立体几何初步

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1、立体几何初步6.1 两条直线之间的位置关系一、知识要点1. 平面的基本性质：公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线.公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面.推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.空间两条直线的位置关系，包括：相交、平行、异面.公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.定理4：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并

2、且方向相同，那么这两个角相等.推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.异面直线.异面直线所成的角；两条异面直线互相垂直的概念；异面直线的公垂线及距离.反证法.会用反证法证明一些简单的问题.二、疑难知识1异面直线是指不同在任何一个平面内，没有公共点.强调任何一个平面. 2异面直线所成的角是指经过空间任意一点作两条分别和异面的两条直线平行的直线所成的锐角（或直角）.一般通过平移后转化到三角形中求角，注意角的范围. 3异面直线的公垂线要求和两条异面直线垂直并且相交。 4异面直线的距离是指夹在两异面直线之间公垂线段的长度.求两条异面直线的距离关键是找到它

3、们的公垂线. 5异面直线的证明一般用反证法、异面直线的判定方法：如图，如果b,A且A,a,则a与b异面.三、经典例题导讲例1在正方体ABCD-ABCD中,O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱DD、DC的中点，则直线OM( ). A .是AC和MN的公垂线. B .垂直于AC但不垂直于MN. C .垂直于MN，但不垂直于AC. D .与AC、MN都不垂直.错解:B.错因：学生观察能力较差，找不出三垂线定理中的射影.正解：A. 例2如图，已知在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点，G,H分别是BC,CD上的点,且,求证:直线EG,FH,AC相交于一点.证明：、F分别是AB,AD的中

4、点, BD,EF=BD，又,GHBD,GH=BD, 四边形EFGH是梯形，设两腰EG,FH相交于一点T, 平面ABC,FH平面ACD, T面ABC,且T面ACD,又平面ABC平面ACD=AC, 精选文档,直线EG,FH,AC相交于一点T. 例3判断：若a,b是两条异面直线，P为空间任意一点，则过P点有且仅有一个平面与a,b都平行.错解：认为正确.错因：空间想像力不够.忽略P在其中一条线上，或a与P确定平面恰好与b平行，此时就不能过P作平面与a平行.正解：假命题 例4 如图，在四边形ABCD中，已知ABCD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面相交于点E，G，H，F求证：E，F，G，H四点必定共

5、线（在同一条直线上）分析：先确定一个平面，然后证明相关直线在这个平面内，最后证明四点共线证明 AB/CD， AB，CD确定一个平面又AB E，AB， E，E，即 E为平面与的一个公共点同理可证F，G，H均为平面与的公共点 两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线， E，F，G，H四点必定共线点评：在立体几何的问题中，证明若干点共线时，先证明这些点都是某两平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论 例5如图，已知平面，且设梯形ABCD中，ADBC，且AB，CD，求证：AB，CD，共点（相交于一点） 分析：AB，CD是梯形ABCD的两条腰，必定相交于一点M，只要证明M在上，

6、而是两个平面，的交线，因此，只要证明M，且M即可 证明： 梯形ABCD中，ADBC，AB，CD是梯形ABCD的两条腰 AB，CD必定相交于一点，设 AB CDM又 AB，CD， M，且M M又 ， M，即 AB，CD，共点点评：证明多条直线共点时，与证明多点共线是一样的 例6已知：a，b，c，d是不共点且两两相交的四条直线，求证：a，b，c，d共面 分析：弄清楚四条直线不共点且两两相交的含义：四条直线不共点，包括有三条直线共点的情况；两两相交是指任何两条直线都相交在此基础上，根据平面的性质，确定一个平面，再证明所有的直线都在这个平面内 证明 1若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a，b，c相

7、交于一点A 直线d和A确定一个平面精选文档 又设直线d与a，b，c分别相交于E，F，G，则 A，E，F，G A，E，A，Ea， a同理可证 b，c a，b，c，d在同一平面内2当四条直线中任何三条都不共点时，如图 这四条直线两两相交，则设相交直线a，b确定一个平面设直线c与a，b分别交于点H，K，则 H，K又 H，Kc， c同理可证 d a，b，c，d四条直线在同一平面内点评：证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是：首先由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证明其余的线(或点)均在这个平面内本题最容易忽视“三线共点”这一种情况因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义 例

8、7 在立方体ABCDA1B1C1D1中，（1）找出平面AC的斜线BD1在平面AC内的射影；（2）直线BD1和直线AC的位置关系如何？（3）直线BD1和直线AC所成的角是多少度？解：(1)连结BD, 交AC于点O . (2)BD1和AC是异面直线. (3)过O作BD1的平行线交DD1于点M，连结MA、MC，则MOA或其补角即为异面直线AC和BD1所成的角. 不难得到MAMC，而O为AC的中点，因此MOAC，即MOA90，异面直线BD1与AC所成的角为90. 例8 已知：在直角三角形ABC中，A为直角，PA平面ABC，BDPC，垂足为D，求证：ADPC证明：PA 平面ABCPABA又BAAC BA

9、平面PACAD是BD在平面PAC内的射影又BDPC ADPC.（三垂线定理的逆定理）1. 6.2直线与平面之间的位置关系精选文档2. 一、知识要点3. 掌握空间直线与平面的三种位置关系（直线在平面内、相交、平行）.4. 直线和平面所成的角，当直线与平面平行或在平面内时所成的角是，当直线与平面垂直时所成的角是9，当直线与平面斜交时所成的角是直线与它在平面内的射影所成的锐角.5. 掌握直线与平面平行判定定理（如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和平面平行）和性质定理（如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行）.6. 直线与平面垂直的定

10、义是：如果一条直线和一个平面内所有直线垂直，那么这条直线和这个平面垂直；掌握直线与平面垂直的判定定理（如果一条直线和平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面）和性质定理（如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行）.7. 直线与平面的距离（一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离）.8. 三垂线定理（在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直）、逆定理（在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在这个平面内的射影垂直）.从平面外一点向这个平面所引的垂线

11、段和斜线段中：射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；垂线段比任何一条斜线段都短.二、疑难知识1.斜线与平面所成的角关键在于找射影，斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角. 2.在证明平行时注意线线平行、线面平行及面面平行判定定理和性质定理的反复运用. 3.在证明垂直时注意线线垂直、线面垂直及面面垂直判定定理和性质定理的反复运用，同时还要注意三垂线定理及其逆定理的运用.要注意线面垂直的判定定理中的“两条相交直线”，如果用“无数”或“两条”都是错误的. 4.直线与平面的距离一般是利用直线上某一点到平面的距

12、离.“如果在平面的同一侧有两点到平面的距离（大于0）相等，则经过这两点的直线与这个平面平行.”要注意“同一侧”、“距离相等”.三、经典例题 例1已知平面平面，直线平面,点P直线,平面、间的距离为8，则在内到点P的距离为10，且到的距离为9的点的轨迹是（ ）A.一个圆 B.四个点 C.两条直线 D .两个点错解：A.错因：学生对点线距离、线线距离、面面距离的关系掌握不牢.精选文档正解：B. 例2 a和b为异面直线，则过a与b垂直的平面( ). A有且只有一个 B一个面或无数个 C可能不存在 D可能有无数个错解：A.错因：过a与b垂直的平面条件不清. 正解：C. 例3由平面外一点P引平面的三条相等

13、的斜线段，斜足分别为A,B,C，O为ABC的外心，求证：.正解：取BC的中点D，连PD、OD，例4如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=3，AA1=4,M为AA1的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M点的最短路线长为，设这条最短路线与C1C的交点为N,求: （1）该三棱柱的侧面展开图的对角线长；（2）PC和NC的长；（3）平面NMP和平面ABC所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示）错因：（1）不知道利用侧面BCC1 B1展开图求解,不会找 的线段在哪里;(2)不会找二面角的平面角.正解：(1)正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其

14、对角线长为(2)如图，将侧面BC1旋转使其与侧面AC1在同一平面上，点P运动到点P1的位置，连接MP1 ，则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过CC1到点M的最短路线.设PC，则P1C，在(3)连接PP1（如图），则PP1就是平面NMP与平面ABC的交线，作NH于H，又CC1平面ABC，连结CH，由三垂线定理的逆定理得，.精选文档例5 P是平行四边形ABCD 所在平面外一点，Q 是PA 的中点，求证：PC 平面BDQ 分析：要证明平面外的一条直线和该平面平行，只要在该平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了证明：如图所示，连结AC ，交BD 于点O ，四边形ABCD 是平行四边形.AO=CO ，连结

15、OQ ，则OQ 在平面BDQ 内，且OQ 是 的中位线，PCOQ PC 在平面BDQ 外，PC平面BDQ 点评：应用线面平行的判定定理证明线面平行时，关键是在平面内找一条直线与已知直线平行.例6 在正方体A1B1C1D1ABCD中，E、F分别是棱AB、BC的中点，O是底面ABCD的中点求证：EF垂直平面BB1O证明： 如图,连接AC、BD，则O为AC和BD的交点E、F分别是AB、BC的中点，EF是ABC的中位线，EFACB1B平面ABCD,AC平面ABCDACB1B，由正方形ABCD知：ACBO，又BO与BB1是平面BB1O上的两条相交直线，AC平面BB1O(线面垂直判定定理)ACEF， EF

16、平面BB1O 例7如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，E 是BB1 的中点，O 是底面正方形ABCD 的中心，求证：OE 平面ACD1 精选文档分析：本题考查的是线面垂直的判定方法根据线面垂直的判定方法，要证明OE 平面ACD1 ，只要在平面ACD1 内找两条相交直线与OE 垂直证明：连结B1D 、A!D 、BD ，在B1BD 中，E,O 分别是B1B 和DB 的中点，EOB1D B1A1 面AA1D1D ，DA1 为DB1 在面AA1D1D 内的射影又AD1A1D ，AD1DB1 同理可证B1DD1C 又AD1，AD1,D1C 面ACD1 ，B1D 平面ACD1 B1DOE ，OE

17、 平面ACD1 点评：要证线面垂直可找线线垂直，这是立体几何证明线面垂直时常用的转化方法在证明线线垂直时既要注意三垂线定理及其逆定理的应用，也要注意有时是从数量关系方面找垂直，即勾股定理或余弦定理的应用例8如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中,点N在BD上, 点M在B1C上,且CM=DN,求证:MN平面AA1B1B.证明：证法一.如图,作MEBC,交BB1于E,作NFAD,交AB于F,连EF则EF平面AA1B1B.ME=NF又MEBCADNF,MEFN为平行四边形,MNEF. MN平面AA1B1B.精选文档证法二.如图,连接并延长CN交BA延长线于点P,连B1P,则B1P平面AA1B1B.

18、,又CM=DN,B1C=BD,B1P. B1P平面AA1B1B, MN平面AA1B1B.证法三.如图,作MPBB1,交BC于点P,连NP.MPBB1,BD=B1C,DN=CM, NPCDAB.面MNP面AA1B1B.MN平面AA1B1B.6.3平面与平面之间的位置关系一、基础知识1空间两个平面的位置关系（有交点的是相交；没交点的是平行）.2理解并掌握空间两个平面平行的定义；掌握空间两个平面平行判定定理（如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行）和性质定理（如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行）.3理解并掌握空间两个平面垂直的定义（一般地，两个平面相

19、交，如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面垂直）；判定定理（如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直）和性质定理（如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面）.4二面角的有关概念（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角）与运算； 二面角的平面角（以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角），二面角的平面角的常见作法(定义法、三垂线定理及逆定理法、垂面法等).二、疑难知识1两个平面的位置关系关系的判定关键看有没有公共点.2面面平行也是推导线面平行的重要手段；还要注意平行与垂直

20、的相互联系，如：如果两个平面都垂直于同一条直线，则这两个平面平行；如果两条直线都垂直于一个平面，则这两条直线平行等.在证明平行时注意线线平行、线面平行及面面平行的判定定理和性质定理的反复运用.精选文档3对于命题“三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线互相平行或者相交于同一点.”要会证明.4.在证明垂直时注意线线垂直、线面垂直及面面垂直的判定定理和性质定理的反复运用.5注意二面角的范围是，找二面角的平面角时要注意与棱的垂直直线，这往往是二面角的平面角的关键所在.求二面角的大小还有公式,用的时候要进行交代.在二面角棱没有给出的情况下求二面角大小方法一：补充棱；方法二：利用“如果”；方法三：公式

21、等，求二面角中解三角形时注意垂直（直角）、数据在不同的面上转换.三、经典例题导讲例1一直线与直二面角的两个面所成的角分别为，则+满足（ ）.A.+900 D.+900错解:A.错因：忽视直线与二面角棱垂直的情况.正解：B.例2.如图，ABC是简易遮阳棚，A，B是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40角，为了使遮阴影面ABD面积最大，遮阳棚ABC与地面所成的角应为（ ）.A90 B60 C50 D45错解:A.正解：C例3已知正三棱柱ABC-A1B1C1底面边长是10，高是12，过底面一边AB，作与底面ABC成角的截面面积是_.错解：.用面积射影公式求解：S底=S截=.错因：没有

22、弄清截面的形状不是三角形而是等腰梯形.正解：.例4点是边长为4的正方形的中心，点，分别是，的中点沿对角线把正方形折成直二面角DACB（1）求的大小；（2）求二面角的大小错解:不能认识折叠后变量与不变量.不会找二面角的平面角.正解：（1）如图，过点E作EGAC，垂足为G，过点F作FHAC，垂足为H，则，精选文档CDMHGOFABEGHMABCDEFO因为二面角DACB为直二面角， 又在中， （2）过点G作GM垂直于FO的延长线于点M，连EM二面角DACB为直二面角，平面DAC平面BAC，交线为AC，又EGAC，EG平面BACGMOF，由三垂线定理，得EMOF就是二面角的平面角在RtEGM中，所以

23、，二面角的大小为例5如图，平面平面平面，且在、之间，若和的距离是5，和的距离是3，直线和、分别交于A、B、C，AC12，则AB ，BC . 解:作，与、也垂直，与、分别交于A1、B1、C1.精选文档因此，A1B1是与平面间的距离，B1C1是与平面间的距离，A1C1是与之间的距离.A1B15，B1C13，A1C18，又知AC12AB= ， ，BC= .答：AB= ，BC .例6 如图，线段PQ分别交两个平行平面、于A、B两点，线段PD分别交、于C、D两点，线段QF分别交、于F、E两点，若PA9，AB12，BQ12，ACF的面积为72，求BDE的面积.解：平面QAFAF，平面QAFBE又，AFBE

24、同理可证：ACBD.FAC与EBD相等成互补由FABE，得：BE：AFQB：QA12：241：2，BE=由BDAC，得：AC：BDPA：PB9：213：7，BD=又ACF的面积为72，即 72S=,答：BDE的面积为84平方单位.例7如图，B为ACD所在平面外一点，M、N、G分别为ABC、ABD、BCD的重心.（1）求证：平面MNG平面ACD（2）求S：S解:（1）连结BM、BN、BG并延长交AC、AD、CD分别于P、F、HM、N、G分别为ABC、ABD、BCD的重心，精选文档则有：连结PF、FH、PH有MNPF又PF 平面ACDMN平面ACD同理：MG平面ACD，MGMNM平面MNG平面AC

25、D.（2）由（1）可知：MG=，又PH=MG= ，同理：NG= ， MNGACD，其相似比为1：3S：S=1：9例8如图，平面EFGH分别平行于CD、AB，E、F、G、H分别在BD、BC、AC、AD上，且CDa，ABb，CDAB.(1)求证：EFGH是矩形.(2)求当点E在什么位置时，EFGH的面积最大.(1)证明：CD面EFGH,而面EFGH面BCDEF.CDEF同理HGCD.EFHG同理HEGF.四边形EFGH为平行四边形由CDEF，HEABHEF为CD和AB所成的角或其补角，又CDAB.HEEF.四边形EFGH为矩形.(2)解：由(1)可知在BCD中EFCD，其中DEm，EBn由HEAB

26、又四边形EFGH为矩形S矩形EFGHHEEFbaabmn2，（mn）2mn精选文档，当且仅当mn时取等号，即E为BD的中点时,S矩形EFGH=abab，矩形EFGH的面积最大为ab.点评：求最值时经常转化为函数求最值、不等式求最值、导数求最值、线性规划求最值等.6.4空间角和距离一、知识导学1.掌握两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角，掌握上述三类空间角的作法及运算.2掌握给出公垂线的两条异面直线的距离、点到直线（或平面）的距离、直线与平面的距离及两平行平面间距离的求法.二、疑难知识1求空间角的大小时，一般将其转化为平面上的角来求，具体地将其转化为某三角形的一个内角.2求二面角大小

27、时，关键是找二面角的平面角，可充分利用定义法或垂面法等.3空间距离的计算一般将其转化为两点间的距离.求点到平面距离时，可先找出点在平面内的射影（可用两个平面垂直的性质），也可用等体积转换法求之.另外要注意垂直的作用.球心到截面圆心的距离由勾股定理得4球面上两点间的距离是指经过这两点的球的大圆的劣弧的长，关键在于画出经过两点的大圆以及小圆.5要注意距离和角在空间求值中的相互作用，以及在求面积和体积中的作用.三、经典例题例1平面外有两点A,B，它们与平面的距离分别为a,b，线段AB上有一点P，且AP:PB=m:n，则点P到平面的距离为_.错解：.错因：只考虑AB在平面同侧的情形，忽略AB在平面两测

28、的情况.正解：.例2与空间四边形ABCD四个顶点距离相等的平面共有_个.错解：4个.错因：只分1个点与3个点在平面两侧.没有考虑2个点与2个点在平面两侧.正解：7个.例3一个盛满水的三棱锥形容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞D、E、F，且知SD：DA=SE：EB=CF：FS=2：1，若仍用这个容器盛水，则最多可盛原来水的（ ）精选文档A. B. C. D. 错解：A、B、C.由过D或E作面ABC的平行面，所截体计算而得.正解：D.当平面EFD处于水平位置时，容器盛水最多最多可盛原来水得1例4斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为a的正三角形，侧棱长等于b，一条侧棱AA1与底面相邻两边AB

29、、AC都成450角，求这个三棱柱的侧面积.错解：一是不给出任何证明，直接计算得结果；二是作直截面的方法不当，即“过BC作平面与AA1垂直于M”；三是由条件“A1AB=A1ACAA1在底面ABC上的射影是BAC的平分线”不给出论证.正解：过点B作BMAA1于M，连结CM，在ABM和ACM中，AB=AC，MAB=MAC=450，MA为公共边，ABMACM，AMC=AMB=900，AA1面BHC，即平面BMC为直截面，又BM=CM=ABsin450=a，BMC周长为2xa+a=(1+)a，且棱长为b，S侧=(1+)ab例5已知CA平面，垂足为A；AB ，BDAB，且BD与成30角；AC=BD=b，A

30、B=a.求C，D两点间的距离.解: 本题应分两种情况讨论：（1）如下左图.C，D在同侧：过D作DF，垂足为F.连BF，则于是.根据三垂线定理BDAB得BFAB.在RtABF中，AF=过D作DEAC于E，则DE=AF，AE=DF=.所以EC=AC-AE= b-=.故精选文档CD=(2)如上右图.C，D在两侧时：同法可求得CD=点评: 本题是通过把已知量与未知量归结到一个直角三角形中，应用勾股定理来求解.例6如图，在棱长为1的正方体中，是侧棱上的一点，.（1）试确定，使得直线与平面所成角的正切值为；（2）在线段上是否存在一个定点，使得对任意的，在平面上的射影垂直于.并证明你的结论.解：解法一（1）

31、连AC，设AC与BD相交于点O,AP与平面相交于点，,连结OG，因为PC平面，平面平面APCOG,故OGPC，所以，OGPC.又AOBD,AOBB1，所以AO平面，故AGO是AP与平面所成的角. 在RtAOG中，tanAGO，即m.所以，当m时，直线AP与平面所成的角的正切值为.（2）可以推测，点Q应当是AICI的中点O1，因为精选文档D1O1A1C1, 且 D1O1A1A ，所以 D1O1平面ACC1A1，又AP平面ACC1A1，故 D1O1AP.那么根据三垂线定理知，D1O1在平面APD1的射影与AP垂直。解法二：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，P

32、(0，1，m)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)所以又由知，为平面的一个法向量。设AP与平面所成的角为，则。依题意有解得。故当时，直线AP与平面所成的角的正切值为。（2）若在A1C1上存在这样的点Q，设此点的横坐标为，则Q(x，1，1)，。依题意，对任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，等价于D1QAP即Q为A1C1的中点时，满足题设要求。例7在梯形ABCD中，ADC=90，ABDC，AB=1，DC=2，P为平面ABCD外一点，PAD是正三角形，且PAAB，求：（1）平面PBC和平面PAD所成二面角的大小；（2）D点到平面PBC的距离解:

33、 （1）设ADBC=E，可知PE是平面PBC和平面PAD的交线，依题设条件得PA=AD=AE，则EPD=90，PDPE又PAAB，DAAB，故AB平面PAD DCAB， DC平面PAD由PEPC得PEPD，DPC是平面PBC与平面PAD所成二面角的平面角，DC=2，tan，精选文档（2）由于PEPD，PEPC，故PE平面PDC，因此平面PDC平面PBC，作DHPC，H是垂足，则DH是D到平面PBC的距离在RtPDC中，DC=2，平面PBC与平面PAD成二面角的大小为arctan，D到平面PBC的距离为.例8 半径为1的球面上有A、B、C三点，A与B和A与C的球面距离都是，B与C的球面距离是，求

34、过A、B、C三点的截面到球心O距离分析： 转化为以球心O为顶点，ABC为底面的三棱锥问题解决由题设知OBC是边长为1的正三角形，AOB和AOC是腰长为1的全等的等腰三角形取BC中点D，连AD、OD，易得BC面AOD，进而得面AOD面ABC，过O作OHAD于H，则OH面ABC，OH的长即为所求，在Rt中,AD=,故在Rt,OH=点评： 本题若注意到H是ABC的外心，可通过解ABC和AHO得OH或利用体积法6.5空间几何体及投影一、知识导学1. 了解投影（投影线通过物体，向选定的面透射，并在该面上得到图形的方法）、中心投影（投射线交于一点的投影称为中心投影）、平行投影（投影线互相平行的投影称为平行

35、投影）、斜投影（平行投影投射方向不是正对着投影面的投影）、正投影（平行投影投射方向正对着投影面的投影）的概念.2. 了解三视图的有关概念（视图是指将物体按正投影向投影面投射所得到的图形.光线自物体的前面向后面投射所得的投影称之为主视图或正视图，自上而下的称为俯视图，自左向右的称为左视图，用这三种视图刻画空间物体的结构，称之为三视图）;了解三视图画法规则，能作出物体的三视图.3. 注意投影和射影的关系，以及在解题中的作用.二、疑难知识1三视图间基本投影关系的三条规律：主视图与俯视图长对正，主视图与左视图高平齐，俯视图与左视图宽相等.概括为“长对正，高平齐，宽相等”；看不见的画虚线.2主视图的上、

36、下、左、右对应物体的上、下、左、右；俯视图的上、下、左、右对应物体的后、前、左、右；左视图的上、下、左、右对应物体的上、下、后、前.精选文档三、经典例题例1如图，该物体的俯视图是（）.错解：B.错因：投影方向不对.正解：C.例2 如图所示的正方体中，E、F分别是AA1,D1C1的中点，G是正方形BDB1D1的中心，则空间四边形AGEF在该正方体面上的投影不可能是（ ）A B C D错解：C.正解：D 例3水平放置的ABC有一边在水平线上，它的直观图是正A1B1C1，则ABC是（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 任意三角形错解：B.错因：不熟悉斜二侧画法的规则.正解:C.

37、精选文档例4 正方体的全面积是a2，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是（ ）.A. B. C. D. 错解：A.错因：对正方体和球的关系理解不清.正解:B.正方体的对角线就是球的直径.例5如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥ABEFD与三棱锥AEFC的表面积分别是S1，S2，则必有（ ）A.S1S2C.S1=S2D.S1，S2的大小关系不能确定解：连OA、OB、OC、OD则VABEFDVOABDVOABEVOBEFDVAEFCVOADCVOAECVOEFC又VABEFD

38、VAEFC而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故SABDSABESBEFDSADCSAECSEFC又面AEF公共，故选C例6正三棱台A1B1C1-ABC的侧面与底面成45角，求侧棱与底面所成角的正切值. 解：解法一如图，设O1，O为上下底面正三角形的中心，连接O1O，A1O1交A1B1于D1，AO交AB于D.连接D1D.易证A1O1B1C1，ADBC，D1DBC，过A1，D1分别作A1E底面ABC，D1F底面ABC，易证E、F在AD上.因为正三棱台A1B1C1-ABC的侧面与底面成45的二面角，所以D1DA=45.因此A1E=O1O=D1F=FD.设该正三棱台上下底面的边长为a,b,则

39、AD=b,A1D1=a.所以 A1E=O1O=D1F=FD=b-= (b-a). AE=(b-a).所以 tanA1AE=.精选文档解法二如图，延长AA1，BB1，CC1，则AA1，BB1，CC1相交于一点S.显然点S在DD1的延长线上.由解法一得知，SDA为二面角S-BC-A的平面角，故SDA=45.所以 在RtSOD中，SO=OD，因为 AO=2OD，所以 tanSAO=.点评:由此例可以看出，在解决棱台的问题时，“还台为锥”利用棱锥的性质来解决棱台问题是一种快捷方便的方法.例7 粉碎机的下料斗是正四棱台形，如图所示，它的两底面边长分别是80 mm和440 mm，高是200 mm，计算：（

40、1）这个下料斗的体积；（2）制造这样一个下料斗所需铁板的面积（保留两个有效数字）？分析：要求下料斗所需铁板的面积，就是求正四棱台的侧面积.正四棱台的侧面积公式是S侧（cc）h.解：（1）因为S上4402mm2，S下802 mm2，h200 mm （2）下底面周长c480320mm， 下底面周长c44401760mm， 斜高h S正棱台侧（cc）h（1760320）2692.8105（mm2）答：这个下料斗的体积约为1.6107mm3，制造这样一个下料斗需铁板约2.8105mm2.点评：对于实际问题，须分清是求几何体的表面积，还是求侧面积，还是求侧面积与一个底面面积的和，还是求体积. （注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!） 精选文档