机械振动讲课课件

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1、第一章第一章 机械振动机械振动振动振动受迫振动受迫振动 自由振动自由振动阻尼阻尼( (自由自由) )振动振动无阻尼无阻尼( (自由自由) )振振动动无阻尼无阻尼( (自由自由) )非谐振动非谐振动无阻尼无阻尼( (自由自由) )谐振动谐振动 任一物理量在某一定值附近往复变化均称为任一物理量在某一定值附近往复变化均称为 振动振动. . 机械振动机械振动 物体在其稳定平衡位置附近的往复运动物体在其稳定平衡位置附近的往复运动. . 例如一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以例如一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以及晶体中原子的振动等及晶体中原子的振动等. . 简谐振动简谐振动 最简单、最基本的振动最简单、

2、最基本的振动. .谐振子谐振子 作简谐振动的物体作简谐振动的物体. .简谐振动简谐振动复杂振动复杂振动合成合成分解分解kl0 xmoAA1 弹簧振子弹簧振子00Fx1 简谐振动简谐振动一一 简谐振动的特征方程简谐振动的特征方程平衡位置平衡位置makxF0dd222 xtxmk2令令xa2积分常数，根据初始条件确定积分常数，根据初始条件确定)cos(tAxxxFmo二阶常系数微分方程二阶常系数微分方程2 单摆单摆lmoA)cos(mtlg2令令Fmg转动转动正向正向sin,5时时tmamg sin mldtdmlml220sin lg02 tx图图tv图图ta图图TAA2A2AxvatttAAo

3、ooTT)cos(tAx0取取)2cos(tA)sin(tAv)cos(2tA)cos(2tAa二二 谐振动的速度和加速度谐振动的速度和加速度简谐运动的描述和特征简谐运动的描述和特征xa24 4）加速度与位移成正比而方向相反）加速度与位移成正比而方向相反0dd222 xtx2 2）简谐运动的动力学描述）简谐运动的动力学描述)sin(tAv)cos(tAx3 3）简谐运动的运动学描述）简谐运动的运动学描述kxF1 1）物体受线性回复力作用）物体受线性回复力作用 平衡位置平衡位置0 x)cos(tAx1 1 振幅振幅maxxA 2 周期、频率周期、频率kmT2弹簧振子周期弹簧振子周期 2T 周期周

4、期21T 频率频率T22 角频率角频率)(cosTtA周期和频率仅与振动系周期和频率仅与振动系统统 本身本身的物理性质有关的物理性质有关tx图图AAxT2Tto三三 描述简谐振动的物理量描述简谐振动的物理量( (三要素三要素) )cos(tAx2lTg单摆周期单摆周期 tx曲线曲线AAxT2Tto)sin(tAv)cos(tAx 简谐运动中，简谐运动中， 和和 之间不存在一一对应的之间不存在一一对应的关系关系.xvvvv 10txoAA0 xA0 22txoAA0 xA 1） 存在一一对应的关系存在一一对应的关系;),(vxt202）相位在）相位在 内变化，质点内变化，质点无相同无相同的运动状

5、态；的运动状态； 3 3 相位相位t4 4 初相位初相位 描述质点描述质点初始时刻初始时刻的运动状态的运动状态. ) 0( t) (2nn相差相差 为整数为整数 质点运动状态质点运动状态全同全同.（周期性）（周期性）20( 取取 或或 )物理意义：可据以描述物体在任一时刻的运动状态物理意义：可据以描述物体在任一时刻的运动状态.)cos(tAx22020vxA00tanxv四四 常数常数 和和 的确定的确定A000vv xxt初始条件初始条件cos0Ax sin0Av 对给定振动系统，周期由系统本身性质对给定振动系统，周期由系统本身性质决定，振幅和初相由初始条件决定决定，振幅和初相由初始条件决定

6、.)sin(tAv)cos(tAx00tgx 100tgx且且若若则则若若且且则则且且若若则则且且若若则则（第一象限）（第一象限）（第二象限）（第二象限）（第三象限）（第三象限）（第四象限）（第四象限）0cosxA0sinA 0t 123456-40-2020400 /2 3/2 20 /2 3/2 2例：已知某谐振动当例：已知某谐振动当 t=0 时，时，x0=7.5cm， v0=75cm/s， =10 rad/s。写出该振动的振动表达式。写出该振动的振动表达式。00cos , sin xAA 2222007.57.515 2 2Ax11003tg ()tg ( 1), 44x 00 x 4

7、00简谐振动的表示方法简谐振动的表示方法cosxAt（1）振动表达式）振动表达式,A（2）振动曲线）振动曲线（3 3）旋转矢量法）旋转矢量法tx 曲线曲线AAxT2TtoxoAcos0Ax 当当 时时0t0 x2 谐振动的旋转矢量投影表示法谐振动的旋转矢量投影表示法xoAtt t)cos(tAx时时 以以 为为原点的旋转原点的旋转矢量矢量 在在 轴上的投影轴上的投影点的运动为点的运动为简谐运动简谐运动. .xAo)cos(tAx 以以 为为原点的旋转原点的旋转矢量矢量 在在 轴上的投影轴上的投影点的运动为点的运动为简谐运动简谐运动. .xAo （旋转矢量旋转一周所需的时间）（旋转矢量旋转一周所

8、需的时间）2T用旋转矢量图画简谐运动的用旋转矢量图画简谐运动的 图图txAAx2AtoabxAA0讨论讨论 相位差：表示两个相位之差相位差：表示两个相位之差 . .1 1）对对同一同一简谐运动，相位差可以给出两运动状态间简谐运动，相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间变化所需的时间. .)()(12tt)cos(1tAx)cos(2tAx12tttat3 TTt6123v2Abt2 2）对于两个对于两个同同频率频率的简谐运动，相位差表示它们间的简谐运动，相位差表示它们间步步调调上的上的差异差异. .（解决振动合成问题）（解决振动合成问题）)cos(111tAx)cos(222tAx)()(1

9、2tt12当当 = 2k ( k =0,1,2,)时时, 两振动两振动同相同相当当 = (2k+1) ( k =0,1,2,)时时,两振动两振动反相反相 超前和落后超前和落后 若若 = 2- 10, 则则 x2比比x1较早达到正最大较早达到正最大, 称称x2比比x1超前超前 (或或x1比比x2落后落后)。领先、落后以小于领先、落后以小于 的相位角来判断！的相位角来判断！AA2A x)2cos(tAv)cos(2tAa3) 关于旋转矢量法的理解关于旋转矢量法的理解:旋转矢量本身并不做简谐运动旋转矢量本身并不做简谐运动,只是用其投影点的运只是用其投影点的运动来表示谐振动动来表示谐振动, 各物理量直

10、观各物理量直观.在旋转矢量法中在旋转矢量法中,相位表现为角度相位表现为角度,处理方便处理方便,但不是但不是角度角度. 相位的物理含义在于可描述物体在任一时刻相位的物理含义在于可描述物体在任一时刻的运动状态的运动状态.例：已知弹簧振子的角频率为例：已知弹簧振子的角频率为， t = 0时，质点过平衡位置向右运动。时，质点过平衡位置向右运动。求：物体运动到负的二分之一振幅处时所用的求：物体运动到负的二分之一振幅处时所用的最短时间。最短时间。t76t0txo解：画出旋转矢量图解：画出旋转矢量图最短时间最短时间选实线所示的位矢选实线所示的位矢27236212kEmv212pEkx222222211221

11、1cossin22EkxmkAtmAtv2221122EmAkA3 简谐振动的能量简谐振动的能量cossinxAtAt vkm与振幅平方成正比与振幅平方成正比机械能守恒机械能守恒动能和势能的相互转化动能和势能的相互转化222221cos21sin 2pkEkAtEmAt212EkAtTEEkEpopkEE220114TkkEE dtmAT20114TppEE dtkAT221()2kEk AxEAkEpE-Aox212kA221122pkkEEEkxEkA能量守恒能量守恒简谐运动方程简谐运动方程推导推导221122Emkx常量v0)2121(dd22kxmtv0ddddtxkxtmvv0dd2

12、2xmktx4 简谐振动的合成简谐振动的合成某质点同时参与两个频率相同且在某质点同时参与两个频率相同且在同一直线上同一直线上的简谐振动的简谐振动111222coscosxAtxAt合振动合振动21xxx 1、解析法、解析法12112211221122coscoscoscoscossinsinsinxxxAtAtAAtAAt11221122coscoscos , sinsinsinAAAAAAcoscossinsincosxAtAtAt)cos(212212221 AAAAA22112211coscossinsin AAAAtg 令合振动是简谐振动，角频率仍为合振动是简谐振动，角频率仍为 （一）

13、（一）同一直线上同一直线上两个两个同频率同频率的简谐振动的合成的简谐振动的合成2、旋转矢量法、旋转矢量法)cos(212212221 AAAAA22112211coscossinsin AAAAtg cosxAt2AA1A21xy11cosA11sinA22sinA22cosA111cosxAt222cosxAt11221122coscoscos sinsinsinAAAAAA在在0时刻，由图可知：时刻，由图可知：是是 和和 的合矢量的合矢量A2A1A是合振动的振幅矢量是合振动的振幅矢量A相同相同平行四边形不变形平行四边形不变形A与初相与初相差有关差有关21()合矢量合矢量3、讨论、讨论212

14、 0,1,2,kk 21AAA 振动加强，振动加强，合振幅最大合振幅最大2AA1A 两分振动两分振动同相同相2AA1A1A2AA1212| |AAAAA k 12 两分振动两分振动反相反相21(21) 0,1,2,kk 21AAA 振动减弱，振动减弱，合振幅最小合振幅最小120AAA 一般情况一般情况tA2A1xoATx1x2x1+ x2t-A2A1xoATx1x2x1+ x2考虑考虑同一直线上多个同频率的简谐振动：同一直线上多个同频率的简谐振动：nitAxiii, 2, 1cos，niixx1tAxcos合振动合振动仍是仍是简谐运动简谐运动合振动的合振动的A和和 可以可以通过矢量求和得出通过

15、矢量求和得出（二）同一直线上（二）同一直线上多个多个同频率的简谐振动的合成同频率的简谐振动的合成若各分振动振幅相等都为若各分振动振幅相等都为a a，初相位，初相位依次依次相差相差1cos xat2cos( )xat3cos( 2 )xatcos (1)NxatNxaARN2sin2aR2sin2RA sin2sin2NAaNxxxxx321同一直线上同一直线上线性相加线性相加用旋转矢量法用旋转矢量法构成正多边形的一部分构成正多边形的一部分外接圆外接圆cos()xAt同频率同频率合振动还是简谐振动合振动还是简谐振动111()()222Nsin(/2)1cos( )sin( /2)2NNxat讨论

16、讨论2k, 2, 1, 0kaNaA aaA2kNNk , 0的倍数的倍数0A 各分振动各分振动同相同相 各分矢量闭合各分矢量闭合例：三个同频率例：三个同频率 ，同振幅，同振幅A0 ，同方同方向的向的简谐振动，简谐振动，相邻相位差为相邻相位差为 / /3 求：求：合振幅合振幅A解：解：画旋矢图画旋矢图 /3/3 /3/30AA由图可得由图可得 A = 2A0或由公式或由公式00sin22sin2NAAA3, 3N若质点同时参与两个不同频率且在同一条直线上的简谐振动若质点同时参与两个不同频率且在同一条直线上的简谐振动 11112222coscosxAtxAt 021021 ，AAA101202c

17、os, cosxAtxAt2A1ox1AA2 （三）同一直线上两个（三）同一直线上两个不同频率不同频率的简谐振动的合成的简谐振动的合成 2121t 不是简不是简谐振动谐振动 1212120121202cos()cos()222cos() cos()( )cos22xxxAttAttA tt合振动合振动考虑考虑120012( )2cos()22cos () A tAtAt 5101520-1-0.50.515101520-1-0.50.515101520-1-0.50.5112coscos()2tt( )cosxA tt1212222T121拍的应用：拍的应用：利用拍的规律测量超声波的频率；利用

18、拍的规律测量超声波的频率；在无线电技术中，可以用来测定无线电波在无线电技术中，可以用来测定无线电波频率频率拍的例子：拍的例子： 频率有微小差别的两个同调频率有微小差别的两个同调音叉音叉合成的声音合成的声音双簧管两个簧片合成的悦耳的颤音双簧管两个簧片合成的悦耳的颤音 12拍 频率频率较大较大而频率之而频率之差很小差很小的两个的两个同方向同方向简谐运动的简谐运动的合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍拍. .拍频拍频：单位时间内振动强弱变化的次数：单位时间内振动强弱变化的次数若质点同时参与两个同频率的互相垂直方向的简谐运动若质点同时参与两个同频率

19、的互相垂直方向的简谐运动1122cos( ), cos( )xAtyAt（四）两个相互（四）两个相互垂直垂直的同频率简谐振动的合成的同频率简谐振动的合成1122cos( )cos( )xAtyAt111222coscossinsincoscossinsinx Atty Att 211212122121coscoscoscossinsincoscoscoscoscossinsincosxAttyAtt2112211221coscossin(sincossincos)sinsin()xAyAtt211212122121sincoscossinsinsinsinsincoscossinsinsins

20、inxAttyAtt2112211221sinsincos(sincossincos)cossin()xAyAtt 1221221222212sincos2 AAxyAyAx2221122112221( coscos)( sinsin)sin ()xAyAxAyA合运动的合运动的轨迹轨迹方程方程讨论讨论012 2222212121220 xyxyxyAAA AAA21AyxAyx 两振动两振动同相同相 一条过原点一条过原点斜率为正的斜率为正的直线直线质点离开原点的位移质点离开原点的位移12()cos()sxiyjAiA jt合振动是合振动是简谐振动简谐振动12 两振动两振动反相反相222221

21、2121220 xyxyxyAAA AAA21AyxA yx 12 x落后于落后于y为为 /2 1222212 AyAx2/12 一条过原点一条过原点斜率为负的斜率为负的直线直线质点离开原点的位移质点离开原点的位移121()cos()sxiyjAiA jt合振动是合振动是简谐振动简谐振动合运动的轨迹合运动的轨迹是以坐标轴为是以坐标轴为主轴的椭圆主轴的椭圆yx质点作质点作右旋右旋（顺时针）椭圆运动，（顺时针）椭圆运动，转一圈的周期等于分振动的周期转一圈的周期等于分振动的周期若若A1=A2 圆轨道圆轨道21/2或3 /2 y落后于落后于x为为 /2 左旋左旋yx12 不同，椭圆的形状、旋向也不同不

22、同，椭圆的形状、旋向也不同 = = 3 /2 = 5 /4 = 7 /4 = /2 = /4PQ = 0yx = 3 /4（-3 /4）（- /2）（- /4）质点的运动一般为椭圆质点的运动一般为椭圆其他值 一般情况一般情况 当当0 时，质点沿顺时针方向运动时，质点沿顺时针方向运动当当- 0时，质点沿逆时针方向运动时，质点沿逆时针方向运动合成运动比较复杂，下面就两种情况讨论：合成运动比较复杂，下面就两种情况讨论：两个分振动的两个分振动的相位差相位差 缓慢地变化缓慢地变化质点运动的轨道循环变化：直线质点运动的轨道循环变化：直线椭圆椭圆直线直线12 两个分振动的频率相差很小两个分振动的频率相差很小

23、应用李萨如图应用李萨如图测量频率测量频率：在示波器上，垂直方向与水平方向同时输入两个振动，已知其中一个频率，在示波器上，垂直方向与水平方向同时输入两个振动，已知其中一个频率，则可根据所成图形与已知标准的李萨如图形去比较，就可得知另一个未知则可根据所成图形与已知标准的李萨如图形去比较，就可得知另一个未知的频率。的频率。2:1:yxTT 两个分振动的频率相差较大，但有简单整数比关系两个分振动的频率相差较大，但有简单整数比关系（五）两个相互（五）两个相互垂直的垂直的不同频率不同频率简谐振动的合成简谐振动的合成近似为同频率的合成近似为同频率的合成12:m n合成轨迹为合成轨迹为稳定的闭合曲线稳定的闭合

24、曲线李萨如图李萨如图xxyyvxvy达到最大的次数达到最大的次数32xxyynn:2:3xyTT 由由 x求出求出 y120/4周期比周期比初相位初相位本章内容本章内容了解了解u相互垂直的两个不同频率简谐振动的合成：李萨如图相互垂直的两个不同频率简谐振动的合成：李萨如图 理解理解 u同一直线上多个同频率简谐振动的合成：多光束干涉同一直线上多个同频率简谐振动的合成：多光束干涉u同一直线上两个不同频率简谐振动的合成：拍同一直线上两个不同频率简谐振动的合成：拍u相互垂直的两个同频率简谐振动的合成：轨迹，偏振光相互垂直的两个同频率简谐振动的合成：轨迹，偏振光 熟悉熟悉 u简谐振动表达式、动力学方程、三个特征量、常见的固有简谐振动表达式、动力学方程、三个特征量、常见的固有角频率角频率u判断简谐振动：恢复力、方程、能量角度判断简谐振动：恢复力、方程、能量角度u相位、振动状态、振动曲线、相位、振动状态、振动曲线、旋转矢量法旋转矢量法u相差、同相、反相、领先和落后相差、同相、反相、领先和落后u简谐振动的能量：机械能守恒简谐振动的能量：机械能守恒u同一直线上两个同频率简谐振动的合成：干涉同一直线上两个同频率简谐振动的合成：干涉物理学教程物理学教程(下册下册)P24习题：习题：4，8，14，16物理学教程物理学教程第二版第二版(上册上册)P1427, 11，15, 16，17，20本章作业本章作业