不定积分的换元积分法教学PPT

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1、4.3.3 不定积分的换元积分法 第四四章 （第二类换元法）（第二类换元法）第一类换元法解决的问题第一类换元法解决的问题难求难求易求易求xxxfd)()(uufd)()(xu若所求积分若所求积分xxxfd)()(易求易求, 则得第二类换元积分法则得第二类换元积分法 .难求，难求，uufd)( ),ux 令令化化为为不不定定积积分分定理定理 . 设设( )xt是是单调可导单调可导函数函数 , 且且( )0,t1()( )d ( )( )dtxf xxfttt 1( )( ).txxt 其其中中是是的的反反函函数数则有换元公式则有换元公式第二类换元法第二类换元法第一类换元法第一类换元法xxxfd)

2、()(uufd)( )ux( )ux11.1dxx 例例 求求解解,tx 令令2,xt 即即2.dxtdt 则则11dxx 21tdtt 12 (1)1dtt 2(ln|1|)ttC2ln(1)xxC32.11dxxx 例例 求求解解61,tx令令61,xt则则56.dxt dt 311dxxx 5326tdttt 361tdtt 216 (1)1ttdtt 326(ln|1|)32ttttC 3662131616ln|11|xxxxC说明：说明：12(1),.,knnnaxbaxbaxb若若被被积积函函数数中中含含有有时时，;ntaxb可可考考虑虑代代换换12(2),.,knnnaxbaxb

3、axbcxdcxdcxd若若被被积积函函数数中中含含有有时时，;naxbtcxd 可可考考虑虑代代换换12,.,knn nn其其中中 是是的的最最小小公公倍倍数数。113.xdxxx 例例 求求解解1,xtx 令令21,1xt 则则222.(1)tdtdxt 11xdxxx 2221tdtt 212 (1)1dtt 12ln|1ttCt 2112ln| (1) |xxxCxx 22d(0).axxa 解解: 令令22sin ,(, ),xatt 则则22222sinaxaatcosat dcos dxatt 原式原式cosat cos datt 22cosdatt 22aCsin22tt ax

4、22xa tarcsinxa2212x axC22a sin22sin costtt 2 xa 22axa 2(1cos2 )d2att 例例4. 求求例例5. 求求22d(0).xaxa 解解:,xa 当当时时令令2sec ,(0, ),xat t 则则22222secxaata tanat dx sec tan dattt 原式原式td sec tanatttanatsec dtt 1ln sectanttCax22ax t1ln C22ln xxaC22xaa xa ,xa 当当时时令令,xu ,ua 则则于是于是22dxxa 22duua 22ln xxaC22dxxa 时，xa 22

5、1ln uuaC 221lnxxaC 2122lnaCxxa 22ln xxaC例例6. 求求. )0(d22aaxx解解: 令令, ),(,tan22ttax则则22222tanataaxtasecttaxdsecd2 原式原式 ta2sectasectdttdsec1tanseclnCttax22ax tCaxx22lnln22ax axa1C说明说明(1)(1) 以上几例所使用的均为以上几例所使用的均为三角代换三角代换. .三角代换的三角代换的目的目的是化掉根式是化掉根式. .一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中含有22)1(xa 可令可令;sintax 22)2(x

6、a 可令可令;tantax 22)3(ax 可令可令.sectax (2) (2) 积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换 并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定. .例例7 7 求求dxxx 251（三角代换很繁琐）（三角代换很繁琐）21xt 令令, 122 tx,tdtxdx dxxx 251 tdttt 221 dttt 1224Cttt 353251.1)348(151242Cxxx 解解例例8 8 求求解解.11dxex xet 1令令, 12 tex,122dtttdx dxex 11dtt 122dttt

7、 1111Ctt 11ln .11ln2Cxex ,1ln2 tx说明说明: : 当分母的阶较高时当分母的阶较高时, , 可采用可采用倒代换倒代换.1tx 例例9 9 求求dxxx )2(17令令tx1 ,12dttdx dxxx )2(17dtttt 27121 dttt7621Ct |21|ln1417.|ln21|2|ln1417Cxx 解解7711d712tt 例例10 10 求求解解.1124dxxx dxxx 1124令令tx1 ,12dttdx 24211d111tttt （分母的阶较高）（分母的阶较高）dttt 231222121dttt 2ut 令令 duuu121 duuu

8、11121 duuu11121 )1(11121uduu31( 1)13uuC .1131232Cxxxx 221utx小结小结: 1. 第二类换元法常见类型第二类换元法常见类型: (1)(,)d ,nf xaxbx 令令ntaxb(2)(,)d ,a x bnc x df xx 令令a x bnc x dt 22(3)(,)d ,f xaxx 令令taxsin或或cosxat 22(4)(,)d ,f xaxx 令令tanxat 22(5)(,)d ,f xxax 令令secxat (1)tandxx (2)cot dx x (3)sec dx x (4)csc dx x Cx coslnC

9、x sinlnCxx tanseclnCxxcotcscln2. 常用基本积分公式的补充常用基本积分公式的补充 (7) 分母中因子次数较高时分母中因子次数较高时, 可试用可试用倒代换倒代换(6)()d ,xf ax 令令xat 221(5)d xax 221(7)d xax 221(8)dxxa 221(6)d xxa 1arctanxCaa 1ln2xaCaxa arcsinxCa 22ln()xxaC221(9)d xxa 22ln xxaC.32d2 xxx解解: 原式原式xxd2) 1(122)2() 1( dx21arctan21xC例例11. 求求例例12. 求求.94d2xxI解

10、解:223)2()2(d21xxI21ln(249)2xxC221(5)dxax 1arctanxCaa 221(8)dxxa 22ln()xxaC例例13. 求求.1d2xxx解解: 原式原式 =22)()()(d21x2521xCx512arcsin例例14. 求求.1d2xex解解: 原式原式xxee21dCexarcsin221(7)d xax arcsinxCa 例例15. 求求.d222 axxx解解: 令令,1tx 得得原式原式ttatd1221) 1(d2122222tataaCtaa11222Cxaax222作业作业P236 3. (2), (3), (5), (6) ttt

11、td)1(12132例例16. 求.2) 1(d23xxxx解解: 原式1) 1() 1(d23xxx令tx11tttd122tttd11)1 (22tt d12ttd112tttarcsin121221Ct arcsinCxxxx1121) 1(221arcsin22思考题思考题:求积分求积分.)1(ln)ln(dxxxxp dxxxxd)ln1()ln( dxxxxp)1(ln)ln( )ln()ln(xxdxxp 1,)lnln(1,1)ln(1pCxxpCpxxp解解思考与练习思考与练习1. 下列积分应如何换元才使积分简便下列积分应如何换元才使积分简便 ?xxxd1) 1 (25xex1d)2( )2(d)3(7xxx令令21xt令令1xte令令xt1xxxd11) 132xxxxd2132)223. 求不定积分求不定积分.dsin2sin1cossin222xxxxx2.求求4.求不定积分求不定积分.d1)1 (122xxx5. 已知已知,1d)(25Cxxxfx求求.d)(xxf解解: 两边求导两边求导, 得得)(5xfx,12xx则则1dd)(24xxxxxf