初二等腰三角形讲义

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1、 课 题 等腰三角形教学目的1、 熟练掌握等腰三角形的性质和判定2、 熟练等腰三角形“三线合一”的性质3、 会运用性质和判定解决实际问题重点、难点重点：等腰三角形的性质难点：“三线合一”的应用教学内容基础知识巩固：1等腰三角形定义：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形.ABC2等腰三角形的性质： 1. 有关定理及其推论 定理：等腰三角形有两边相等； 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60。等腰三角形是

2、以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 2. 定理及其推论的作用 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。3等腰三角形的判定： 1. 有关的定理及其推论 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2：有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形。 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么

3、它所对的直角边等于斜边的一半。 2. 定理及其推论的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。 3. 等腰三角形中常用的辅助线等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。【知识点简单运用】例1、 如图，在

4、ABC中，在AC上，且求ABC各角的度数。 练习：1、如图ABC是等腰直角三角形（AB=AC,BAC=90），AD是底边BC上的高，标出B，C，BAD，DAC的度数，图中有哪些相等的线段？ 2、如图，在ABC中，AB=AD=DC，BAD=26.求B和C的度数。 例2：求证：如果三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。（写出已知和求证，画出图形）随堂练习：1如图1，在ABC中，AB=AC，A=50，BD为ABC的平分线，则BDC=_ （1） （2）2如图2，一个顶角为40的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则1+2=_度3.等腰ABC的底边BC=8cm，

5、腰长AB=5cm，一动点P在底边上从点B开始向点C以0.25cm/秒的速度运动，当点P运动到PA与腰垂直的位置时，点P运动的时间应为_【例题经典】根据等腰三角形的性质寻求规律例1在ABC中，AB=AC，1=ABC，2=ACB，BD与CE相交于点O，如图，BOC的大小与A的大小有什么关系？ 若1=ABC，2=ACB，则BOC与A大小关系如何？若1=ABC，2=ACB，则BOC与A大小关系如何？ AAAAB BBCCC364590108练习：如图，在下列三角形中若AB=AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是 。会用等腰三角形的判定和性质计算与证明例2如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰

6、上的中线BD将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长练习：1、如图，在ABC中，AB=AC，BAD=20，且AE=AD，则CDE=_ 2、同学们都玩过跷跷板的游戏如图11所示，是一跷跷板的示意图，立柱OC与地面垂直，OA=OB当跷跷板的一头A着地时，OAC=25，则当跷跷板的另一头B着地时，AOA等于（ ） A25 B50 C60 D130利用等腰三角形的性质证线段或角相等例3如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC，以BP为边作PBQ=60，且BQ=BP，连结CQ （1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论（2）若PA：PB：PC=3：

7、4：5，连结PQ，试判断PQC的形状，并说明理由 ABCEFD练习：已知：如图所示，的平分线交于，过作交于，交于求证：例4：如图，ABC中，AD平分BAC，BPAD于P，AB=5，BP=2，AC=9。求证：ABP=2ACB。APDCB练习：1、如图，ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：EBO=DCO；BEO=CDO；BE=CD（1）上述三个条件中，哪两个条件可判定ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）；（2）选择第（1）小题中的一种情况，证明ABC是等腰三角形2、如图，AD=BC，AC=BD，求证EAB是等腰三角形。实际应用：上午8时，一条船从海岛A

8、出发，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A，B望灯塔C，测得NAC=42，NBC=84.求从海岛B到灯塔C的距离。练习：要在离地面5m处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60角，若考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的L1=5.2m，L2=6.2m，L3=7.8m，L4=10m的四种备用拉线材料中，拉线AC最好选用（ ）AL1 BL2 CL3 DL4 典型题目练习：1、 如图，BAC=ABD ,AC =BD ,点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点。试判断OE和AB的位置关系，并给予证明。2、 如图，ABC中，ABC=50，ACB=80，延长CB至D，使DB=BA，

9、延长BC至E，使CE=CA。连接AD、AE。求D，E，DAE的度数。（2） 3、 如图，AD是ABC的角平分线，DE，DF分别是ABD和ACD的高，求证AD垂直平分EF （3） 4、如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CECD，DMBC，垂足为M。求证：M是BE的中点。5、如图，ACD和BCE都是等腰直角三角形，ACDBCE90，AE交DC于F，BD分别交CE，AE于点G、H.试猜测线段AE和BD的位置和数量关系，并说明理由. FGH一起发现数学中的美！ 等腰三角形有时作为隐含的挑拣出现在题目中，需要我们能够识别出来，下面列出五种常见的情形：OC为AOB的平

10、分线，CD/OB于AO于点D，则ODC是等腰三角形。想一想：为什么？ABC中，AB=AC，DE/BC则ADE为等腰三角形。想一下，相等的两腰为什么？ABC中，OC为AOB的平分线，D是OB上一点，DCOC于C，延长DC交OA于E，则DOE是等腰三角形，其中OD=OE，DC=EC想一想，为什么？C是线段AB的垂直平分线上的一点，则ABC是等腰三角形，其中AC=BC想一想，为什么？ABC中，AB=AC，BD平分ABC，ABD=36，则图中共有三对等腰三角形，哪三对？顶点为36的等腰三角形是黄金三角形，它较等边三角形又多了一份秀气，更有着很多“神奇”的性质；它的底角平分线（BD ）将原三角形分割成两个等腰三角形，其中一个（BCD）仍保持着黄金三角形的形状。不仅如此，点D在AC上的位置也有着非同一般的意义，即DA2=CDAC，即点D是线段AC的黄金分割点。（五角星是由一个正五边形和五个黄金三角形组成的） 12