高考数学 5.3 基本不等式及其应用复习课件 理

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1、130012 A 72 6 B 2 3C 72 3 D 141.ababab已知 ， ，则的最小值为132322()772 6()baabababab当且仅当时解析取等号：故选A.222200 A.2 B2112C. D.22.abbaabababbaabababab 设 ， ，下列不等式中不成立的是ABC11D112,2211232.D.ababababab根据基本不等式或作差法易证 、 、均成立对于 ，取，解则，所以故选析：200() A 0 B 1C 2 3.(2 49)D00 xyxababyxcdycd河南新郑已知 ， ， ， ， ，成等差数列， ， ， ， 成等比数列，则的最小值是

2、模拟224004()abxycdxyabxyxyxycdxyxyxy 由题意知，因为 ， ，所以当且仅当时取等解：号析选D.3203271 . 4.xyxy若，则的最小值为3332712 32712 31(33371)xyxyxyxyxy 解析：当且仅当，即时取等号2230 5.(200).8xyzxyzyxzR设 ， ，则的最小值是的最小值是江苏卷222222222333242932 9(94234)xzyyxzyxzxzxzxzx zxzxzxz 解析：将代入得，当且仅当时取等号 22112(“ ”)12“ ”.22(2“ ”)12abRababababababababababababRR

3、定理 ：如果 ，那么当且仅当时取说明： 指出定理适用范围： ，； 强调取的条件定理 ：如果 ， 是正数，那么当且仅当时取说明： 这个定理适用的范围： ，； 我们称为 ， 的算术平均数，称为 ， 的几何平均数3xyxySxyPPxySSxyPR即：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数最值定理：若 ，则：如果 是定值，那么当时， 有最小值；如果 是定值，那么当时， 有最大值 000.()()()8.1xyzyzxzxyxxyyzz已知 ， ， 求证：例题 ：0002200.208()()()=8.()xyzyzyzxzxzxxxyyyxyxyzzzyzxzxyyzxzxyxxyyzzxyzx

4、yz因为 ， ， ，所以 ，证明：，当且仅当时等号成立本题运用基本不等式来证明，实际上一共用了三次基本不等式，应注意三次运用中等号有没有同点评：时取到1111.9.abcabcabc已知 ， ， 均为正数，且求：练证拓展训1113()()()32229.13abcabcabcabcabcbacacbabacbcabc证明：当且仅当时取等号 191001512424453(0)280 xyxyxyxyxxxyxyxyxy已知 ， ，且，求的最小值；已知 ，求函数的最大值；若 ，例题2：，且，求的最小值 min19001199()106 1016.91914121 . 61xyxyyxxyxyxy

5、xyyxxyxyxyxy因为 ， ，所以当且仅当时，上式等号成立，又，所以，时，解析： max554041142(54)325454311541541.21xxyxxxxxxxxy 因为 ，所以 ，所以，当且仅当，即时，上式等号成立，故当时， 2828028182824()10102(4)102 23118422801261268.xyxyxyxyyxyxyxyxyxyxyxxy xyxyyxxyxyxyxyxyxyxy 由，得，所以，所以，当且仅当，即时取等号，又，所以，所以当，时，取最小值“”:”“本题是一个条件最值问题，运用基本不等式时要注意以下几点：前提： 一正、二定、三相等 ，如果没

6、有满足前提，则应根据条件作适当变形后再运用基本不等式求解；还要注意选择恰当的公式； 和定积最大，积定和最小 ，可用来求最值；均值不等式具有放缩功能，如果有多处用到，请注意每处取等的条件点评是否一致2224122xxxx拓展训练若 ，求：的最大值222max221 (1)11112221211112(1)141100.(1)1111211(1)2(1)11222()()12()201.xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 因为 ，所以 ，从而，当且仅当，即舍解析或即：时取等号 2162()400/248/803/1216某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为平方米的三级污水处理池，池的

7、深度一定 平面图如图所示 ，如果池四周围墙建造单价为元 米，中间两道隔墙建造单价为元 米，池底建造单价为元 米 ，水池所有墙的厚度忽略不计试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低例题 ：总造价 1622 162400(2)248280 1621296 1001001296129601296()12960100129621296038880()100(0)13016881100.28xxf xxxxxxxxxxxxxx设污水处理池的宽为 米，则长为米则总造价元 ，当且仅当 ，即时取等号所以当

8、长为米，宽为米时总造价最低，最解低总造价为析：元 01611016.16280161001(10126)8110168116210(16)8xxxg xxxxg xxxg xf x由限制条件知，所以设在， 上是增函数，所以当时 此时，有最小值，即有最小值18001296(10)1296038882(38882)881116108元 总造价最低，为所以当长为米，宽为米时，元本题的关键在于正确地将实际问题转化为数学问题，然后利用基本不等式点评：求最值 /()(/)1()(/)2scvbayv甲、乙两地相距 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过 千米 小时，已知汽车每小时的运输成本 以元为单位

9、由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 千米 小时 的平方成正比，比例系数为 ；固定部分为 元把全程运输成本元 表示为速度 千米 小时 的函数，并指出这个函数的定义域；为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速拓展训练：度行驶？ 2()(0(12)2svsayabvsb vvcvbvsbavaysb vs abbvaaacvvybbvb依题意知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为 ，故全程运输成本为， 依题意，有 ， ， ， 都是正数因此；若，则当且仅当时， 取到解析：最小值(0.acycbvcyacbavbacbvc若，则 在 ， 上单调递减，所以当时， 取到最小值综上所述，为了使全程运输成本

10、最小，当时，行驶速度应该为；当时，行驶速度应该为 223322001.1114421()()312ababababa ba ba b 设 ， ，证明：；探索猜想，并将结果填在以下括号内： ； ；由归纳出更一般的结论，并加备选题：以证明 2222114417404140.41()()41241441404114.411aba bababababababababababababab因为，所以，而又知 ，因此成立证明：解法故解，：析：2222222111544111515()4.24441211124421114422abababababababababababababababababab，因为，所

11、以，所以当且仅当时取等号又，当且仅当，即，解法 ：时取等号 223322331215144441()111664.16621211()()24ababababa ba ba ba b故故在括当且仅当时，等号成立 当时，不等式 与 取等号猜，号内分别填与想： 2222222114.411()4.2411414414124443nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnna ba babababa ba ba ba ba ba ba b由此得到更一般性的结论：证明如下：因为，所以所以2241144441142nnnnnabab，当且仅当，即时取等号 11()2不等式证明常用的方法有：比较

12、法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法比较法证不等式有作差 商 、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述：如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则可考虑用判别式法证；综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野 222223210022(22)()3()4(3)502()aaaababababababababababcabcabcabcbaabababRRR几个重要不等式若，则，；若 、，则或当且仅当时取等号 ；如果 ， 都是正数，那么当且仅当时取等号 ；若

13、、 、，则当且仅当时取等号 ；若 ，则当且仅当时取等号 312“”“”xyRxySxyPPxySSxyP最值定理：若 ，则：如果 是定值，那么当时， 的值最小；如果 是定值，那么当时， 的值最大注意：前提： 一正、二定、三相等 ，如果没有满足前提，则应根据条件作适当变形后再运用该定理；还要注意选择恰当的公式； 和定积最大，积定和最小 ，可用来求最值；均值不等式具有放缩功能，如果有多处用到，请注意每处取等的条件是否一致2254xyx例题求：的最小值22222251444124242.xyxxxxxy由，所以 的最错小值为解：“”等号取不到，利用基本不等式求最错解值时正、定、等 这三个条件分析：缺一不可2142(2)1120.52txtyttttyttxty 令，则，于是，由于时，是递增的，故当即时，取最小值正解：