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1、机械振动(Mechanical Vibration)交通与车辆工程学院交通与车辆工程学院 刚宪约刚宪约2022年年1月月21日日第二课 单自由度系统：无阻尼自由振动前课回顾 机械振动系统的基本元件及其特性？ 简谐振动的特点？ 几个练习 课本p10第2，3，6，7，13。主要内容1. 引言2. 运动微分方程3. 等效质量与等效刚度4. 固有频率的计算方法5. 练习主要内容1. 引言2.2.2. 运动微分方程运动微分方程运动微分方程3.3.3. 等效质量与等效刚度等效质量与等效刚度等效质量与等效刚度4.4.4. 固有频率的计算方法固有频率的计算方法固有频率的计算方法5.5.5. 练习练习练习引言
2、单自由度线性振动系统是最简单的振动系统，可以用一个常系数的二阶常微分方程描述它的运动规律。 在实际应用中把结构简化成一个单自由度系统可以得到初步的、有时是工程上满意的结果。 在理论分析中，利用它的直观、简单，可以把握振动系统的许多基本性质。 同时，单自由度系统的振动理论和方法又是多自由度系统和连续体系统振动理论和方法的基础。 主要内容1.1.1. 引言引言引言2. 运动微分方程3.3.3. 等效质量与等效刚度等效质量与等效刚度等效质量与等效刚度4.4.4. 固有频率的计算方法固有频率的计算方法固有频率的计算方法5.5.5. 练习练习练习运动微分方程 在不考虑系统振动时能量耗散的条件下，单自由度
3、系统模型可以简化为如右图所示的无阻尼模型。图中质量块只能沿水平方向运动。运动微分方程根据牛顿第二定律，依照下面步骤可列出系统的运动微分方程： 1. 取定一个坐标系描述系统的运动；2. 设质量块沿坐标正向有一位移，对质量块进行受力分析；3. 按牛顿第二定律建立质量块的运动方程；4. 确定系统的初始条件。运动微分方程00)0( ,)0(0 xxxxkxxm 002n)0( ,)0(0 xxxxxx 运动微分方程 单自由度系统无阻尼自由振动时的运动微分方程是一个二阶常系数齐次线性微分方程。 常系数的原因是系统的质量、刚度是与时间无关的常数； 齐次是因为自由振动的激励为零，振动是由初始条件引起的； 系
4、统的动平衡由分别与加速度和位移成线性关系的惯性力和弹性力的矛盾运动决定。 02nxx （1） 求解方程(1)，可以得到 titiBBxnnee21 可以证明*21BB 。于是 )cos(sincos eenn2n1*11nntAtAtABBxtiti (2) ？ 根据初始条件，可以得到 01xA ，n02xA 2n020 xxA，n00arctanxx 从上面分析可以看出，单自由度系统无阻尼自由振动是简谐振动，它的周期和频率为 kmT22n mkTf2121nn nf的单位是 Hz， 它也只与系统的刚度、 质量有关， 与外界条件无关。所以nf也称为系统的固有频率。以后对n和nf不加区分，通称为
5、固有频率。 0 kxxm 在上面方程的两边乘以txxd/d，得到 0ddddtxkxtxxm 上式的物理意义是惯性力的功率与弹性力的功率之和为零。可以改写为 0dd2122tkxxm 令 2T21xmE，221kxU 它们分别是系统的动能和势能。因而 常数EUET 由此可见，无阻尼自由振动时，振动系统为一保守系统，总机械能在运动中保持不变。 maxmaxUT2n020 xxA静载荷对振动系统的影响 对于线性振动系统 系统所受静载荷影响平衡位置，但不影响系统的动力学特性 合理选择坐标系可以简化系统的运动方程 所谓合理选择坐标系一般是指将坐标原点选在平衡位置。单自由度系统自由振动的主要特性1. 单
6、自由度系统无阻尼自由振动是简谐振动，振幅、初相位决定于初始条件和系统得刚度、质量。运动的中点就是系统的平衡位置。2. 振动频率只与系统的刚度、质量有关。通常称和f为系统的固有频率，这是最重要的参数。3. 当系统的质量不变而刚度增加时，系统的固有频率增高；当系统的刚度不变而质量增加时，固有频率降低。4. 振动得以维持的原因是系统有储存动能的储存元件和储存势能的弹性元件。主要内容1.1.1. 引言引言引言2.2.2. 运动微分方程运动微分方程运动微分方程3. 等效质量与等效刚度4.4.4. 固有频率的计算方法固有频率的计算方法固有频率的计算方法5.5.5. 练习练习练习等效质量与等效刚度 离散系统
7、模型约定，系统的质量集中在惯性元件，弹性元件无质量。实际上，没有无质量的弹性元件。 当弹性元件的质量比系统总质量小得多时，略去弹性元件的质量对系统的振动特性计算结果影响不大。 弹性元件的质量占系统质量的相当部分时，略去它会使计算得到的固有频率值偏高。 等效质量与等效刚度 如果弹性元件有质量，则它在振动中不但存储势能，也能存储动能。系统的总动能应该是惯性元件储存的动能加上弹性元件储存的动能。 因此，可以采用能量等效的方法，加大惯性元件的数值，使惯性元件的动能等于系统的总动能，再把弹性元件的质量略去。 惯性元件数值加大的部分通常称为系统的附加质量，附加质量的动能等于弹性元件的动能。 通常称系统在动
8、能意义下的质量为系统的等效质量，它并不等于系统惯性元件的质量加上其它元件的质量。等效质量的计算步骤1. 假定系统的速度分布模型（模式），一般的速度分布可以取为与变形分布模型一致；2. 以某一特定点的速度为参量计算系统的动能；3. 从系统动能表达式中提出该点速度平方的1/2，剩余的部分即为系统相对于该点的等效质量。计算弹簧振子系统的等效质量等效质量与等效刚度 同理，我们可以根据势能等效的准则，确定振动系统的等效刚度。xlEIPxv362计算弹簧振子系统的等效质量和等效刚度主要内容1.1.1. 引言引言引言2.2.2. 运动微分方程运动微分方程运动微分方程3.3.3. 等效质量与等效刚度等效质量与
9、等效刚度等效质量与等效刚度4. 固有频率的计算方法5.5.5. 练习练习练习固有频率的计算方法 振动系统的固有频率是最重要的振动参数。正确、简洁地测定固有频率是确定系统振动特性的基本任务之一。 列出系统运动微分方程进而求出系统固有频率是一种常用地方法，这需要知道系统的刚度和质量。 还有其它地方法可用来求单自由度系统地固有频率： 静态位移法（单位加速度法） 能量法 静态位移法（单位加速度法） 静止时在重力的作用下弹簧被压缩，根据虎克定律有mgk，因而 gmk2n 能量法 位移函数 )cos(ntAx 系统动能 tAmTn222nsin21 系统势能 tkAUn22cos21 机械能守恒 maxm
10、axUT 分别使用静态位移法与能量法计算固有频率xlEIPxv362分别使用静态位移法与能量法计算固有频率作业 习题2.7,2.10,2.17 下周一上课前上交作业虚功原理 建立机械振动系统运动方程的方法 牛顿第二定律 能量守恒 虚功原理 建立在虚位移原理虚位移原理和达朗伯原理达朗伯原理的基础上 内涵：满足平衡条件的力系在任何虚位移虚位移中所作虚功虚功的和等于零 。Principle of virtual work The principle of virtual work is associated with the equilibrium of bodies, and may be sta
11、ted as follows: If a system in equilibrium under the action of a set of forces is given a virtual displacement, the virtual work done by the forces will be zero.Principle of virtual work The terms used in this statement are defined as follows: (1) A virtual displacement r is an imaginary infinitesim
12、al variation of the coordinate given instantaneously. The virtual displacement must be compatible with the constraints of the system. (2)Virtual work is an imaginary infinitesimal variation of the coordinate given instantaneously. The virtual displacement must be compatible with the constraints of t
13、he system. (2)Virtual work W is the work done by all the active forces in a virtual displacement. Because there is no significant change of geometry associated with the virtual displacement, the forces acting on the system are assumed to remain unchanged for the calculation of W. Principle of virtua
14、l work The principle of virtual work as formulated by Bernoulli is a static procedure. Its extension to dynamics was made possible by DAlembert, who introduced the concept of the inertia force. Thus, inertia forces are included as active forces when dynamic problem are considered.例题 在力F和BF作用下，铰链机构处于
15、静力平衡状态。试确定F和BF之间的关系。 达朗伯原理 设一质量块的质量为m，加速度为)(ta，作用于质量块上的主动力为)(tF。根据牛顿第二定律 )()(tmatF 若将上式右端)(tma移到等号左端，可写成 0)()(tmatF 令 )()(itmatF 则有 0)()(itFtF 上式在形式上是一个平衡方程。 达朗伯原理 于是可以假想Fi是一个力，它的大小等于质量块的质量与加速度的乘积，它的方向与质点加速度的方向相反。因为这个力与质量块的惯性有关，所以称为质点的惯性力 如果在质量块上除了作用有真实的主动力和约束反力外，再假想地加上惯性力，则这些力在形式上组成一平衡力系。这就是达朗伯原理（D
16、Alembert Principle）。 应该强调的是，质点并没有受到惯性力的作用，达朗伯原理中的“平衡力系”实际上是不存在的，但在质点上假想地加上惯性力后，就可以将动力学地问题借用静力学的理论和方法求解，称为动静法动静法。Example Using the virtual work method, determine the equation of motion for the rigid beam of mass M loaded as shown in the figure. Example Inertia force 32MlW Spring force 22llkW Damper force lclW Uniform load 2)(d)(2000ltfpxxtfpWl
机械振动PPT电子教案课件第02课单自由度系统：无阻尼自由振动
