导数的应用

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1、窗体顶端2013年省培计划-高中教师学科主题教学远程研修-2013株洲-株洲高中数学1班当前位置：班级主页-班级作业-作业信息作业2发布人：陈瑜 发布时间：2014/2/6提交人：刘文龙提交时间：2014/2/28作业内容：请备一堂高三第二轮专题复习教案，专题：函数、导数与不等式作业答案：第六讲导数的应用命题要点：（1）导数的实际背景与几何意义；（2）导数的基本运算；（3）利用导数研究函数的单调性；（4）利用导数研究函数的极值与最值。命题趋势：（1）导数的几何意义是高考考查的重要内容，常与解析几何知识交汇命题，多以选择、填空题的形式出现，有时也出现在简答题中关键的一步，其中常求曲线在某点的切线

2、问题切线的斜率、倾斜角、切线方程等是考查的重点与热点；（2）导数的运算时导数的基本内容，虽然高考很少命题，但它在考查导数的应用中同时出现，多涉及三次函数、对数函数、指数函数、正余弦函数等以及由他们复合而成的函数的求导问题，主要考查对初等函数的导数熟练记忆与导数运算法则的正确运用；（3）导数在研究函数的单调性及最值等方面有着传统工具无法比拟的优越性，是研究函数、方程、不等式等知识的重要工具。从今几年各个地区高考题看，利用导数求函数的单调区间及最值、极值的试题频率较高，多以选择和填空题的形式出现，难度不大，随着高考导数在函数知识中的应用逐步加深，导数的综合运用得到加强，其中利用导数讨论方程的根，恒

3、成立问题等常在高考中多以简答题的形式出现。题型分析：类型一 利用导数研究切线问题导数的几何意义(1)函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)就是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，即kf(x0)(2)曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程为yf(x0)f(x0) (xx0)方法总结：首先要分清是求曲线yf(x)在某处的切线还是求过某点曲线的切线(1)求曲线yf(x)在xx0处的切线方程可先求f(x0)，利用点斜式写出所求切线方程；(2)求过某点的曲线的切线方程要先设切点坐标，求出切点坐标后再写切线方程例1(2012年高考安徽卷改编)设函数f(x)aexb(a0)在点(

4、2，f(2)处的切线方程为yx，求a，b的值解析f(x)aex，f(2)ae2，解得ae22或ae2(舍去)，所以a，代入原函数可得2b3，即b，故a，b.跟踪训练已知函数f(x)x3x.(1)求曲线yf(x)的过点(1，0)的切线方程；(2)若过x轴上的点(a，0)可以作曲线yf(x)的三条切线，求a的取值范围解析：(1)由题意得f(x)3x21.曲线yf(x)在点M(t，f(t)处的切线方程为yf(t)f(t) (xt)，即y(3t21)x2t3，将点(1，0)代入切线方程得2t33t210，解得t1或，代入y(3t21)x2t3得曲线yf(x)的过点(1，0)的切线方程为y2x2或yx.

5、 (2)由(1)知若过点(a，0)可作曲线yf(x)的三条切线，则方程2t33at2a0有三个相异的实根，记g(t)2t33at2a.则g(t)6t26at6t(ta)当a0时，函数g(t)的极大值是g(0)a，极小值是g(a)a3a，要使方程g(t)0有三个相异的实数根，需使a0且a3a0且a210，即a1；当a0时，函数g(t)单调递增，方程g(t)0不可能有三个相异的实数根；当a0时，函数g(t)的极大值是g(a)a3a，极小值是g(0)a，要使方程g(t)0有三个相异的实数根，需使a0，即a0，即a0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递增；如果f(x)0；当x(1，)时，h(x)

6、0，所以当x(0，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0时，yax22x1为开口向上的抛物线，所以ax22x10在(0，)上恒有解；(2)当a0，此时1a0)，g(x)x3bx.(1)若曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当a24b时，求函数f(x)g(x)的单调区间，并求其在区间(，1上的最大值解析(1) f(x)2ax，g(x)3x2b，因为曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1)g(1)，且f(1)g(1)即a11b，且2a3b.解得a3，b3. (2)记h(x)f(x)g(x)当ba2时

7、，h(x)x3ax2a2x1，h(x)3x22axa2.令h(x)0，得x1，x2.a0时，h(x)与h(x)的变化情况如下：00所以函数h(x)的单调递增区间为(，)和(，)；单调递减区间为(，)当1，即0a2时，函数h(x)在区间(，1上单调递增，h(x)在区间(，1上的最大值为h(1)aa2.当1，且1，即2a6时，函数h(x)在区间(，)上单调递增，在区间(，1上单调递减，h(x)在区间(，1上的最大值为h()1.当6时，函数h(x)在区间(，)上单调递增，在区间(，)上单调递减，在区间(，1上单调递增，又因为h()h(1)1aa2(a2)20，所以h(x)在区间(，1上的最大值为h(

8、)1.（2）(2011安徽)设f(x)，其中a为正实数(1)当a时，求f(x)的极值点；(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围解对f(x)求导得f(x)ex.(1)当a时，若f(x)0，则4x28x30，解得x1，x2.综合，可知xf(x)00f(x)极大值极小值所以，x1是极小值点，x2是极大值点(2)若f(x)为R上的单调函数，则f(x)在R上不变号，结合与条件a0，知ax22ax10在R上恒成立因此4a24a4a(a1)0，由此并结合a0，知0a1.跟踪训练(2011重庆)设f(x)2x3ax2bx1的导数为f(x)，若函数yf(x)的图象关于直线x对称，且f(1)0.(1)求

9、实数a，b的值；(2)求函数f(x)的极值审题视点 由条件x为yf(x)图象的对称轴及f(1)0求得a，b的值，再由f(x)的符号求其极值解(1)因f(x)2x3ax2bx1，故f(x)6x22axb.从而f(x)62b，即yf(x)的图象关于直线x对称，从而由题设条件知，解得a3.又由于f(1)0，即62ab0，解得b12.(2)由(1)知f(x)2x33x212x1，f(x)6x26x126(x1)(x2)令f(x)0，即6(x1)(x2)0，解得x12，x21.当x(，2)时，f(x)0，故f(x)在(，2)上为增函数；当x(2,1)时，f(x)0，故f(x)在(2,1)上为减函数；当x

10、(1，)时，f(x)0，故f(x)在(1，)上为增函数从而函数f(x)在x12处取得极大值f(2)21，在x21处取得极小值f(1)6.点评：运用导数求可导函数yf(x)的极值的步骤：(1)先求函数的定义域，再求函数yf(x)的导数f(x)；(2)求方程f(x)0的根；(3)检查f(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值析典题（预测高考）高考真题【真题】(2012年高考辽宁卷)设f(x)ln(x1)axb(a，bR，a，b为常数)，曲线yf(x)与直线yx在(0，0)点相切(1)求a，b的值；(2)证明：当0

11、x2时，f(x)0时，2x11x2，故1.记h(x)f(x)，则h(x).令g(x)(x6)3216(x1)，则当0x2时，g(x)3(x6)22160.因此g(x)在(0，2)内是递减函数又由g(0)0，得g(x)0，所以h(x)0.因此h(x)在(0，2)内是递减函数又h(0)0，得h(x)0. 于是当0x2时，f(x)0时，2x11x2，故1.令k(x)ln(x1)x，则k(0)0，k(x)10，故k(x)0，即ln(x1)0时，f(x)x.记h(x)(x6)f(x)9x，则当0x2时，h(x)f(x)(x6)f(x)9x(x6)()93x(x1)(x6)(2)18(x1)3x(x1)(

12、x6)(3)18(x1)(7x18)0.因此h(x)在(0，2)内单调递减又h(0)0，所以h(x)0，即f(x)g(x)；(3)是否存在实数a，使f(x)的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由【解析】(1)由题知当a1时，f(x)1，因为当0x1时，f(x)0，此时f(x)单调递减，当1x0，此时f(x)单调递增，所以f(x)的极小值为f(1)1. (2)证明因为f(x)的极小值为1，即f(x)在(0，e上的最小值为1.令h(x)g(x)，h(x)，当0x0，h(x)在(0，e上单调递增，所以h(x)maxh(e)g(x).(3)假设存在实数a，使f(x)axln x(x(0

13、，e)有最小值3，f(x)a.当a0时，因为x(0，e，所以f(x)0，而f(x)在(0，e上单调递减，所以f(x)minf(e)ae13，a(舍去)，此时f(x)无最小值；当0e时，f(x)在(0，)上单调递减，在(，e上单调递增，所以f(x)minf()1ln a3，ae2，满足条件；当e时，因为x(0，e，所以f(x)2，则f(x)2x4的解集为()A(1,1) B(1，)C(，1) D(，)解析：f(x)2x4，即f(x)2x40.构造F(x)f(x)2x4，F(x)f(x)20.F(x)在R上为增函数，而F(1)f(1)2x(1)40.x(1，)，F(x)F(1)，x1.答案：B3(

14、2011山东省高考调研卷)已知函数f(x)x3x2x，则f(a2)与f(4)的大小关系为()Af(a2)f(4)Bf(a2)f(4)Cf(a2)f(4)Df(a2)与f(4)的大小关系不确定解析：f(x)x3x2x，f(x)x22x.由f(x)(3x7)(x1)0得x1或x.当x1时，f(x)为增函数；当1x时，f(x)为增函数，计算可得f(1)f(4)2，又a20，由图象可知f(a2)f(4)答案：A4(2011山东省高考调研卷)已知函数f(x)x3bx23x1(bR)在xx1和xx2(x1x2)处都取得极值，且x1x22，则下列说法正确的是()Af(x)在xx1处取极小值，在xx2处取极小

15、值Bf(x)在xx1处取极小值，在xx2处取极大值Cf(x)在xx1处取极大值，在xx2处取极小值Df(x)在xx1处取极大值，在xx2处取极大值解析：因为f(x)x3bx23x1，所以f(x)3x22bx3，由题意可知f(x1)0，f(x2)0，即x1，x2为方程3x22bx30的两根，所以x1x2，由x1x22，得b0.从而f(x)x33x1，f(x)3x233(x1)(x1)，由于x1x2，所以x11，x21，当x(，1)时，f(x)0，所以f(x)在x11处取极小值，极小值为f(1)1，在x21处取极大值，极大值为f(1)3.答案：B5(2011合肥市高三第三次教学质量检测)对任意x1

16、，x2(0，)，x2x1，y1，y2，则()Ay1y2By1y2Cy1y2Dy1，y2的大小关系不能确定解析：设f(x)，则f(x).当x(0，)时，xtanx0，故f(x)x1得y2y1.答案：B6(2011广东)函数f(x)x33x21在x_处取得极小值解析：由f(x)3x26x3x(x2)0，解得x10，x22当x0，当0x2时，f(x)2时，f(x)0.当x2时，f(x)有极小值是f(2)2332213.7(12分)(2011北京)已知函数f(x)(xk)2(1)求f(x)的单调区间；(2)若对于任意的x(0，)，都有f(x)，求k的取值范围解：(1)f(x)(x2k2) 令f(x)0

17、，得xk当k0时，f(x)与f(x)的情况如下：x(x，k)k(k，k)k(k，)f(x)00f(x)4k2e10所以，f(x)的单调递增区间是(，k)，(k，)；单调递减区间是(k，k)当k0时，因为f(k1)，所以不会有?x(0，)，f(x)当k0时，由(1)知f(x)在(0，)上的最大值是f(k)所以?x(0，)，f(x)等价于f(k).解得k0，且x1时，f(x)，求k的取值范围解：(1)f(x).由于直线x2y30的斜率为，且过点(1,1)，故，即解得a1，b1.(2)由(1)知f(x)，所以f(x).考虑函数h(x)2lnx(x0)，则h(x).()设k0，则h(x)知，当x1时，

18、h(x)0，可得h(x)0；当x(1，)时，h(x)0.从而当x0，且x1时，f(x)0，即f(x).()设0k0，故h(x)0.而h(1)0，故当x时，h(x)0，可得h(x)0，而h(1)0，故当x(1，)时，h(x)0，可得h(x)0恒成立，18x26(a2)x2a0有两不等根，故不存在a使f(x)单调，因为f(x)一定存在两个极值点11(2010北京理)已知函数f(x)ln(1x)xx2(k0)(1)当k2时，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)求f(x)的单调区间分析本题考查了导数的几何意义及利用导数求函数的单调区间第(1)问可由导数求得切线斜率，从而求出切线方程第

19、(3)问要注意对参数k进行分类讨论解析(1)当k2时，f(x)ln(1x)xx2，f (x)12x.由于f(1)ln2，f (1)，所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为yln2(x1)即3x2y2ln230(2)f (x)，x(1，)当k0时，f (x).因此在区间(1,0)上，f (x)0；在区间(0，)上，f (x)0；所以f(x)的单调递增区间为(1,0)，单调递减区间为(0，)；当0k0；因此，在区间(1,0)和(，)上，f (x)0；在区间(0，)上，f (x)1时，由f (x)0，得x10，x2(1，0)；因此，在区间(1，)和(0，)上，f (x)0，在区间(，0)上，f (x)0.即函数f(x)的单调递增区间为和(0，)，单调递减区间为(，0)点评利用导数求函数的单调区间需注意两个问题：一是先求函数的定义域；二是对参数进行讨论得分：5评语：好。专家点评：作业推优: 是否优秀作业 是否项目优秀 湖南省中小学教师继续教育指导中心 版权所有窗体底端