数列专题复习之典型例题(共40页)

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1、精选优质文档-倾情为你奉上数列知识点-求通项一、由数列的前几项求数列的通项：观察法和分拆与类比法-猜测-证明（略）二、由an与Sn的关系求通项an例1已知数列an的前n项和为Sn3n1，则它的通项公式为an_.答案23n1练1 已知数列an的前n项和Sn3n22n1，则其通项公式为_答案an三、由数列的递推公式求通项例3、（1）设数列的前项和为已知，设，求数列的通项公式； 答案: ，（2）（4）在数列中，且（）（）设（），证明是等比数列；（）求数列的通项公式；答案: （3）在数列中，其中（）求数列的通项公式；（）求数列的前项和；答案:（4）已知数列满足：（1）求数列的通项公式；（2）设，求答案

2、: 注意：由数列的递推式求通项常见类型（请同学们查看高一笔记）1. 2 . .3 （其中p，q均为常数，）。4 . （1） .（其中p，q均为常数，）。（或,其中p，q, r均为常数）（2）5.递推公式为（其中p，q均为常数）先把原递推公式转化为其中s，t满足6、 递推公式为与的关系式。(或)7、8. 9.或 10.双数列型数列知识点-求和问题一、掌握数列求和的常见方法：1.公式法求和：（1）等差数列 （2）等比数列 2.错位相减法：主要用于求数列的前n项和，其中、中一个为等差数列，另一个为等比数列。3.裂项相消法：一般适用于通项为的前n项和，其中为等差数列。常见的裂项技巧有：4.倒序相加法：

3、 5.分类相加法：将数列适当拆分，重新组合，变成几个可以求和的部分再分别求和。6.分奇数项，偶数项求和二、例题巩固例1.求和：解：例2求和Sn1.解：Sn22n2.例3（08安徽卷）在等差数列中，前项和满足条件， （）求数列的通项公式；（）记，求数列的前项和。解：（）。（）例4在数列an中，a11，当n2时，其前n项和Sn满足San.(1)求Sn的表达式；(2)设bn，求bn的前n项和Tn.解 (1) Sn.(2) Tn.例5正数数列的前n项和为，且对任意的，满足（1）求数列的通项公式；（2）记，数列前n项和为，求证：解：（1）（）数列知识点-数列的单调性例1、已知函数（1）求的反函数；（2）

4、设 （nN*），求；（3）设,否存在最小正整数，使得对任意nN*，有成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由例2、设数列的前项和为已知，（）设，求数列的通项公式；（）若，求的取值范围解：（） ，（）所求的的取值范围是例3设为常数，且（1）证明对任意；（2）假设对任意有，求的取值范围.解： a0的取值范围为数列知识点-数列的综合应用一、数列与函数的综合应用例1(2012南昌模拟)等比数列an的前n项和为Sn，已知对任意的nN*，点(n，Sn)均在函数ybxr(b0且b1，b，r均为常数)的图象上(1)求r的值；(2)当b2时，记bn(nN*)，求数列bn的前n项和Tn.解：（1）r1.(2)T

5、n.练1 (2011福建)已知等比数列an的公比q3，前3项和S3.(1)求数列an的通项公式；(2)若函数f(x)Asin(2x)(A0,0)在x处取得最大值，且最大值为a3，求函数f(x)的解析式解 (1) an3n13n2.(2)函数f(x)的解析式为f(x)3sin.二、数列与不等式的综合应用例2、设数列an的前n项和Sn,=an-2n+1+,n=1,2,3,.(I)求首项a1与通项an; (II)设Tn=, n=1,2,3,.,证明:解：（） n=1，2，3， 练2在数列，中，a1=2，b1=4，且成等差数列，成等比数列（）（）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测，的通项公

6、式，并证明你的结论；（）证明：解：（）练3.数列()求并求数列的通项公式； ()设证明：当解 ()的通项公式为三、数列与解析几何的综合应用（点列问题）例3如图，从点P1（0,0）作x轴的垂线交于曲线y=ex于点Q1（0,1），曲线在Q1点处的切线与x轴交与点P2。再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，QI；P2，Q2Pn，Qn，记点的坐标为（，0）（k=1,2，n）。（）试求与的关系（2kn）；（）求解（）。（）四、数列与三角交汇例4(2011安徽) 在数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作，再令，n1.（）

7、求数列的通项公式；（）设，求数列的前n项和.解：（）（）所以五、数阵问题例5练习个正数排成几行几列: 其中每一行的数成等差数列,每一列的数成等比数列,并且所有公比相等,已知, 试求的值.解：.数列知识点-求通项一、由数列的前几项求数列的通项：观察法和分拆与类比法-猜测-证明（略）二、由an与Sn的关系求通项an例1已知数列an的前n项和为Sn3n1，则它的通项公式为an_.答案23n1练1 已知数列an的前n项和Sn3n22n1，则其通项公式为_答案an三、由数列的递推公式求通项例3、（1）设数列的前项和为已知，设，求数列的通项公式； 答案: ，（2）在数列中，其中（）求数列的通项公式；（）求

8、数列的前项和；答案:（3）已知数列满足：（1）求数列的通项公式；（2）设，求答案: （4）在数列中，且（）（）设（），证明是等比数列；（）求数列的通项公式；答案: 注意：由数列的递推式求通项常见类型（请同学们查看高一笔记）1. 2 . .3 （其中p，q均为常数，）。4 . （1） .（其中p，q均为常数，）。（或,其中p，q, r均为常数）（2）5.递推公式为（其中p，q均为常数）先把原递推公式转化为其中s，t满足6、 递推公式为与的关系式。(或)7、8. 9.或 10.双数列型数列知识点-求和问题一、掌握数列求和的常见方法：1.公式法求和：（1）等差数列 （2）等比数列 2.错位相减法：主

9、要用于求数列的前n项和，其中、中一个为等差数列，另一个为等比数列。3.裂项相消法：一般适用于通项为的前n项和，其中为等差数列。常见的裂项技巧有：4.倒序相加法： 5.分类相加法：将数列适当拆分，重新组合，变成几个可以求和的部分再分别求和。6.分奇数项，偶数项求和二、例题巩固例1.求和：解：例2求和Sn1.解和式中第k项为ak12.Sn2222n2.例3（08安徽卷）在等差数列中，前项和满足条件， （）求数列的通项公式；（）记，求数列的前项和。解：（）设等差数列的公差为,由得：，所以，即，又，所以。（）由，得。所以，当时，；当时，即，= 即例4在数列an中，a11，当n2时，其前n项和Sn满足S

10、an.(1)求Sn的表达式；(2)设bn，求bn的前n项和Tn.解(1)San，anSnSn1(n2)，S(SnSn1)，即2Sn1SnSn1Sn，由题意Sn1Sn0，式两边同除以Sn1Sn，得2，数列是首项为1，公差为2的等差数列12(n1)2n1，Sn.(2)又bn，Tnb1b2bn.例5正数数列的前n项和为，且对任意的，满足（1）求数列的通项公式；（2）记，数列前n项和为，求证：解：（1），令，且）数列是以1为首项，1为公差的等差数列，（且）当时，（）（2）14分数列知识点-数列的单调性例1、已知函数（1）求的反函数；（2）设 （nN*），求；（3）设,否存在最小正整数，使得对任意nN*

11、，有成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由例2、设数列的前项和为已知，（）设，求数列的通项公式；（）若，求的取值范围解：（）依题意，即，由此得因此，所求通项公式为，（）由知，于是，当时，当时，又综上，所求的的取值范围是例3设为常数，且（1）证明对任意；（2）假设对任意有，求的取值范围.（1）证法一：（i）当n=1时，由已知a1=12a0，等式成立；（ii）假设当n=k（k1）等式成立，则那么 也就是说，当n=k+1时，等式也成立. 根据（i）和（ii），可知等式对任何nN，成立. 证法二：如果设 用代入，可解出. 所以是公比为2，首项为的等比数列. 即 （2）解法一：由通项公式 等价于 （

12、i）当n=2k1，k=1，2，时，式即为 即为 式对k=1，2，都成立，有 （ii）当n=2k，k=1，2，时，式即为 即为 式对k=1，2，都成立，有 综上，式对任意nN*，成立，有故a0的取值范围为解法二：如果（nN*）成立，特别取n=1，2有 因此 下面证明当时，对任意nN*， 由an的通项公式 （i）当n=2k1，k=1，2时， （ii）当n=2k，k=1，2时， 故a0的取值范围为数列知识点-数列的综合应用一、数列与函数的综合应用例1(2012南昌模拟)等比数列an的前n项和为Sn，已知对任意的nN*，点(n，Sn)均在函数ybxr(b0且b1，b，r均为常数)的图象上(1)求r的值

13、；(2)当b2时，记bn(nN*)，求数列bn的前n项和Tn.审题视点 第(1)问将点(n，Sn)代入函数解析式，利用anSnSn1(n2)，得到an，再利用a1S1可求r.第(2)问错位相减求和解(1)由题意，Snbnr，当n2时，Sn1bn1r，所以anSnSn1bn1(b1)，由于b0且b1，所以n2时，an是以b为公比的等比数列，又a1br，a2b(b1)，b，即b，解得r1.(2)由(1)知，nN*，an(b1)bn12n1，所以bn.Tn，Tn，两式相减得Tn，Tn.此类问题常常以函数的解析式为载体，转化为数列问题，常用的数学思想方法有“函数与方程”“等价转化”等二、数列与不等式的

14、综合应用例2、设数列an的前n项和 (I)求首项a1与通项an; (II)设Tn=, n=1,2,3,.,证明:解：（）由 得 所以 a1=2再由有 将和相减得 整理得 ，因而数列是首项为a1+2=4，公比为4的等比数列，即 ，n=1，2，3，因而 n=1，2，3，（）将代入得所以，练2在数列，中，a1=2，b1=4，且成等差数列，成等比数列（）（）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测，的通项公式，并证明你的结论；（）证明：解：（）由条件得由此可得猜测用数学归纳法证明：当n=1时，由上可得结论成立假设当n=k时，结论成立，即，那么当n=k+1时，所以当n=k+1时，结论也成立由，可知

15、对一切正整数都成立（）n2时，由（）知故综上，原不等式成立 练3.数列()求并求数列的通项公式； ()设证明：当 解 ()因为一般地，当时，即所以数列是首项为1、公差为1的等差数列，因此当时，所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此故数列的通项公式为()由()知， -得， 所以 要证明当时，成立，只需证明当时，成立. 证法一 (1)当n=6时，成立. (2)假设当时不等式成立，即 则当n=k+1时， 由(1)、(2)所述，当n6时，即当n6时， 证法二 令，则 所以当时，.因此当时，于是当时，综上所述，当时，三、数列与解析几何的综合应用（点列问题）例3如图，从点P1（0,0）作x轴的垂线交

16、于曲线y=ex于点Q1（0,1），曲线在Q1点处的切线与x轴交与点P2。再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，QI；P2，Q2Pn，Qn，记点的坐标为（，0）（k=1,2，n）。（）试求与的关系（2kn）；（）求解（）设，由得点处切线方程为由得。（），得，所以于是，例4如图，直线与相交于点P。直线与x轴交于点，过点作x轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线直线于点，过点作x轴的垂线交直线于点，这样一直作下去，可得到一系列点，。点的横坐标构成数列。OP1P2Q2P3PQ1xyl1l2（）证明；（）求数列的通项公式；（）比较与的大小。（）证明：设点Pn的坐标是，由已知

17、条件得点Qn、Pn+1的坐标分别是：由Pn+1在直线l1上，得 所以 即 （）解：由题设知 又由（）知 ，所以数列 是首项为公比为的等比数列.从而 （）解：由得点P的坐标为（1，1）.所以 （i）当时，1+9=10.而此时 （ii）当时，1+9=10.而此时四、数阵问题例5练习个正数排成几行几列: 其中每一行的数成等差数列,每一列的数成等比数列,并且所有公比相等,已知, 试求的值.解：设第一行数列公差为,各列数列的公比为,则第四行数列公差是,于是可得 解此方程组,得,由于所给个数都是正数,必有,从而有,于是对任意的,有.得, 又 两式相减后得:所以 .例6（）设中所有的数从小到大排列成的数列，

18、即将数列各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表： 3 5 6 9 10 12 （i）写出这个三角形数表的第四行、第五行各数； （i i）求.（）（本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷总分不超过150分）设中所有的数都是从小到大排列成的数列，已知22（本小题满分12分，附加题4分） （）解：（i）第四行17 18 20 24 第五行 33 34 36 40 48 （i i）解：设，只须确定正整数 数列中小于的项构成的子集为 其元素个数为满足等式的最大整数为14，所以取因为100（）解：令 因 现在求M的元素个数：其元素个数为： 某元素个数为某元素个数为五、数列与三角交汇例4(2011安徽) 在数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作，再令，n1.（）求数列的通项公式；（）设，求数列的前n项和.解：（）设构成等比数列，其中，则并利用，得（）由题意和（）中计算结果，知另一方面，利用得所以专心-专注-专业