高三数学函数的极值、最值与应用苏版知识精讲

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1、高三数学函数的极值、最值及应用教版【本讲教育信息】一.教学容：函数的极值、最值及应用、本周教学目标：1、理解可导函数的单调性与其导数的关系；2、了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)3、会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值.三、本周知识要点：1、极大值：一般地，设函数 f(X)在点X0附近有定义，如果对 X0附近的所有的点，都有 f(x)vf(X0),就说f(X0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大 f(Xo).就说f(Xo)是函数f (x)的一个极小值，记作 y极小值=f(Xo), Xo是极小值 与 八、3、极大值与极小值统称为极值.(i )

2、极值是一个局部概念.由定义，极值只是某个点的函 数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意味着它在函数整个的定义域最大或最小.(ii)函数的极值不是唯一的.即一个函数在某区间上或定义域的极大值或极小值可以不 止一个.(iii)极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值.(iv)函数的极值点一定出现在区间的部，区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的部，也可能在区间的端点.4、判别f(X0)是极大、极小值的方法：若Xo满足f (Xo) 0,且在Xo的两侧f (x)的导数异号，则X0是f (X)的极值点，f(X0)是极值，并且如果 f (X

3、)在X0两侧满足“左正 右负”，则X0是f (X)的极大值点，f(x)是极大值；如果f (X)在X0两侧满足“左负右正”， 则X0是f(x)的极小值点，f (X0 )是极小值.5、求函数f(X)的极值的步骤：(1)确定函数的定义区间，求导数f (x).(2)求方程f (x) =0的根.(3)用函数的导数为 0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格 . 检查f (x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么 f (x)在这个根处取得极大 值；如果左负右正，那么 f (x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或 都为负，则f (x)在这个根处无极值.6、函数的最大值和

4、最小值： 在闭区间a,b上连续的函数f (x)在a,b上必有最大值与最 小值.(1)在开区间(a,b)连续的函数f (x)不一定有最大值与最小值.(2)函数的最值是比较整个定义域的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的.(3)函数f (x)在闭区间a,b上连续，是f (x)在闭区间a,b上有最大值与最小值的充分条件而非 必要条件.(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能 不止一个，也可能没有.7、利用导数求函数的最值步骤：求f(x)在(a,b)的极值；将f (x)的各极值与f(a)、f (b)比较得出函数f (x)在a, b上的最值.8、利用导数研究

5、多项式函数单调性的一般步骤.(1)求 f (x).(2)确定f (x)在(a, b)符号.(3)若f (x) 0在(a, b)上恒成立，则f (x)在(a, b)上是增函数；若 f (x)0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；f (x) 0时，x1 或 x，3当 f (x) 0时，一1 x0,求a的围，使函数f (x)在区间0,)上是单调函数分析：要使f (x)在0,)上是单调函数，只需 f (x)在0,)上恒正或恒负即解：f (x)当x0时，0x因为a0,所以当且仅当a1时，f (x) = .-a在0,)上恒小于0,此,1 x2时f (x)是单调递减函数点评：要使f (x)在(a, b)

6、上单调，只需f (x)在(a, b)上恒正或恒负，即f (x) 0 (或v 0= 单调递增(或减).例5、用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所制作容器的底面的一边比另 一边长05 m,那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积.解：设容器底面短边长为 x m,则另一边长为(x+05) m,高为14.8 4x 4(x 0.5) =32_ 2x( mm .设容积为 y m3,贝U y=x (x+0.5) (3.22x) (0vxv16=整理，得 y=-2x3+22x2+1.6x.所以 y =6x7、已知函数f (x) =x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10,贝U

7、f (2) =.8、已知二次函数 y=f (x)经过点(0, 10),导函数 f(x)=2x5,当 x ( n, n+1) (n CN*)时，f (x)是整数的个数，记为 an求数列an的通项公式.9、设函数 f (x) =x3- 1ax2+3x+5 (a0),求 f (x)的单调区间. +44x+1 6.令 y，=0,即6x2+4.4x+1.6=0,所以 15x211x 4=0.解得x=1或x=- 3(不合题意，舍去).15从而在定义域(0, 1.6)只有x=1处使得y =0.由题意，若x过小(接近0)或过大(接近1.6)时，y值很小(接近0).因此，当x=1时，y有最大值且 ymax=-2

8、+2.2+16=1.8,此时，高为32-2X 1=1.2 (城答：容器的高为1.2m时，容积最大，最大容积为1.8m生命吗？那别浪费时间，因为时间是组成生.【模拟试题】1、某物体做s=2 (1 t) 2的直线运动，则t=08 s时的瞬时速度为()A、4B 、一 4 C 、一 48 D 、一 0 82、函数f (x) =x3 6bx+3b在(0, 1)有极小值，则()A b0 B 、bv 1 C 0b(-1,3) C (1,0)D (-1,0)5、已知曲线y=1x3+-,则过点P (2, 4)的切线方程是 .336、设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V,那么其表面积最小时，底面边长为【试题答案】

9、1、解析：s = 4 (1 t),，当 t =0.8s 时，v=08.答案：D2、解析：f(x) =3x2 6b,令 f(x) =0,得 x= 42 b.2 f (x)在(0, 1)有极小值，0v j 2 bv 1.，0b1 时，axln a+log ae0,f (x)为增函数.x 1当 0va1 时，axln a+log ae 0, f (x)为减函数.x 1，、，、1f (0) +f (1) =aa=.2答案：B34、解析：f ( x) =4x - 1=3, x=1.答案：C5、解析：y =x2,当x=2时，y =4.，切线的斜率为 4.，切线的方程为 y4=4 (x-2),即y=4x-4

10、.答案：4xy 4=04V6、解析：设底面边长为 x,则图为h=,3x2x+2 x Sf 4V S 表=3 X 3x.S =43V + V3x,令 S，=0,得 x=V4V x答案:3 4V7、解析：f2(x) =3x +2ax+b,由题息得f (1) 0,f (1) 10,32a b 0a 3a4,2或1ab a21, b3b 11.f (2) =11 或 f (2) =18.答案：11或188、解：由f(x)=2x-5可设f (x高三数学函数的极值、最值及应用教版【本讲教育信息】一.教学容：函数的极值、最值及应用、本周教学目标：1、理解可导函数的单调性与其导数的关系；2、了解可导函数在某点

11、取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)3、会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值.三、本周知识要点：1、极大值：一般地，设函数 f (x)在点X0附近有定义，如果对 X0附近的所有的点，都有 f(x)vf(X0),就说f(X0)是函数f (x)的一个极大值，记作y极大 f(X0).就说f(X0)是函数f (x)的一个极小值，记作 y极小值=f(X0), X0是极小值 与 八、3、极大值与极小值统称为极值 . ( i )极值是一个局部概念,由定义，极值只是某个点的函 数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意味着它在函数整个的定义域最大或最小.(ii)函数的极值不是

12、唯一的.即一个函数在某区间上或定义域的极大值或极小值可以不 止一个.(iii)极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值.(iv)函数的极值点一定出现在区间的部，区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的部，也可能在区间的端点.4、判别f(X0)是极大、极小值的方法：若 X0满足f(X0) 0 ,且在X0的两侧f (x)的 导数异号，则X0是f (X)的极值点，f(X0)是极值，并且如果 f (X)在X0两侧满足“左正 右负”，则X0是f (X)的极大值点，f(X0)是极大值；如果f (X)在X0两侧满足“左负右正”， 则X0是f(x)的极小

13、值点,f (X0 )是极小值.5、求函数f (x)的极值的步骤：(1)确定函数的定义区间，求导数f (x).(2)求方程f (X)=0的根.(3)用函数的导数为 0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格 检查f (x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么 f(X)在这个根处取得极大 值；如果左负右正，那么 f (x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或 都为负，则f(X)在这个根处无极值.6、函数的最大值和最小值： 在闭区间a,b上连续的函数f (X)在a,b上必有最大值与最 小值.(1)在开区间(a,b)连续的函数f (x)不一定有最大值与最小值.(2)函

14、数的最值是比较整个定义域的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的.(3)函数f (x)在闭区间a,b上连续，是f (x)在闭区间a,b上有最大值与最小值的充分条件而非 必要条件.(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能 不止一个，也可能没有.7、利用导数求函数的最值步骤：求f(x)在(a,b)的极值；将f (x)的各极值与f(a)、f (b)比较得出函数f (x)在a, b上的最值.8、利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤.(1)求 f (x).(2)确定f (x)在(a, b)符号.(3)若f (x) 0在(a, b)上恒成立，则f (x)在(a

15、, b)上是增函数；若 f (x) 0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；f (x) 0时，x1 或 x1 ,3当 f (x) 0时，一1 x13函数f (x)的单调增区间为(8, 1 )和(1, +8),减区间为(1,1).33点评：极值点、最值点这些是原函数图象上常用的点.0,xR), f(x)取例3、设f(x) (ax2x 1) e x(e为自然对数的底，a为常数且a极小值时，求x的值解：f (x) (2ax 1) e x (ax2 x 1) e x ( 1)e x (ax 1)(x 2)人1 一令 f (x) 0 x 一或2 a,1- 一1(1)当12即 1a 0,由表a 2x(8

16、,2)2(21-) a1a(-,) af (x)+0一0+f (x)极大值极小值1 一一 x 一时，f(x)取极小值ai1 e x (x 2)20无极值.2,11(3)当一2即a1时，由表a2x(8,) a1 a(1,2) a2(2,)f,(x)+0一0+f (x)极大值极小值x 2时,f(x)取极小值,、，,1 一， 1 一， 一一综上，当a 0tx-时,f(x)取极小值2a,1 一，当a时,x 2tf(x)取极小值.2例4、设函数f (x) = 0,求a的围，使函数f (x)在区间0,)上是单调函数分析：要使f (x)在0,)上是单调函数，只需 f (x)在0,)上恒正或恒负即 可解：f

17、( x) = x a.1 x2当x0时，0x.因为a0,所以当且仅当a1时，f (x) = x-a在0,)上恒小于0,此,1 x2时f (x)是单调递减函数.点评：要使f (x)在(a, b)上单调，只需f (x)在(a, b)上恒正或恒负，即f (x) 0 (或v 0= 单调递增(或减).例5、用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另 一边长05 m,那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积.解：设容器底面短边长为 x m,则另一边长为(x+0.5) m,高为14.8 4x 4(x 0.5)=32 2x (mm ,4设容积为 y m3,贝U y=

18、x (x+0 5) (3 2 2x) (0vxv16=整理，得 y=-2x3+22x2+16x.所以 y =6x2+44x+1 6.令 v =0,即6x2+4.4x+1.6=0,所以 15x2 11x- 4=0.解得x=1或x=-(不合题意，舍去).15从而在定义域(0, 16)只有x=1处使得v =0.由题意，若x过小(接近0)或过大(接近16)时，y值很小(接近0).因此，当x=1时，y有最大值且 ymax= 2+22+1.6=1.8,此时，高为32-2X 1=1.2 (城答：容器的高为1.2m时，容积最大，最大容积为 1.8m3.【模拟试题】1、某物体做s=2 (1 t) 7、已知函数f

19、 (x) =x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10,贝U f (2) =.8、已知二次函数 y=f (x)经过点(0, 10),导函数 f(x)=2x5,当 x ( n, n+1) (n CN*)时，f (x)是整数的个数，记为 an求数列an的通项公式.9、设函数 f (x) =x31 ax2+3x+5 (a0),求 f (x)的单调区间. 的直线运动，则t =08 s时的瞬时速度为()A 4 B 、一 4 C 、一 48 D 、一 0832、函数f (x) =x 6bx+3b在(0, 1)有极小值，则()A、b0 B 、bv 1 C、0vbv 变 D、bv 1223、函数f (x)

20、 =ax+log a(x+1)在0, 1上的最大值与最小值之和为a,则a的值为()A - B、1 C、2 D 、4424、若曲线f (x) =x命的材料-富兰克林.-x在点P处的切线平彳T于直线 3x-y=0,则点P的坐标为()A、(1, 3) B (-1,3)C (1,0) D (-1,0)5、已知曲线y=lx你热爱生命吗？那,浪费时间，因为时间是也成生+J 则过点P (2, 4)的切线方程是 . 336、设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V,那么其表面积最小时，底面边长为【试题答案】1、解析：s = 4 (1 t),，当 t =0.8s 时，v=08.答案：D2、解析：f(x) =3x2

21、6b,令 f(x) =0,得 x= 42 b.2 f (x)在(0, 1)有极小值，0v j 2 bv 1.，0b1 时，axln a+log ae0,f (x)为增函数.x 1当 0va1 时，axln a+log ae3时，f (x)在(n, n 1上单调递增，其值域为(f(n), f (nan=f (n+1) - f ( n) =2n 4.2 an= 12n9、解：(1)(n(n(n(x)1)2)3) .=3x2-ax+3,判别式 A=a236= (a6) (a+6).1 0a6 时， 0 对 xC R恒成立.当0a6 时, 0,由 f (x)0a a a2 36 a a a2 36x或

22、 x 66f (x) 0a 一a2 366ax3时，f an=f (n+1)2 an= 12n9、解：(1)(x)-f(n (n(n(x)4在(n, n 1上单调递增，其值域为(f(n), f (n 1)(n) =2n 4.1)2)3) .=3x2-ax+3,判别式 A=a236= (a6) (a+6).1 0a6 时，A0 对 xC R恒成立.当0a6 时,A0,由 f (x)0a 、, a2 36 T a . a2 36x或 x66f (x) 0a ，a2 366axa2 366.7r /a 2 a2 36,、在(,+)2和(8, a_a_3)单调递增，在(a a2 36a a2 366）单调递减.