2020年测试用卷

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1、2020年测试用卷、选择题1.已知若 |?= 3, |?= 1, ?= -8，则 |?=()A.2 V2B.v6C.V14vl4【答案】A【考点】余弦定理平面向量数量积【解析】此题暂无解析【解答】 解：/?= ? ?/ | |?2 = -8 ,?= ?(? ? = ? y /即 |?|?cos/ ?|? = 3 x 1 x cos/ ?32 = -8 ,1 解得 cos/ ?-.3 根据余弦定理得 |?2 = |?2+ |?-2|?|?dos/ ?2 2 1=32 + 12- 2 x 3 x 1 x - = 8.3|? = 2 v2.故选?2.函数?(?= sin(2?+ ?)+ cos(?-

2、2?)( ? ?为常数)，则？?(?的最小正周期为A.与？ ？有关 B.2?C.?D.3?【答案】A【考点】三角函数的周期性及其求法【解析】?(?+ ?)= ?(?)进一步利用函数周期性的定义由三角函数的诱导公式进行变换得到 求出结果.【解答】3?解：当?= 2?,?=亍+ 2?时, ?(?= sin(2?)- sin(2?)= 0.故选 ?.3. 下列正确的是（ ）A.如果?与?平行，那么?与 ?相等B.0?0 = 0C若?/? ?/?则？/?D.若？为单位向量，?= 1【答案】B【考点】 平面向量数量积的运算 向量的共线定理相等向量与相反向量单位向量零向量【解析】 利用向量的有关概念，对四

3、个选项分别分析，找出正确答案【解答】解：对于 ?，向量平行说明方向相同或者相反，而向量相等表示方向相同和长度相等，故?错误；对于 ?，表示数 0与零向量相乘，得到的是零向量，故?正确；对于 ?，当?为零向量时不成立，故 ?错误；对于 ?，单位向量是向量，而 1 是数，两者性质不同，故 ?错误 . 故选 ?4. 为了研究某班学生的数学成绩?（分）和物理成绩 ?（分）的关系，从该班随机抽取10 名学生，根据测量数据的散点图可以看出?与 ?之间有线性相关关系，设其回归直线方程为?= ?+ ?已知刀?0=1?= 750 ,刀?0=1?尸800 , ?= 1.2.，该班某学生的物理 成绩为 86，据此估

4、计其数学成绩约为 （）A.81B.80C.93D.94【答案】B【考点】求解线性回归方程【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得，2? 75 , ?= 80, ?= ? ?= 80 - 1.2 X 75 = -10 ,?= ?+ ?= 1.2?- 10. 86 = 1.2?- 10, ?= 80.故选?5.若角？?勺终边在第四象限，则cos?2 + V1- sin2?V 1-cos2?_ sin?A.2B.-2C.-2 或 2D.0【答案】D【考点】同角三角函数间的基本关系象限角、轴线角【解析】此题暂无解析【解答】解：T角？为第四象限角,sin? 0,原式=cos?+|cos?|sin?|si

5、n?cos? sin? cos? sin?=0.故选?6. 给出下列命题： 命题 若方程？?+ ?卞1 = 0有两个实数根，则？?w 4”的逆否命题是真命题; 在 ?中?， ? ?是“ s? sin?7的充要条件； 函数?（?= 2?- ?的零点个数为2; 幕函数？?= ? R）的图象恒过定点（0, ?0）其中正确命题的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】A【考点】命题的真假判断与应用【解析】直接由原命题的真假判断逆否命题的真假说明正确；利用充分必要条件的证明说明正确；由两函数2? 2?与 ?= ?的交点个数说明 错误；举特例说明错误.【解答】解：对于，若方程?+ ? 1 = 0有两个实

6、数根，1则？?工0,且1 - 4? 0,因此？的取值范围为？?W -且？?工0 ,4命题 若方程?+ ?+ 1 = 0有两个实数根，则？?w4”是假命题，则其逆否命题是假命题，命题错误；对于，？? ?则边？?边？? ?根据正弦定理知：-?o= -?,si n? si n?则sin? sin?由sin? sin?根据正弦定理知：? ?一 =-d则边？?边?则有？? ?sin? si n? ?, ? ?是 sin? sin?成立的充要条件.命题正确；对于，函数?(?= 2?- ?的零点个数即为函数 ？?= 2?与 ?= ?的交点个数, 两函数有三个交点，命题错误；对于，当？?= 0时，幕函数？?=

7、 ?不过(0, ?0),命题错误.真命题的个数是1 .故选?7. 如图，?对角线?与?相交于点？过点？?乍?L ?于点？若？?=4, / ?60 ,则?的长是()A. v3B.2 V3C.25【答案】A【考点】平行四边形的性质 三角形中位线定理【解析】此题暂无解析【解答】解：过点？做？?L ?于点？如图.BC/四边形？?是平行四边形,/ ?/ ?60 , ?= ?= 4, ? ? :./ ?=?30, ?= 2 v3.?2_ ? ?/?= ?: ?是 ?的?中位线.?= 1?=需2故选?1348. 二次函数？?= 2? - 2?- 2的图象如图所示，若线段 ?在?轴上，且？?字3 v3，以?为

8、边作等边 ?使点？落在该函数第四象限的图象上，则点？勺坐标是 【答案】(3,?-2)【考点】二次函数的性质二次函数的图象等边三角形的判定方法【解析】以？?为边的等边三角形，可求出该边上的高的长度，由于点？要落在二次函数的图象上，点？的纵坐标的绝对值即为 ？?边上的高的长度，从而可求出该点？喲坐标【解答】解：设?&上的高为？，4等边 ?边长为3 v3,?边上的高？ = 2,设点？的纵坐标为？点？在二次函数的图象上， |?|= 2 , ?= 2,/点？落在该函数第四象限的图象上, ?= -2，令?= -2 代入?= f?-冷 2, 解得：？?= 0 （舍去）或？?= 3, ?勺坐标为（3?2）.故

9、答案为：（3,?-2）.二、填空题已知?= 3(cos? 1), ?=?- ?；? 22?(? 0), ?在？?= 6?处取2?到最小值，并且（亍,3 - 3?）是其图象的一个对称中心，则？卞？?的最小值为【答案】V3+ 7【考点】正弦函数的周期性三角函数的恒等变换及化简求值 正弦函数的对称性【解析】首先得到函数？?（?）接着利用对称计算出？?，再借助对称中心，得到 ？?= V3,从而得 到结果【解答】?解：可得函数?(?= ?(?J?2?+ ?)?=3?Cos? 1) - 3cos(?A ) - 1=3?cos? 1) + 3 si n?+ 3=3sin? 3?Cos? 3 - 3?由？?(

10、?在？?= ?处取最值并且点(三,3 - 3?)是其图象的一个对称中心,? 1 2? 6= 4?，求得?= 1，QQ代入此时6是最大值，非最小值，不合题意;当 2?3 - 6 =?2?,求得?= 3, 4?故?（?=舍去）;3sin 3?+ 3?Cos3?+ 3 - 3? 3 sin2?+ 3?cos2?= 0,求得？?= 0 (不合题意,当 2?- ?=36=4?2?,求得?= 5,?代入此时6是最大值，非最小值，不合题意;2?T6?=4?薯,求得?=7,故?(?= 3sin 7?+ 3?0os7?+ 3-3?3哙+ 3?cos14? ? v3,故？?+ ?勺最小值为v3+ 7. 故答案为：

11、v3+7.数列?3寸各项均为正数，且满足? = 1, V? + 3 = V? 记?= ?2?2?+1，数列?前？项的和为？?？若? ?对任意的？? N?恒成立，则实数？的取值范围是 .【答案】1 、3，)【考点】数列的求和等差数列的通项公式【解析】满足?=1,1 1113 = V?.- ?2 = 3，利用等差数列的通项公式可得?, ?=?+1?+1?1?2?+1(3?-2)(3?+1)1爲)，利用 裂项求和”方法与数列的单调性即可得出.【解答】解：1满足? = 1 ,3V?2?+11?2?+1数列汾是等差数列，公差为3，首项为1.1 頁=1 + 3(?- 1) = 3?- 2,2 2 1 1

12、1 1?= ?+1 = =( - )1=3(113?+1?1 11 1 1数列?衬前？项的和为?= 3【(1 - ;) + (4- 7)+. +(祢-丽+1)(3?-2)(3?+1)33?-23?+1八若? ?对任意的？ N?恒成立,则实数？的取值范围是1 , + I.31故答案为：3, + ).三、解答题记？?为数列?釘的前？项和，已知数列?初满足?=1-?(1)求?令的通项公式;13设？?=巧一L，数列?的前？项和为？私求证：对任意的？?,?4.lOg3?p?Og3?+2(1)解:由?=1？于，得?1-?+12，【答案】两式相减，得？?+1 =答兰，即警=；2 ?3又因为?=竺，所以?=：

13、121311所以数列?令是首项为-，公比为-的等比数列,3 3所以？?= 3?31证明：因为?= bg33?-?og33?+21 1 1 1= =(- )?(?+ 2) 2 ?+ 21 1 11 11 所以?= 2(1 - 3) + (2- 4) + (3- 5) +1111+ (?T7- ?n)+(?- ?)1 3112 (2 - ?+ 1 - ?+ 2)314-2(?+1 +1?+2) 【考点】数列与不等式的综合数列的求和等比数列的通项公式【解析】此题暂无解析【解答】1-?1-?丄 1(1)解：由？?= ?一，得?+1 = , 两式相减，得？?+1=竺严，即箸=1 又因为?=，所以?=3.

14、所以数列?是首项为，公比为3的等比数列,所以?=1证明：因为?= bg33?og33?+21 1 1 1= = ( )?(?+ 2) 2 ? ?+ 21 1 11 11 所以?= 2(1 - 3) + (2 - 4) + (3- 5) +1111?+(-)+( )? 1 ?+ 1 ? ?+ 21 3112 2?+1?+23 11134 2 ?+1?+24 -如图四棱锥?- ?中?底面？?是正方形，？?L?,? ?L?,?且?= ? ? 为?中占/ V 1 八、(1)求证：？?_平面?【答案】(1)证明：底面？?为正方形, ?L?又?| ? ? ?2 ? _1 ?平面?L?.?同理?L ? ?

15、? ?平面?为？轴，建立如图的空间直角坐标系,设?= ? 2,则?(0,?0?0), ?(2,?2?0), ?(0,?1?1), ?(2,?0?0),设？?= (?省?为平面？?一个法向量, 又?= (0, ?1,?1), ?= (2, ?0,?0),令？?= -1，得？?= (0,?-1, ?1).?= ?+ ?2 0则匸0，=2?= 0设平面？?的?法向量?= (?,?)?= (0, ?2?0), ?= (-2, ?1,?1),?= 2?= 0,取?= 1 ,得?= (1, ?0?2),?= -2? + ?+ ?=cos =?2yi0|?|?Bx55面角？?-? ?的正弦值为-.【考点】用

16、空间向量求平面间的夹角 直线与平面垂直的判定 【解析】(1) 推导出？?爼? ? ?,?从而？?1平面？?进而？?久?求出？?！？? 由此能证明？?1平面?(2) 以？为原点，？?为？轴，？?为？轴，？?为？轴，建立空间直角坐标系，利用向量 法能求出二面角？? ? ?的正弦值.【解答】(1)证明：底面？?为正方形，?L?又?| ? ?护？2 ? _1 ?平 面?L?.?同理？L ? ?护？?辛?平面?为？轴，建立如图的空间直角坐标系,设?= ? 2,则？(0,?0?0), ?(2,?2?0), ?(0,?1?1), ?(2,?0?0),设？?= (?省?为平面?一个法向量, 又?= (0, ?

17、1,?1), ?= (2, ?0,?0),?=?+?=0T则 T T，令？?= -1，得？?= (0,?-1, ?1).?= 2?= 0设平面?法向量?= (?)?= (0, ?2?0), ?= (-2, ?1,?1),?= 2?= 0取?= 1 ,得?= (1, ?0?2),?= -2? + ?+ ?=cos =?2Vi0|?|?辺V5面角？?- ? ?的正弦值为 字.51 ?已知函数?(?= log 2-是奇函数.(1)求实数？?勺值；设函数?(?= ?(?) l0g2 (?)是否存在非零实数 ？?使得函数？?(?恰好有两个零点? 若存在，求出？勺取值范围；若不存在，说明理由.【答案】1

18、?解：(1) /函数？?(?= Iog2 令是奇函数，1-?1+? ?(?+ ?(-?) = |。92帀+ log 21-? 1+?=吨齐?？ x话)=0，1-? 1+? x = 1， 1 - ? = 1 - ?,解得？?= 1.(2)存在非零实数？?使得函数？?(?恰好有两个零点，理由如下：当?= -1 时，?(?= ?(?) log2 (?)= - log2 (?)由-log2 (?)= 0，解得? 1, ?= ?,不存在非零实数？?使得函数？?(?恰好有两个零点；当?= 1时，?(?= ?(?log2 (?)1 - ?=砸2仃币(?)lOg21-?(1+?)?由 log21-?而时?=0

19、,1-?(1+?)?= - ? = 1 - ?, 解得？?= 1.(2)存在非零实数？?使得函数？?(?恰好有两个零点，理由如下: 当?= -1 时，?(?= ?(?) log2 (?)= - log2 (?) 由-log2 (?)= 0，解得? 1, ?=爲, 不存在非零实数？?使得函数？?(?恰好有两个零点;当?= 1时，?(?= ?(?log2 (?)即?+ (?+ 1)?- 1 = 0，要有两个零点，则?= (? + 1)1 - ?=log21?- log2(?) + 4? 0 ,解得? 0.所以存在实数？?使得函数？?(?恰好有两个零点，？?的取值范围为(0,?+ a).【考点】对数

20、函数的图象与性质函数零点的判定定理函数奇偶性的性质【解析】(1)由奇函数性质得？?(?+ ?(-?)= iog2詈+ iog211?= o,由此能求出?(2)当？?= -1 时，？?(?= ?(?- log2(?)= - log2(?)= 0,得？?= ?,不存在非零 实数？?使得函数？?(?恰好有两个零点；当 ？?= 1时，?(?= ?(?- log2(?)=1-?iog2 (1+?)?= 0,得?= 1，不存在非零实数？?使得函数?(?恰好有两个零点.【解答】解：(1) 1 ?函数?(?= log2 ；?是奇函数,1?1+?(?+ ?(-?)= iog2T?+ iog2T?r1? 1+?=

21、%(话= 0,1-?1+?1+?1-? = 1,log21-?(1+?)?由log1-?= 02 (1+?)?1-?(1+?)?= 1即?+ (?+ 1)?- 1 = 0，要有两个零点,则？?= (? + 1)2 + 4? 0 ,解得? 0.所以存在实数？?使得函数？?(?恰好有两个零点，？?的取值范围为(0,?+ 3).如图1，抛物线？?= ?+ ?4?赛过?(-1, ?0) ?(0,?4)两点，与？轴交于另一点?(1)求抛物线的解析式；如图2，点？为第一象限抛物线上一点，满足到直线?距离最大，求点？坐标;如图3，若抛物线的对称轴？?(？为抛物线顶点)与直线 ?相交于点？ ？?为线段 ?上的

22、任意一点，过点 ？?作?/?交抛物线于点？?，以？ ？ ？?，？?为顶点的四边 形能否为平行四边形？若能，求点 ？勺坐标；若不能，请说明理由.【答案】解：由题意得尺-爲鸽0 抛物线的解析式：？?= -?2 + 3?+ 4.(2)由?(4,?0) ?(0,?4)可知，直线?= -? + 4 ; 如图1,过点？作？?/?轴？交直线？?于？设？(?？,？-?+ 3?+ 4)，则?(?,?-?+ 4);?= (-?2+ 3?+ 4) - (-? + 4) = -?2 + 4?1 1 2 2?=? 2?= 2 X(-? 2 + 4?)X 4 = -2(? - 2) 2 + 8;当？?(2,?6时， ?的

23、?面 积最大；存在.抛物线？?= -?2 + 3?+ 4的顶点坐标 ?(?,?5),直线?= -? + 4 ；当？?= 3时，?(?,?5),?=154如图2,过点？?作？?/?交直线？?于？?,设?(?,?-?+ 3? 4)，则?(?,?-?+ 4); ?= |(-?2 + 3?+ 4) - (-? + 4)| = | - ? + 4?； 当?与?平行且相等时，四边形 ？?是平行四边形，,“15卜？ + 4?|=百由-?2 + 4?=手时，解得？ = 5，?= 33 （不合题意，舍去）当?= 时，？?= -(? |)2 + 3 x 2 + 4 =手,521- ?(专,?7).当-?2 + 4

24、?= - 15 时，解得？?= 4r31,42当？?=于时，？?=宁,.?（呼亠西当?=宁时，?=耳,牛 V31-7+2 石、？( 2，- 4 ),综上所述，点？?坐标为（2,?1）或（?4+|31-7-2 每亠牛V31?4)或?7+)-4【考点】二次函数综合题待定系数法求二次函数解析式二次函数图象上点的坐标特征 平行四边形的性质【解析】(1) 根据抛物线2? ?+ ?4?经过?(-1, ?0) ?(0,?4)两点，列出？和？的二元一 次方程组，求出？和？?勺值，进而求出点？勺坐标，即可求出直线？?的解析式；(2) 过点？作?/?交直线?于 ?设？?(?？,?-?+ 3?+ 4)，则？?(?？

25、,?-?+ 4);求 出?的长，利用？?=? 3?列出？关于？?勺二次函数，利用函数的性质求出面积的最大值，进而求出点 ？的坐标；3)首先求出?的长，设?(?,?-?+ 3?+ 4)，则?(?,?-? 4)，利用平行四边形对 边平行且相等列出？的一元二次方程，解方程求出？?勺值即可.【解答】 解：由题意得T：?4?；0 解得?=； 抛物线的解析式：？?= -?2 + 3?+ 4.(2)由？?(4,?0) ?(0,?4)可知，直线?= -? + 4 ; 如图1,过点？?乍？?/?轴？交直线?于?设？(?？,？-?+ 3?+ 4)，则?(?,?-?+ 4);?= (-?2 + 3?+ 4) - (

26、-? + 4) = -?2 + 4?1 1 2 2 ?=? 2?= 2 x (-? 2 + 4?)X 4 = -2(? - 2)2+8; 当？?(2,?6时， ?面 积最大；存在.抛物线?= -?2 + 3? 4的顶点坐标?(?,/25),直线？?= -?+4 ；当？?= 3时，？?(?g?=154如图2,过点？?作?/?,?交直线？?于？?,3?= 2 （不合题意，舍去）综上所述，点？?坐标为（|,号）或（?4+31宁）或（于，斗）B图丄设？(？,？-?+ 3? 4)，则?(?+ 4); ?= |(-?2 + 3?+ 4) - (-? + 4)| = | - ? + 4?；当?与?平行且相等

27、时，四边形 ？?是平行四边形，215卜？ + 4?|=-;155由-?2 + 4?= 4 时，解得? = 2,当?= 2时，?= -(?|)2 + 3 X2+ 4= 21,521?(? ?)24 *当-?2 + 4?= -15 时，解得？?= 4聖,42当?=于时，？?=斗i,4+ v3T -7-2 v3T ?(V、当?=于时，？?=宁,牛 v31-7+2?(-2-，?)，已知函数?(?= ?(-?1) - ?(? 1) + 1.（1）求函数?（?的单调区间;(? N且? 1).若?（?: 0恒成立，试确定实数？的取值范围;【答案】(1)解：?(?= In (?-1) - ?(? 1) + 1

28、? 1, 1?(?)= -?-1? ?证明:In2 In3 In4 小 In?+ + + ? + 0，函数？?(?在(1,?+ 上是增函数；1 1当？? 0时，函数?(?在(1,?1+ ?上是增函数，在(1 +习？+ a)为减函数.解：/ ?(?戶0恒成立， ? 1 , ln(?- 1) - ?(? 1) + 1 1 , In(?- 1) 0.由知，?(?max = ?(1+ 1? = In? 1 .故实数？?勺取值范围是1,?+ a).证明：令？?= 1,则由知：In(?- 1) ? 2对？(1,?+ a)恒成立，即ln?w ?- 1 对？(0,?+ a)恒成立,In?+1取?= ?，则 2

29、In? ? - 1,123?-1?(?-1) + ? +222 24In2In3In4即一+ +345In?+1 1).In2In3In4In?+ ?+345?+12 ? 2,【考点】函数恒成立问题不等式的证明利用导数研究函数的单调性【解析】/ 1(1) 由?(?= 1?(? 1) - ?(? 1) + 1，知? 1, ?(?)= R- ?由此能求出?(?)?-1的单调区间.(2) 由?(?: 0恒成立，知? 1 , In(?- 1) 0. ?(?max =1 1?(1+ ? = In? 0 ,由此能求出实数？的取值范围.(3)令？?= 1,能够推导出ln?w ?1对？?(0,?+ a恒成立.

30、取？?=?,得到In?-1 2,由此能够证明1?21?3+ +341?4+1?+1 *笛斗?且? 1).【解答】(1)解：/ ?(?= In(?- 1) - ?(? 1) + 1,/ 1? 1 ?(?)= - ?_1/ ? 1,a上是增函数；1+习?+ a上为减函数.当? 0，函数？?(?在(1,?+1当？? 0时，函数?(?在(1, ?1+ ?上是增函数，在(1解：/ ?(?戶0恒成立， ? 1 , ln(?- 1) - ?(? 1) + 1 1 , In(?- 1) 0.1 1由(1)知，?(?f)ax = ?(1+ ? = In ? W 0 ,解得? 1 .故实数？?勺取值范围是1,?+ a).证明：令？?= 1 ,则由知：In(?- 1) ?+12In2In3In4+ +345123+ ? + -222In2In3In4+ -+ ?345? +2,即+In? ?-1 即?-12In?+1?(?-1)4In? 1).