高等数学微积分公式

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1、a0nmb0a0 xna1 xn 1an一、lim0 nm（系数不为0 的情况）mm 1xb0 xb1 xbmnm二、重要公式 （1） lim sin x1（ 3）lim n a ( a o) 11（ 2） lim 1 x x ex0xx 0n（4） lim n n 1（ 5） limarctan x2（ 6） lim arc tan x2nxx（ 7）0（ 8）lim arccot xxlimarccot x（ 9）lim e 0xxx（10） lim ex（11） lim xx1xx 0三、 常用等价无穷小关系（ x0）sin x xtan xxarcsinx xarctanx x 1 c

2、osx1x22ln 1xxex1xa x1x l n a1x1x四、 导数的四则运算法则u vu vuu v uvuvu v uvv2v五、 基本导数公式 c0 xx1sin xcos x cos xsin xtan xsec2 xcot xcsc2 x sec xsecx tan xcsc xcsc x cot x exex a xax ln a ln x1x log a x1 arcsin x1 arccos x1x ln a1x21x211 x1x11 x21 x22 xarctan x arccot x六、 高阶导数的运算法则nnnnn（1） u x v xu xv x（2） cu x

3、cu xnnn（3） u ax b（4） u x v xcnk u n kx v(k) xanu n ax bk 0七、 基本初等函数的n 阶导数公式（1） xnn（2） eax bn(3) axnn!an eax ba x ln n a(4)sinaxbnaxbnan sin2(5)cos axbnan cos axbn21nnann!nn 1 ann 1 !(6)axb1axn 1(7) ln ax b1nbaxb八、 微分公式与微分运算法则 d c0 dxx1dx d sin xcosxdx d cosxsin xdx d tan xsec2 xdx dcot xcsc2 xdx d s

4、ecxsecx tan xdx d cscxcscx cot xdx d exexdx daxax ln adx d ln x1 dxx d log ax1dx d arcsin x1dx d arccos x1dxx ln a1x21x2 d arctanx1dx d arccot x1dxx2x211九、 微分运算法则 d uvdudv d cucdu d uv vdu udv d uvdu udvvv2十、 基本积分公式 kdx kx cx 1c dx x dxln x c1xax dxaxc ex dxexc cosxdxsin xcln asin xdxcosx c1dx22sec

5、xdx tan x ccos x12cot xc1dxarctanxcsin2xcsc xdxx211dxarcsin x c1x2十一、 常用凑微分公式积分型换元公式faxb dx1axb d ax bfafxx 1 dx1f xd xfln x1 dxfln x dln xxf exexdxf ex d exf axa xdx1f ax d axln afsin xcosxdxfsin x d sin xfcos xsin xdxfcosx dcosxftan xsec2 xdxftan x dtan xfcot xcsc2 xdxfcot x dcot xf1dxfarcta n x d

6、arc ta n xarctan xx21farcsin x1dxf arcsin x darcsin x1x2十二、 补充公式uaxbuxuln xuexuaxusin xucos xu tan x u cot xu arctan x u arcsin xtan xdxln cos xccot xdxln sin xcsecxdxln secxtan xccscxdxln cscxcot xca21x2 dx1 arctan xc212 dx1 lnxacaaxa2axa1x2dx arcsin xc1dx ln xx2a2ca2ax2a2十三、 分部积分法形如 xn eax dx ，令 u

7、xn ， dv eax dx形如xn sin xdx 令 uxn ， dvsin xdx形如xn cos xdx 令 uxn ， dvcosxdx形如xn arctanxdx ，令 u arctan x ， dv xndx形如xn ln xdx ，令 uln x ， dv xndx形如eax sin xdx， eax cosxdx 令 u eax ,sin x,cos x 均可。十四、 第二换元积分法中的三角换元公式(1) a2x2x as i n t (2) a2x2x at a n t (3) x2a2x asect【特殊角的三角函数值】（1） sin 0 0（ 2） sin131 ）（

8、5） sin0（ 3） sin3（4） sin6222（1）cos01（ 2）3（ 3）1（ ） （ ）cos4 cos05 cos1cos22632（1） tan0 0（2） tan3（ 3）tan3 （ 4）tan不存在（ 5）tan03632（1） cot 0 不存在 （ 2） cot3 （ 3） cot3（ 4 ） cot0 （ 5 ） cot不存3632在十五、 三角函数1.两角和公式sin( AB)sin A cosBcos Asin Bs i nA(B)s iAncBo scAo s Bscos( AB)cos A cos Bsin A sin Bc o sA(B)c oAscB

9、o sAs i n Bstan Atan Btan Atan Btan(AB)tan(AB)1tan A tan B1tan A tan Bcot A cot B1cot A cot B1cot( AB)cot( AB)cot Bcot Acot Bcot A2.二倍角公式sin 2A 2sin A cosAc o s A222222Ac o s1c o Ass iAn1 2 As i ntan2A2 tan A1tan2 A3.半角公式A1 cos AA1 cos Asin2cos222tan A1cos Asin Acot A1cos Asin A21cos A1 cos A21cos A

10、1 cos A4.和差化积公式sin asin b2sin ab cos absin asin b2cos a bsin a b2222cosacosb2cos ab cos abcosacosb2sin ab sin a b2222tan atan bsin abcosa cosb5.积化和差公式sin a sin b1cos abcos abcosacosb1cos abcos ab22s i na c obs1s ianbs ainbc o sa s ibn1s ianbs ianb226.万能公式a12aa2 tantan22 t ansin a2cosat a na21 t a2na1 tan2 a1tan2a2227.平方关系sin 2 x cos2 x1sec2 xta n2 x1csc2 xcot 2 x18.倒数关系tanx cot x 1secx cosx1csc x sin x19.商数关系sin xcot xcosxtanxsin xcosx十六、 常见的微分方程1.可分离变量的微分方程dyf xgy， f1x g1y dxf 2x g2 y dy 0：dxdyy2.齐次微分方程 ：fdxx3.一阶线性非齐次微分方程dyp xyQ x解为：dxp x dxQp x dxdxcy ex e