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1、一个实例理解 Lingo 的灵敏性分析线性规划问题的三个重要概念：最优解就是反应取得最优值的决策变量所对应的向量。 最优基就是最优单纯形表的基本变量所对应的系数矩阵如果其行列式是非奇异的， 则该系 数矩阵为最优基。最优值就是最优的目标函数值。Lingo 的灵敏性分析是研究当目标函数的系数和约束右端项在什么范围（此时假定其它系 数不变）时，最优基保持不变。灵敏性分析给出的只是最优基保持不变的充分条件，而不 一定是必要条件。 下面是一道典型的例题。一奶制品加工厂用牛奶生产 A1,A2 两种奶制品， 1 桶牛奶可以在甲车间用 12小时加工成 3 公斤A1，或者在乙车间用 8小时加工成4公斤A2。根据
2、市场需求，生产的 A1,A2全部能 售出， 且每公斤 A1 获利 24 元， 每公斤 A2 获利 16 元。 现在加工厂每天能得到 50 桶牛奶的 供应，每天正式工人总的劳动时间480小时，并且甲车间每天至多能加工 100公斤A1，乙车间的加工能力没有限制。 试为该厂制订一个生产计划， 使每天获利最大， 并进一步讨论以 下 3 个附加问题：1 ） 若用 35 元可以买到 1 桶牛奶，应否作这项投资？若投资，每天最多购买多少桶牛奶？2）若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元？3）由于市场需求变化，每公斤 A1 的获利增加到 30 元，应否改变生产计划？ 模型代码：m
3、ax=72*x1+64*x2;x1+x2=50;12*x1+8*x2=480;3*x1=100;运行求解结果：Objective value: 3360.000VariableValueReduced CostX120.000000.000000X230.000000.000000RowSlack or SurplusDual Price13360.0001.00000020.00000048.0000030.0000002.000000440.000000.000000这个线性规划的最优解为x1=20，x2=30,最优值为z=3360，即用20桶牛奶生产A1, 30桶牛奶生产 A2 ，可获最
4、大利润 3360 元。输出中除了告诉我们问题的最优解和最优值以外， 还有许多对分析结果有用的信息。其中，“ Reduced Cost列出最优单纯形表中判别数所在行的变量的系数，表示当变量有微小变动时，目标函数的变化率。其中基变量的reduced cost值应为0,对于非基变量Xj,相 应的reduced cost值表示当某个变量 Xj增加一个单位时目标函数减少的量（max型问题）。本例中 X1 , X2 均为基变量。“ Slack or Surplus给出松驰变量的值，模型第一行表示目标函数，所以第二行对应第一个 约束。 3个约束条件的右端不妨看作 3种“资源”：原料、劳动时间、车间甲的加工能
5、力。输 出中 Slack or Surplus 给出这 3 种资源在最优解下是否有剩余：原料、劳动时间的剩余均为 零，车间甲尚余 40（公斤）加工能力。“DUAL PRICE”（对偶价格）表示当对应约束有微小变动时，目标函数的变化率。输出结果中对应于每一个约束有一个对偶价格。若其数值为p， 表示对应约束中不等式右端项若增加1个单位，目标函数将增加 p个单位（max型问题）。显然，如果在最优解处约束正好 取等号（也就是 “紧约束 ”，也称为有效约束或起作用约束） ，对偶价格值才可能不是0。上例中，第一、二个约束是紧约束”。当“x1+x2=50改为“x1+x23=90，在允许范围内，所以不应改变生
6、产计划，但最优值变为90疋0+64 30=3720。下面对 “资源”的影子价格作进一步的分析。影子价格的作用（即在最优解下 “资源 ”增加 1 个单位时 “效益”的增量）是有限制的。每增加 1 桶牛奶利润增长 48元（影子价格） ,但是, 上面输出的 CURRENT RHS 的 ALLOWABLE INCREASE 和 ALLOWABLE DECREASE 给出了影子价格有意义条件下约束右端的限制范围：milk）原料最多增加10（桶牛奶），time）劳动时间最多增加 53（小时）。现在可以回答附加问题 1）的第 2问：虽然应该批准用 35元买 1桶牛奶的投资,但每天 最多购买 10桶牛奶。顺便
7、地说,可以用低于每小时 2元的工资聘用临时工人以增加劳动时间，但最多增加 53.3333 小时。需要注意的是： 灵敏性分析给出的只是最优基保持不变的充分条件， 而不一定是必要条件。 比如对于上面的问题， “原料最多增加 10（桶牛奶） ”的含义只能是 “原料增加 10（桶牛奶） 时最优基保持不变， 所以影子价格有意义，即利润的增加大于牛奶的投资。 反过来，原料增 加超过 10（桶牛奶），影子价格是否一定没有意义？最优基是否一定改变？一般来说，这是 不能从灵敏性分析报告中直接得到的。此时， 应该重新用新数据求解规划模型， 才能做出判断。所以，从正常理解的角度来看，我们上面回答 “原料最多增加 10（桶牛奶） ”并不是完 全科学的。
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