,%)求证:yiys=p XiXo=y.思路解析：利用韦达定理可求得&X：, yty：的值.证明：焦点F吟，0),设过焦点的直线方程为x=my+*联立方程组可得：y:-2pmy-p:=0.由韦达定理得丫加=一. y：y= p：X1X=V = 4-点评：此题考查直线与圆锥曲线的位置关系问题，要想到联立方程利用韦达定理.直线 方程的设法可以简化运算.(设计者：姜华)