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1、第二讲第二讲 数学的高级统帅数学的高级统帅数学思想数学思想 高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合；二是高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合；二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查如果说数学着眼于对数学思想方法、数学能力的考查如果说数学知识是数学内容，可用文字和符号来记录和描述，那么知识是数学内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学意识，重在领会、运用，属于思数学思想方法则是数学意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决中学维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决中学数学思想主要有数形结合思想、函数和方程思想、分类数学思想主要有数形结合思想、
2、函数和方程思想、分类讨论思想、化归和转化思想讨论思想、化归和转化思想一、函数与方程思想一、函数与方程思想函数的思想，就是用运动和变化的观点，分析和研究函数的思想，就是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的数学思想决的数学思想. 方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程，建立方程或方程组，或者构造方程，
3、通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的数学思想解决的数学思想.函数与方程思想的含义函数与方程思想的含义立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决.4解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决这都涉及二次方程与二次函数的有关理论决这都涉及二次方程与二次函数的有关理论3数列的通项与前数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数
4、，用函项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要数的观点去处理数列问题十分重要2函数与不等式的相互转化，对函数函数与不等式的相互转化，对函数yf( (x) )，当，当y 0时，时，就化为不等式就化为不等式f( (x)0，借助于函数的图像和性质可解决，借助于函数的图像和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式1函数与方程思想在解题中的应用函数与方程思想在解题中的应用典例示范典例示范 即时应用即时应用 答案：答案：(1)B(2)8二、数形结合思想二、数形结合思想数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通数形结合思想，就是根据
5、数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想数形结合思过数与形的相互转化来解决数学问题的思想数形结合思想的应用包括以下两个方面：想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助数以形助数”，把某些抽，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；维，揭示数学问题的本质；(2)“以数定形以数定形”，把直观图形，把直观图形数量化，使形更加精确数量化，使形更加精确.数形结合思想的含义数形结合思想的含义构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式题和
6、证明不等式4构建函数模型并结合其图像研究量与量之间的大小构建函数模型并结合其图像研究量与量之间的大小关系关系3构建函数模型并结合其图像研究方程根的范围构建函数模型并结合其图像研究方程根的范围2构建函数模型并结合其图像求参数的取值范围构建函数模型并结合其图像求参数的取值范围1数形结合思想在解题中的应用数形结合思想在解题中的应用研究图形的形状、位置关系、性质等研究图形的形状、位置关系、性质等.8构建方程模型，求根的个数构建方程模型，求根的个数7构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题值问题6构建立体几何模型研究代数问题构建立体几何模型研究代数问
7、题5数形结合思想在解题中的应用数形结合思想在解题中的应用典例示范典例示范 答案答案(1)B(2)B即时应用即时应用 答案：答案：(1)D(2)2,6三、分类讨论思想三、分类讨论思想分类讨论的思想是将一个较复杂的数学问题分解分类讨论的思想是将一个较复杂的数学问题分解(或或分割分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略对问题实行分类与整合，分实现解决原问题的思想策略对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题题(或综合性问题或综合性问题)分解
8、为小问题分解为小问题(或基础性问题或基础性问题)，优化解，优化解题思路，降低问题难度题思路，降低问题难度.分类讨论思想的含义分类讨论思想的含义由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列a an n 的前的前n项和公式等项和公式等2由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、
9、不由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等1分类讨论思想在解题中的应用分类讨论思想在解题中的应用由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等法等.5由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图像、指数函数图像、对数函数图像等像
10、、指数函数图像、对数函数图像等4由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等数的单调性、基本不等式等3分类讨论思想在解题中的应用分类讨论思想在解题中的应用典例示范典例示范 即时应用即时应用四、转化与化归思想四、转化与化归思想转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而解问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而解决问题的一种方法一般总是将复杂的问题通过变换转决问题的一种方法一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题
11、通过变换转化为容易求化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题题.转化与化归思想的含义转化与化归思想的含义在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知识的交汇题目时，常将平面向量语言与三角函数、平面识的交汇题目时，常将平面向量语言与三角函数、平面几何、解析几何语言进行转化几何、解析几何语言进行转化3换元法：是将一个复杂的或陌生的函数、方程、不等式换元法：是将一个复杂的或陌生的函数、方程、不等式转化为简单的或熟悉的函数、方程、不等式的一种重要
12、转化为简单的或熟悉的函数、方程、不等式的一种重要的方法的方法2在三角函数中，涉及到三角式的变形，一般通过转化与在三角函数中，涉及到三角式的变形，一般通过转化与化归将复杂的三角问题转化为已知或易解的三角问题，化归将复杂的三角问题转化为已知或易解的三角问题，以起到化暗为明的作用，主要的方法有公式的以起到化暗为明的作用，主要的方法有公式的“三三用用”(顺用、逆用、变形用顺用、逆用、变形用)、角度的转化、函数的转化、角度的转化、函数的转化等等1转化与化归思想在解题中的应用转化与化归思想在解题中的应用在解决解析几何、立体几何问题时，常常在数与形在解决解析几何、立体几何问题时，常常在数与形之间进行转化之间进行转化.6在利用导数研究函数问题时，常将函数的单调性、在利用导数研究函数问题时，常将函数的单调性、极值极值(最值最值)、切线问题，转化为其导函数、切线问题，转化为其导函数f(x)构成的构成的方程、不等式问题求解方程、不等式问题求解5在解决数列问题时，常将一般数列转化为等差数列在解决数列问题时，常将一般数列转化为等差数列或等比数列求解或等比数列求解4转化与化归思想在解题中的应用转化与化归思想在解题中的应用典例示范典例示范 答案答案(1)B(2)D即时应用即时应用答案：答案：C
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