一元二次方程的根与系数的关系教学设计
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1、一元二次方程的根与系数的关系教学目标: 1通过观察、归纳,猜想根与系数的关系,并证明此关系成立,使学生理解其理论根据。2使学生会运用根与系数关系解决有关问题。教学重点:一元二次方程根与系数的关系。教学难点:让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系。教学过程设计:(一)引言我们知道,方程的根的值是由一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的各项系数a,b,c决定的.我们还知道根的性质(有、无实数根及实数根的个数)由b2-4ac决定.今天我们来研究方程的两根之和及两根之积与a,b,c有什么关系?先填表,归纳出规律,然后给予严密的证明。(二)新课从表格中找出两根之和x、x与两根之积 x
2、x和a,b,c的关系:1.先从前面三个方程(二次项系数是1)观察x1+x2,x1x2的值与一次项系数及常数项的关系.2.再看后面三个方程(二次项系数不是1),观察x1+x2,x1x2的值与系数的关系.3.猜想ax2+bx+c=0 (a0)的x1+x2,x1x2与a,b,c的关系(引导学生猜想为x1+x2=-,x1x2=.)4.怎样证明上面的结论?(启发学生:求根公式是具有一般性的,我们用求根公式来证明就可以了.)证明:设ax2+bx+c=0 (a0)的两根为x1,x2,例题讲解:例1:说出下列方程的两根和、两根积各是多少?(1)x-3x+1=0(2) 3x-2x=2(3) 2x+3x=0(4)
3、 3x=1(5) x+px+q=0例2: 利用根与系数的关系,求一元二次方程2x2+3x-1=0两根x、x的(1)平方和;(2)倒数和 (3)(x-x) (4)( x+1 )(x+1) (5) x-x分析:根与系数关系告诉我们,不必解出方程,可以直接用方程的系数来表示两根之和与两根之积.例3: 已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值.(三)本课小结:不解方程,根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件结合,可求得一些代数式的值;求得方程的另一根和方程中的参数的值。(四)布置作业:1.如果-5是方程5x2+bx-10=0的一个根,求方程的另一个根及b的值;3.设x1、x2是方程2x2-6x3=0两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值:(1)xx+xx (2)( x1-x) (3)(x-2)(x-2) (4) + (5)x-x
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