第二轮专题温习导数的综合应用教师版

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1、第二轮专题温习：导数的综合应用(教师版)高考在考什么【考题回放】2. (06江西卷)关于R上可导的任意函数f(x),假设知足(*-1)f(x)0,那么必有(C)A.f(0)+f(2)2X1)B.A0)4-/(2)2fC.f(0)+f(2)2fD.f(0)+X2)2X1)解：依题意，当x1时“(x)0,函数f(x)在(1,+)上是增函数：当X1时，f(x)0,f(x)在(一,1)上是减函数，故(x)当x=l时取得最小值，即有f(0)Al),f(2)/(I),应选c3. (06全国H)过点(一1,0)作抛物线片4+射1的切线，那么其中一条切线为(A)2.”片2=0(B)3才于3=0(C)(D)解：

2、y=2肝1,设切点坐标为(厮%),那么切线的斜率为2%+1,且为二4+为+1于是切线方程为厂(用4死+1)=(2抽+1)(厂为)，因为点(一1,0)在切线上，可解得品=0或一4,代入可验正D正确。选D4. (06四川卷)曲线产在点(-1,-3)处的切线方程是(A)ylxM(B)ydx构(C)y=x-(D)y=x九解：曲线尸导数)，=4-3记，在点(1-3)处的切线的斜率为k=l,因此切线方程是产x-2,选D.5. (06天津卷)函数./U)的概念域为开区间3,)，导函数/刈在3力)内的图象如下图，那么函数JS)在开区间3。)内有极小值点()A.1个B.2个C.3个D.4个解析：函数八D的概念域

3、为开区间3万)，导函数/(X)在(T)内的图象如下图，函数./U)在开区间3,)内有极小值的点即函数由减函数变成增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个，选A.6. (浙江卷)/(亦中一3/+2在区间-1,1上的最大值是(A)-2(B)O(C)2(D)4解：广(x)=3-6r=3Nr2),令/(x)=O可得x=O或2(2舍去)，当一1女0,当时，/%r)0,因此当x=O时，/U)取得最大值为2c选C9.(湖南卷)曲线)，=1和)，=/在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面枳x是.解析：曲线v=1和、二%2在它们的交点坐标是(1,1)，两条切线方程别离是y=一肝2和)=%一1,x它们与X

4、轴所用成的三角形的面积是-.4(安徽卷)设函数.小：)=如+以2+门(1，已知以外=共幻./%)是奇函数。(I)求从c的值。(II)求g(x)的单调区间与极值。【专家解答】：(【)二”)=/+队2+3,，/。)=3/+2/八+。.从而g(x)=).广(幻=x3+bx2+cx-(3x2+2bx+c)=x3+(b-3)x1+(c-2b)x-c是一个奇函数，因此g(0)=0得c=0,由奇函数概念得b=3：(II)由(I)知力(刀)=2-64,从而g(x)=3/-6,由此可知,(-8,-，心和(、/1口)是函数g(X)是单调递增区间：(-V2,五)是函数g(x)是单调递减区间：g(x)在x=-点时，取

5、得极大值，极大值为4虚，g(x)在x=时，取得极小值，极小值为高考要考什么【考点透视】从近几年的高考命题分析，高考对到导数的考查可分为三个层次：第一层次是要紧考查导数的概念和某些实际背景，求导公式和求导法那么。第二层次是导数的简单应用，包括求函数的极值，求函数的单调区间，证明函数的增减性等：第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性、方程根的散布、解析几何中的切线问题等有机的结合在一路，设计综合试题。【热点透析】导数综合试题，要紧有以下几方面的内容：1 .函数，导数，不等式综合在一路,解决单调性，参数的范围等问题，这种问题涉及到含参数的不等式，不等式的

6、恒成立,能成立，恰成立的求解；2 .函数，导数，方程，不等式综合在一路，解决极值，最值等问题，这种问题涉及到求极值和极值点,求最值，有时需要借助于方程的理论解决问题；3 .利用导数的几何意义，求切线方程，解决与切线方程有关的问题；4 .通过构造函数，以导数为工具,证明不等式.5 .导数与其他方面的知识的综合高考将考什么【范例1】设函数/(x)=ax3-2bx2+cx+4d(a、b、c、dR)的图象关于原点对称，且x=l时，仆)取2极小值3(1)求a、b、c、d的值；(2)当x-Ll时，图象上是不是存在两点，使得过此两点的切线相互垂直？试证明你的结论:4(3)假设xgsUJ时,求证:!AxiMx

7、2)|-o3解答(1)函数f(x)图象关于原点对称，对任意实数X,都有A-x)=Mx).，-ax3-2bx2-cx+4d=-ax3+2bx2-cx-4d,即bx2-2d=0恒成立.b=O.d=O,即/(x)=ax3+cx./(x)=3ax2+c.?2Vx=l时/X)取极小值-三.且川)=332 1即3a+c=0且a+c=-.解得a=-,c=-1.3 3(2)证明：当x-1,1时，图象上不存在如此的两点使结论成立，假设图象上存在两点A(xi,y。、B(X2+y2),使得过这两点的切线相互垂直，那么由F(x)=x2_l,知两点处的切线斜率别离为k产X_lk=X22-l,且(X-l)(X22-l)=

8、-L(*)VxHX2e-1JL，X2-iwO,x22-10,这与(*)相矛盾，故假设不成立.(3)证明：./(x)=x2-l,由x)=0,得x=l.当x(3,-1)或(1,+00)时，/(x)0;当xG(-l,1)时,/(x)0.22在-1,1上是减函数，K.Aim(X)=/(-l)=-,/iun(X)=/(l)=-.JJ/2，在-L1上，lx)|-.J224于是xi,X2-1,1时，l/(xi)7(X2)|l/(xi)I+!Ax2)I-+-=JJJ4故X,X2S-1,1时，贝X)贡X2)jS,.J【点晴】假设Xo点是y4x)的极值点，那么.r(Xo)=0.反之不必然成立：在讨论存在性问题时经

9、常使用反证法：利用导数取得yxx)在-1,1上递减是解第(3)问的关键.【文】设函数=+2ax2-3a2x+b,0a1.(l)求函数/1)的单调区间、极值.(2)假设当xe3+1,。+2时，恒有l/(x)Ka,试确信”的取值范围.解答：(1)fx)=-x2+4or-3cJ=-(x-3a)(x-a)令令(x)=0得=a，w=3a列表如下：X(q,a)a(a,3a)3a(3a,+00)广(X)-0+0-fM极小/极大在(a,3a)上单调递增，在(-8,a)和(3a,+)上单调递减/极小-1=3。时，/微小(工)=(2)f(x)=-x2+4ax-3a2VOal,，对称轴x=2aa+,，r(x)在a+

10、l,a+2上单调递减:.f；1ax=-(a+1)2+4e/(a+1)-3a2=%-1,An=(+2y+4a(a+2)=414依题l/(x)KaO最隆。，京1即12。一1Ka44。-4Ka4解得-6/L又0al4，a的取值范围是三)2【范例2】已知/(幻=一/一2以2-3工(aeR).3(1)当lai二时，求证人X)在(-1,1)内是减函数；(2)假设尸Ax)在(-1,1)内有且只有一个极值点，求”的取值范围.2解答：(1)Vf(x)=-x3-2ax2-3x.Afr(x)=2x2-4ax-3.3f7-l)=4(a-)04f(l)=-4(a+i)0又.二次函数/(x)的图象开口向上，在(一1,1)

11、内广(x)0,故.)在(一1,1)内是减函数.(2)设极值点为X。(-1XV1),则f04f(l)=-4(a+l)0.在（Xo,1）内广（x）0.即外）在（-1,X。）内是增函数，段）在（X。,1）内是减函数.当a时凡r）在（一1,1）内有且只有一个极值点，且是极大值点.4当时，同理可知/x）在（一1,1）内且只有一个极值点，且是极小值点.当一时，由（1）知/U）在（一1,1）内没有极值点.44故所求a的取值范围为（-8,-I）U（!，+8）44【点睛】三次函数求导后为二次函数，考查导函数的性质，结合一元二次方程根的散布，考查代数推理能力、语言转换能力和待定系数法是最近几年高考的热点题型。【文

12、】已知函数/。）=丁+OT+/?（。、R）o（I）假设/（X）的图像在-2WxW2部份在x轴的上方，且在点（2J（2）处的切线与直线9x-y+5=O平行，求的取值范围；（II）当玉、x2e0,且为工公时，不等式（七）一/（工2）1“=-3,因此f（%）=x3-3x+ho因为的图像在-2v部份在x轴上方，因此/（x）在区间-2,2上的最小值大于零。令/（幻=3/-3=0=1=1,于是由/（-2）=-2+，/（-l）=2+b,f（）=-2+h,/（2）=2+知:/U）在区间12,2J上的最小值为一2+，故有-2+0=2；（11）1/（占）一/（%2）11%演101fx）1（0xE）,即当0WX&E

13、A-占33时，I3x2+I小其中。是方程./U）=v的实数根：“川“”）（eN*）：颔o的导函数f（x）（0,1）：证明：%a；Q?eN*)：判定”“与”向的大小，并证明你的结论。解答：(1)证明：用数学归纳法n=l时，成立假设n=k时，成立，那么n=k+l时，由于/(戏0,.Mx)在概念域内递增/(6)/()，即%+14/.n=k+1时，命题成立由知，对任意ncN，均ana(2)解：令尸(x)=f(x)-%,那么/(令V1,工尸)vO尸(x)递减,%a时,F(ai)4+1，下证之n=l时，eq生成立假设n=k时，ak%成立那么n=k+1时，由于/(x)递增，f(ak)/(4+)，即/+i%2

14、n=k+1时，命题成立由知，对任意ncN，均an4+i【点晴】由导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式、数列有关的综合问题必将会成为尔后高考的重点内容，在温习中要足够地重视。【文】已知平而向量7=(百,-1)/=(,，立).22(1)证明Z_lN；(2)假设存在不同时为零的实数k和t,使x=4+(R3)b,y=-ka+tb,xy,试求函数关系式k=f;(3)据(2)的结论，讨论关于/的方程共。/=0的解的情形.1 /T解答：(l)；ZB=Qx+(-l)xj=0AaLb.2 2整理后得-k，+t-k(t2-3)万+侬2-3)Tf=0.atb=0ci=4b=1,：.上式化为-4k+t(仔-3

15、)=0,即k=-t(t2-3)4(3)讨论方程;F-3)-k=0的解的情形，能够看做曲线心)=(产-3)与直线产k的交点个数.4413当t=l时，刖有极小值，本)核小3-J.于是/(t)=-(l2-l)=-(t+l)(M).44令/(t)=0.解得h=lt2=l.当t转变时，/、f(t)的转变情形如下表：t(-8,-1)-1(-1.1)1(1,+8)/(t)+0一0+F/极大值、极小值/当t=-l时，爪)有极大值，.我)幡火值=;.函数加)=次2-3)的图象如图13-2-1所示，4可观看出：当k或k-；时，方程./(t)-k=0有且只有一解：(2)当k=；或k=:时，方程次)*=0有两解；(3

16、)当-；vkv)时，方程Ht)-k=0有三解.【点晴】导数的应用为作函数的草图提供了新途径，方程根的个数与极值的正负有关。1)1【范例4】已知双曲线C:y=一(?v0)与点M(1,1)x(1)求证：过点M可作两条直线，别离与双曲线C两支相切；(2)设(1)中的两切点别离为A、B,其MAB是正三角形，求m的值及切点坐标。解答：(1)证明：设。(/,/)eC,要证命题成立只需要证明关于t的方程VIe=4“2有两个符号相反的实根。=r2mt+in=0,且tM，忤1。厂/1设方程产一2/nf+m=0的两根别离为H与处,那么由ht2=mv0,知h,W是符号相反的实数,且5t2均不等于。与1,命题获证。（

17、2）设A。”一）,8（弓，），由知，ti+t2=2m,t】t2=m，从而1in7、？(/+/)2nfnn.Bdn士小,-=7,_(一+)=!=m,即线段AB的中点在直线y=1,上。22tAt22/也2minm/.AB与直线y = x垂直。_?_/n(r,-r2)_t12Tl5(2一4)故A1jB关于y=x对称，设4f,3(f0,因此一！4设此两交点为(。，a)(B,B,(】VB,由y=x?知y=2x,那么切线八，A的方程为y=2aX2,y=2px-P2.1.A.2.两切线交点为(x, y) 那么a+ B x =-2=邓因为a, B是的解，由违达定理可知a +B=1, o 3=-a由此及可得x=

18、g, y=-aV： 24从而，所求的轨迹为直线X=1上的的部份2. 4【自我提升】设曲线产弓和曲线y=:在它们交点处的两切线的夹角为仇那么58=(C ) 人人D1函数尸的图象关于直线户1对称，那么导函数y=fG)的图象(C)A.关于直线m1对称C.关于点(1, 0)对称B.关于直线户-1对称D.关于点(一 1, 0)对称3.3函数尸;U)在概念域(-二.3)内可导，其图象如下图.记y=7U)的导函数为v=f(x),那么不等式2广a)wo的解集为A. -1,1U2,3)14 8B. pi-U-5 4 J J3 1c. -,-UL2)D.(-p-nup|iu(|3)4.若是函数应 =63/ 十X一

19、5在(-8, + 8)上单调递增，那么实数。的取值范围是(D)A.(0, +8)B. 0,4-oo) C. (1 , + X) D. ,-Foo)5.设f(x)=/+b+c;v+”,又太是一个常数.已知当4时，/(x)-k=0只有一个实根:当0kv4时，/。尸A=0有三个相异实根，现给出以下命题：(l)/(x)-4=0和尸(x)=0有一个相同的实根;/(%)=0和r(%)=0有一个相同的实根;(3)/(x)+3=0的实根大于/(幻-1=0的任一实根；(4)/。)+4=0的实根小于/(X)-2=0的任一实根.：其中，错误命题的个数是(D)A.4B.3C.2D.16.设/(x),g(X)别离是概念

20、在R上的奇函数和偶函数，当x0且g(-i)=02那么不等式/a)g(x)o的解集是=(-co-)u(0,1)227 .(文)若是yu)=./+l,g(x)口口X),设F(x)=g(x)-4Ax),问是不是存在适当的入，使E(x)在(一8,一)万上是减函数，在(-二二,0)上是增函数？假设存在，求出入的值，假设不存在，说明理由。2X=38 .(理)己知函数x)=，XG0,1(I)求/(X)的单调区间和值域：(II)设。之1,函数&(/)=%2一3一2?,xg0,1,假设关于任意w0,l,总存在使得g(%)=/(%)成立,求。的取值范围解：对函数yu)求导，得尸/、4/+16X7(2-x)(2a-

21、1)(2a-7)一(2r17令广(x)=0解得占=或=当X转变时，/。)、./U)的转变情形如下表：X00,-2)2、京)1一0+_72-4/-3因此，当时，.)是减函数；当时，危)是增函数;当x0,1)时，兀0的值域为卜4,一可(H)对函数g(x)求导，得g(x)=3(x2-a2)因此cdl,当x0,l)时，gx) -3(2)解(1)式得或3、3解(2)式得a；2又 21,3故：的取值范围为479.已知函数 F(x)=2tTV+x+i，为常数，R)(1)写出此函数E(x)在R上的单调区间：(2)假设方程F(x)一修0恰有两解，求实数k的值。解:x + 3x + 1 -八(1) F(x)=l2

22、x-rl-x3 +x+l = -x3 -x+ + tx- 2x-3/+3.，F(x)=-x3厂1,由一3F+3=O得加=-1,x2=l,而一3一10恒成立.i）当;一1时，F（x）在区间（-8,1）上是减函数在区间（一1，1）上是增函数，在区间（1，+8）上是减函数ii）当1时，Rx）在区间（-8,L）上是减函数22在区间（L,1）上是增函数，在区间（1,+8）上是减函数2iii）当，21时，F（x）在（-8,+8）上是减函数（2）由1）可知i）当人一1时，F（x）在x=-l处取得极小值一1一人2在x=处取得极大值3-f,假设方程F（x）一切=0恰有两解，现在m=-1t或m=3-tii）当一F

23、（x）在户L处取值为一L+L+i,2282在x=l处取得极大值3-r,假设方程F（x）-gO恰有两解,3t现在?二一一+1或m=3t82iii）当时，不存在如此的实数”使得（幻一?=0恰有两解210 .（理）已知OWxWl,为大于1的正整数，求证：工父+（1力1解答：设段）=半+（1x）L那么尸严,令八幻=0,得V=（l一划）由于OWxWl,那么有41一X,解得mL2、1因此y W27又/（。=白J9）=L/=1.经比较知於）在0，1上的最小值、最大值别离为与22父+(DW111 .（理）A、8两队进行某项运动的竞赛，以胜三次的一方为冠军，设在每次竞赛中A胜的概率为P，8胜的概率为式+4=1,

24、0/。），又A得冠军的概率为P,冠军的概率为0,决定冠军队的竞赛次数为N.（1）求使Pp为最大的p值;（2）求使N的期望值为最大的值及期望值。（1）要决定冠军队，至少需要竞赛三次，最多需要竞赛5次。解答：若是竞赛3次A获冠军，A需连胜三次，其获冠军的概率为3；若是竞赛4次A获冠军，前三次有一次B胜，其余三次A胜，A获冠军的概率为Cqp3=3p3g若是竞赛5次A获冠军，前四次有两次B胜，其余三次A胜，A获冠军的概率为C：q2P3=6p3q2p=p3+3p2q+6p3q?.于是P-=p，+3p%+6/?V-/?=/(/?).将夕=1一代入整理得f(p)=6P$一IS4+10p，-p(0p1).令/()=302(1)21=30(1一)+需四-小焉=。.即尸-+9ro，解得3-朕）如产者）.当0生时，/（p）v0；当月vo；当心vl时J（P）又lim/(p)=0,lim/(p)=0,故当p=匕1+)时,/(p)=P-最大.iI2YV30（2）随机变量N的概率散布为N345QP、/3+3g3P672+6g32则E(N)=3(p3+/)+4(33g+3g3p)+(S3P2)=62q2+3pq+3乙L21=6(p%)-+可而p”(牛)2=；所以Eww&g+mv，242oo(2)Vxy9：.x-y=0RP+(t2-3)Z?-(-k+t/?)=0.