3稳恒电流的磁场

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1、第五章稳恒电流的磁场一 . 磁感应强度 B 的定义1.从运动电荷受的力(洛仑兹力 )：f洛qVB2.从电流元受的力（安培力）:d F安I d lB3.从磁矩受的力矩 :SpmISPmMpmBI?S=ISnB 的物理意义（例如从安培力的角度）：d F安maxB单位电流元在该处I dl所受的最大安培力。二. 磁力线磁通量磁力线的特征 :1.闭合曲线2.与电流相互套连3.方向与电流的方向服从右手螺旋定则磁通量的定义 :dmB d m d SmsB d SB 也叫磁通密度。B d S三 . 磁场的基本规律1.基本实验规律（1）毕奥萨伐尔定律o I d l?d Br4 r2真空磁导率（2）叠加原理o41

2、0 7 T m / ABB iiBd B利用毕奥萨伐尔定律和叠加原理，原则上可以求任意电流的磁场。2.基本定理（1） B 的高斯定理(磁通连续方程 )：B d s0sB 的高斯定理在分析一些问题时很有用。（ 2）安培环路定理：B d lo I内L它只适用于稳恒电流。I 内 有正、负, 与 L 成右手螺旋关系为正。B 是全空间电流的贡献 ,但只有 I 内 对环流B d l 有贡献。一L般 B dl o ,说明 B 为非保守场（称为涡旋场）。安培环路定理L在计算具有对称性分布的磁场时很有用。四 . B 的计算方法“毕奥萨伐尔定律 + 叠加原理”法例. 已知无限长密绕螺线管轴线上的磁感应强度B= 0

3、nI, 试证 :管内为均匀磁场 ,管外无磁场。【证】先分析B的方向：设场点 P处B?Bzz?Br r B过场点 P 作轴对称的圆形环路L(如图所示 )，由安培环路定理BrB (?)PPBzrBab zILdcPlPB d lI 内=nabIPPdco I内L有B dlBrdlBdlBz dlLLLL0B 2 r000所以B=0。过场点 P，作一个轴对称的圆柱面为高斯面， 长为 l ,半径为 r(如图所示 )，由高斯定律B d S0sB d S Brd SBz d SsssBrd SBzd SBz d S侧右左Br2 rlBzd SBz d S右左Br 2rl 0所以Br = 0。因此，BBz

4、z?。设管内任一场点 P，过该点作矩形环路 a b c d(如上图所示 )，利用安培环路定理B dlB轴abBP ,ab000BP,B轴0 nI设管外任一场点 P”，过该点作矩形环路 a b cd(如上图所示)，有B dl B轴 ab BP,ab0n ab IBP, B轴0 nI 0证毕。3. 叠加法如果有几个电流 , 则有BBii所以典型电流的磁感应强度B 必须记住。五. 几种典型电流的B一段载流直导线B0I1 cos 24cosr无限长载流直导线B0Ir2无限长均匀载流薄圆筒B内0， B外0 I2r无限长载流密绕直螺线管，细螺绕环B内0 nI， B外0圆电流圈的圆心和轴线上0 IB中心2R

5、B轴线0 ISx2 3/ 22 R2无限大均匀平面电流的磁场 ,两侧为均匀磁场 ,方向相反 (右手定则 )，B0 j大小为 Bj2j - 面电流密度矢量的大小， 为通过垂直电流方向的单位长度上的电流。第六章磁场中的磁介质 1 磁介质对磁场的影响在磁场作用下能发生变化并能反过来影响磁场的媒质叫做磁介质。事实上，在磁场中的实物物质都是磁介质。电场：在充电的平行板电容器的均匀电场中放一块与极板绝缘的导体 , 导体内的场强削弱为零。若放一块电介质 , 电介质内的场强也有一定程度的削弱。磁场：在一个通电流 I 的长直螺线管中有一个均匀磁场 B0 , 将磁介质充满该磁场（保持电流不变） 。实验发现 : 不

6、同磁介质中的磁场不同，有的比 B0 略小 , 有的比 B0 略大，有的比 B0 大许多倍。B内r B0r 该磁介质的相对磁导率（1）抗磁质r 略1（铝 , 锰, 氧等）（3）铁磁质r 1（铁 , 钴, 镍等）B内r B00 r nIn I式中0r 磁介质的磁导率 2 磁介质的磁化在外磁场作用下磁介质出现磁性或磁性发生变化的现象称为磁化。分子是一个复杂的带电系统。 一个分子有一个等Pm效 电流 i ,相应有一个i分子等效磁矩Spmi sp m 是各个的电子轨道磁矩、电子自旋磁矩、原子核磁矩的总和。一.顺磁质顺磁质的分子等效磁矩p m 0，称为分子固有磁矩。一般由于分子的热运动,p m 完全是混乱

7、的 , 但是在外磁场中 p m 会发生转向 , 这就是顺磁质的“磁化” 。外磁场越强 , 转向排列越整齐。SNBSNMPmid Ld t如图所示 , 顺磁质内部的磁场是被加强的 , 而且顺磁质会被磁铁吸引。二 抗磁质抗磁质的分子固有磁矩 pm =0。但是在外磁场中会产生分子感应磁矩。以分子中某个电子的轨道运动为例（分子固有磁矩为零,L*BLPmPm-e-e分子中某个电子的轨道磁矩不见得为零）, 电子的轨道运动角动量 L 与轨道磁矩 pm 如图所示 , 该磁矩在外磁场中要受力矩M,MpmB所以 d L 的方向即 M 的方向， L 要发生进动（俯视为逆时针方向进动）。进动附加的进动角动量L * 是

8、与 B 的方向一致的。 与这一进动相应的磁矩，称感应磁矩pm ，它是与 B 反向的。这是以分子中某个电子的轨道运动为例，总的来说，一个抗磁质分子在外磁场中会产生一个与外磁场反方向的分子感应磁矩。BSNp mNSi抗磁质中，与分子感应磁矩相应的分子感应电流i 的方向如图所示。这就是抗磁质的磁化。 因此 , 在抗磁质内部的磁场是被削弱的 , 而且抗磁质会被磁铁排斥。虽然顺磁质分子也会产生感应磁矩 , 但由于它远小于固有磁矩 , 所以顺磁质中主要是固有磁矩起作用。总之：在外磁场的作用下，磁介质表面出现感应电流，即束缚电流。 3 H 的环路定理磁场中有磁介质存在的时候如何求 B ?设传导电流I 0B0

9、;束缚电流IB ;BB0B基本规律应是对总B :高斯定律B d S0s安培环路定理B d l0( I 0内I 内）L引入辅助量磁场强度 H 。有H dlI 0内H 的环路定理L磁场中沿任一闭合路径的磁场强度的环流 , 等于该闭合路径所套连的传导电流的代数和。当无磁介质时 , 上式就过渡到真空时的安培环路定理。对各向同性的磁介质BH若传导电流的分布有对称性, 就可以利用 H 的环路定理，由传导电流求出H , 然后再得到磁感应强度B 。一、基本要求1掌握磁感应强度的概念。理解毕奥一萨伐尔定律，能计算一些简单问题中的磁感应强度。2理解稳恒磁场的规律，磁场高斯定理和安培环路定理。3理解用安培环路定理计

10、算磁感应强度的条件和方法。4理解安培定律和洛伦兹力公式。5了解电偶极矩和磁矩的概念。能计算简单几何形状载流导体和载流平面线圈在均匀磁场中，或在无限长直载流导线产生的非均匀磁场中所受的力和力矩。 能分析点电荷在均匀磁场中的受力和运动。6了解介质的磁化现象及其微观解释。了解介质中的安培环路定理。二、知识系统图真空中的磁场磁场的描述磁感应强度：F mBq v磁感应线：方向及密度磁通量： SB d S电流的磁场磁场对电流的作用比 -萨 -拉定律：0?Idl r0dBr 24叠加原理：BdB运动电荷的磁场：?0qv r0B24r基本方程高斯定理：S BdS0安培环路定律 ：L Bdl0I安培定律：磁场对

11、载流dFIdlB线圈的力矩：FL IdlBMpmB洛仑兹力：p mN?ISnFq vB计算与应用长直电流、圆电流、螺线管、圆柱电流、对称面电流等产生的磁场。计算与应用电流受力、定义“安培” 、电磁仪表、磁透镜、加速器、质谱仪、霍尔效应等。例题dF121 如图所示，两电流元I 1 dl1 和 I 2 dl 2 距离为 r ；并互相垂直， 这1dlB12两电流元之间的相互作用力是否大小相等、I1方向相反？如果不是，I 2dl 2那么是否违反牛顿第三定律？分析： 由毕奥萨伐尔定律， I 1 dl1 在 I 2 dl 2 处产生的场强大小为rB210 I1dl 1，方向垂直向里， 如图所示。 由安培定

12、律，I 2 dl2r24所受作用力大小为 dF21I 2 dl 2 B12 ，方向如图所示。同理，I 2 dl 2 在 I1 dl1 处产生的磁场大小为 B120 ， I 1dl1 所受作用力大小为 dF12 0由此可见， 这两个电流元之间的相互作用力似乎不遵守牛顿第三定律。但仔细想一想会发现， 两个电流源受到的是当地磁场的力，施力者是磁场， 受力者是电流元， 如电流元 I 1dl1受力 dF12 对应的反作用力， 应该是磁场受力dF12 ，而不是 I 2 dl 2 受到的作用力 dF21 ，dF12 和dF12 才是一对作用力和反作用力，而dF12 、 dF21 两者不等，并不违反牛顿第三定

13、律。实际上， 当考虑稳恒电流时， 并不存在两个孤立的电流元， 谈两个电流元的作用和反作用力，是没有实际意义的。实际上存在的，只有两个稳恒的闭合电路，这两个回路之间的作用力，根据安培定律计算，是一定符合牛顿第三定律的。2 由毕奥萨伐尔定律可以导出“无限长”直载流导线的磁场公式为B0 I2 r当场点无限接近导线（ r 0）时， B，这个结果显然没有物理意义，应如何解释？分析：公式 B 0 I 2 r 只对线电流适用。所谓“线电流”是指电流横截面的线度比从该截面到场中考察点的距离小得多的情况。当r 0 时，线电流概念已不复存在，必须将导线视为有一定截面积的载流导体考虑，上式中的电流 I不再是恒定值。

14、 只要电流密度到处有限，这样求得的 B 仍为一有限值，不会成为无限大。3 按毕奥萨伐尔定律可求得真空中一有限载流直导线AB 在空间 P 点产生的磁感应强度大小为B0 I ( cosBcos )C24 a12aP方向垂直于 OP，今沿图中圆形环路C 做 B 的线积分，得到OCB dr0 Icos 2 ) 0 II( cos 121此结果与安培环路定理不一致，这是什么原因？A分析：安培环路定理仅适用于稳恒电流，而稳恒电流必定是闭合的。若 AB 中电流是稳恒的， 则本题要求计算的是闭合电流磁场的一部分只是AB 段电流在P 点产生的磁感应强度， 而安培环路定理中的 B 所表达的是闭合电流产生的全部的磁

15、场，故两者不相一致。对非闭合电流在空间一点产生的磁场，只能用毕奥萨伐尔定律求得。4 一无限长任意导线中通以电流I，有人运用安培环路定律计算空间P 点的磁感应强度，由B dl，得到 B I2 a，与无限长载流直导线的磁场一样。这样处理对吗？0 I0L分析：这样处理显然是错误的。使用安培环路定律计算磁感应强度时，是有一定条件的，即B 可以从积分式中作为常量提出来，因为B dlB cos dl ，所以LL在积分路径L 或各个分段路径上，应保证B 为常量，而且为已知。本LaP题中给出的电流形状是任意的， 积分路径 L 上各处的B 及都无法确定，I故不能用安培环路定律求得。一般只是具有一定对称性的或分段

16、均匀的磁场分布，才能应用安培环路定律求其磁感应强度。5 在一长直载流螺线管外做一平面圆回路L ，且其平面垂直于螺线管的轴，圆心在轴上。则环路积分L B dl等于多少 ? 有人认为LB dl 0 ，但也有人觉得B dl0 I ，究竟哪一种说法正确？L分析：讨论均匀密绕的长直螺线管时，都把它看成一系列紧密排列的封闭圆电流组来近似，此时电流的方向与螺线管轴线垂直，管内B 0 nI ，管外 B0 。所以，按题示的积分路线应有 L B dl 0 。但实际的螺线管并不等同于紧密排列的封闭圆电流组，电流总是从一端输入， 一端输出， 即沿轴线方向始终有电流I 流过，因而由安培环路定律应有B dl I 。L06

17、一无限长圆柱形铜导体（磁导率0)，半径为R，通有均匀分布的电流面 S（长为 1m，宽为 2R ），位置如图所示，求通过该矩形平面的磁通量。解：由磁通量定义可知，当磁感应强度B 在积分面 S 上不是常量时，所以必须运用积分计算。 根据安培环路定律可以分别求出圆柱形导体内、小 B1 、 B2 分别为：0 I2 r（rR），方向垂直纸面向里B12 R0 I（ rR），方向垂直纸面向里B2r2因为 r 相同处 B 相同，元通量为 dBdS BdS Bdr ，如图示，SBR2 R所求通量dS0 B1drRB2 drR0 I2R 0 Idr2 R 2rdr2 r0R0 I0I42ln 2I ，今取一矩形平

18、B dSB S ，S外的磁感应强度大drdS=1drr7半径为R 的圆盘，带有正电荷，其电荷面密度kr ，k 是常数， r 为圆盘上一点到圆心的距离，圆盘放在一均匀磁场B 中，其法线方向与B 垂直，当圆盘以角速度绕过圆心O 点，且垂直于圆盘平面的轴作逆时针旋转时，求圆盘所受磁力矩的大小和方向。解：当圆盘旋转式，盘上的电荷形成圆电流，在磁场中受到磁力矩作用。圆盘上的电流可以看成是半径连续变化的圆电流组合而成，每一个圆电流都受到一个磁力矩的作用，圆盘受到的磁力矩就是各个圆电流所受磁力矩的矢量和。距圆心 r 处，取一个宽度为 dr 圆环（如图示），由于 dr 很小，这样的圆环形成的电流，可以看成是圆

19、电流。r r+dr环上电荷dq 2rdr圆环以角速度旋转之电流为d I 2 rdr rdrdpm SdI2dI22圆环磁矩大小为r(kr)rdrrB圆环所受磁力矩为dMBdp mkr 4 Bdrdr 圆盘所受磁力矩MdMRk r4 drRr0k BR 55方向垂直于B 向上。8如图所示， 将一无限大均匀载流平面放入均匀磁场中，（设均匀磁场方向沿OX 轴正方向 )且其电流方向与磁场方向垂直指向纸内。已知放入后平面两侧的总磁感应强度分别为B1 与B2 。求：该载流平面上单位面积所受的磁场力的大小及方向?解：欲计算载流平面上单位面积所受的磁场力，首先应知道载流平面单位面积的电流，即面电流密度；另外，

20、题中只给出了空间总的磁场，所以还应导出均匀磁场的磁感应强度。设 i为载流平面的面电流密度，B 为无限大载流平面产生的磁场，B0 为均匀磁场的磁感应强度。为求载流平面产生的磁场，作安培环路abcda（如图），由安培环路定理得：Bdl0 ih在回路中， bc、 da 上的 B 大小相等，方向与积分方向相同；ab、cd 上 B 的方向与积分方向垂直。BhBh0ih ，得B10i2在载流平面的左边，B 与 B0 方向相反；在载流平面的左边，B 与 B0 方向相同， B1B0B， B2B0BaY1 (B11 (B2b得：B0B2 )，BB1 )dch22B1B2i(B 2B1 )0在无限大平面上沿Z 轴

21、方向取长度 dz，沿 X 轴方向取 dx ，X则其面积为 dSdz dx ，面元所受的安培力为dFidzdxB0iB 0 dS ，单位面积所受的力为dFiB 0B22B12方向沿 Y 轴负向。dS2，09在一无限长的半圆筒形的金属薄片中，沿轴向流有电流，在垂直电流方向单位长度的电流为ik sin，其中 k 为常量，如图所示。求半圆筒轴线上的磁感应强度。解：设轴线上任意点的磁感应强度为B ，半圆筒半径为R。将半圆筒面分成许多平行轴线的宽度为 dl 的无限长直导线，先求长直导线在轴线上产生的场，然后利用叠加原理求得总磁感应强度。流过长直导线的电流为（如图示）dIidlk sin dlk sinRd

22、它在轴线上产生的磁感应强度为0 dldB，方向如图。2R由对称性可知： dB 在轴向（ Z 轴方向）的分量为0，而 Y 轴分量在叠加中也相互抵消，可以只考虑 dB 在 X 轴的分量 dB x ，dBxdB siniY0dl0 k sin2 dd dlsin2R2 R BdB X0 K sin 2dXdB020 k1cos20 k sin 2 02d240220 k方向沿 X 轴正向。410半径为 R 的半圆线圈 ACD通有电流 I2，置于电流为 I1 的无限长直线电流的磁场中，直线电流 I 1 恰过半圆的直径，两导线相互绝缘。求半圆线圈受到长直线电流I1 的磁力。解：长直电流在周围空间产生的磁

23、场分布为B0 I12 r .,如图取 XOY 坐标系，则直导线在半圆线圈所在处产生的磁感应强度大小为：0 I 1，方向垂直纸面向里，B2 R sin式中 为场点至圆心的联线与 Y轴的夹角。半圆线圈上dl 段线电流所受的力为：dF I 2 dlBI 2 BdlY0 I 1 I 2dFydFRd，2 R sin dFx dF y dF cos，根据对称性知：F ydFy 0RXI1FxdF x0 I 1 I2I 2 0 I1 I 2022所以线圈受 I 1 的磁力大小为：Fx1 0 I 1 I 2 ，方向：垂直 I 1 向右。211如图所示，有两根直径为d，中心线间的距离为3d 的载流长直导线水平

24、平行放置。在两导线（可视作导轨）间有一块质量为m 的导体块，可在导轨上无摩擦地滑动，且与导轨两侧有良好的接触。导轨长为l（ l d），导轨和滑块的电阻不计，它们中间通过稳定电流I。求： (1)静止滑块从导轨的一端滑到另一端所经历的时间。(2)滑块离开导轨时的速率。解：（ 1）由于滑块作为电流通道的一部分，所以对滑块来说两条导轨都是半无限长直电流。根据安培环路定律和磁场叠加原理，可得两载流导轨间的磁场分布为0 I0 IB(x)4dx4 x3根据安培定律，滑块受到载流导线的磁力为25 dIXf12 d IB(x)dxfB25 d0 I21 dln 5I022 m又根据牛顿第二定律，滑块的加速度f0

25、 I2aln 5m2 m滑块作匀加速直线运动（初速为0），则l21 at 2 ， t2l2mlaI0 ln 5（ 2）滑出导轨时的速度为vtat I0 l ln 5m补充习题1. 如图示， 一扇形薄片， 半径为 R，张角为 ，其上均匀分布正电荷，电荷密度为，薄片绕过角顶 O 点且垂直于薄片的轴转动，角速度为 。求 O 点处的磁感应强度。2.均匀带电刚性细杆AB ，电荷线密度为，绕垂直于直线的轴O 以角速度匀速转动 ( O 点在细杆 AB 延长线上 ) 。求： （ 1）O 点的磁感应强度 B0 ；（ 2）磁矩 Pm ；（ 3）若 ab ，求 B0 及 Pm 。3.将 N 根很长的相互绝缘的细直导

26、线平行紧密排成一圆筒形，筒半径为 R，每根导线都通以方向相同， 大小相等的电流，总电流为 I 。求每根导线单位长度上所受的力的大小和方向。4. 在一顶点为 45的扇形区域，有磁感应强度为B，方向垂直指向纸面内的均匀磁场，如图。今有一电子（质量为m，电量为 e）在底边距顶点O 为 l 的地方，以垂直底边的速度v 射入该磁场区域， 为使电子不从上面边界跑出，问电子的速度最大不应超过多少?5. 一线圈由半径为 0.2m 的 1 4 圆弧和相互垂直的二直线组成，通以电流 2A ，把它放在磁感强度为 0.5T 的均匀磁场中 ( 磁感应强度 B 的方向如图所示 ) 。求：（ 1）线圈平面与磁场垂直时，圆弧

27、AB 所受的磁力。（ 2）线圈平面与磁场成 60角时，线圈所受的磁力矩。6. 有一台内阻及损耗均可不计的直流发电机，其定子的磁场恒定。先把它的电枢（转子）与一电阻R 连接，再在电枢的转轴上缠绕足够长的轻线绳，绳端悬挂一质量为m 的重物，重物最后以速率 v1 匀速下落。 现将一电动势为，内阻不计的电源如图接入电路中，使发电机作电动机使用，悬挂重物不变，最后重物匀速上升，求重物上升的速率v2 。7. 如图所示，两个共面的平面带电圆环，其内外半径分别为Rl、 R2和 R2、 R3，外面的圆环以每秒钟n2 转的转速顺时针转动，里面的圆环以每秒钟 n1 转的转速反时针转动。若电荷面密度都是，求n1 和 n2 的比值多大时，圆心处的磁感应强度为零。8. 如图，一条任意形状的载流导线位于均匀磁场中，试证明它所受的安培力等于载流直导线ab 所受的安培力。9.用两根彼此平行的半无限长直导线L 1， L 2 把半径为 R 的均匀导体圆环连到电源上，如图所示。已知直导线上的电流为 I 。求圆环中心 O 点的磁感应强度。10. 两彼此绝缘的无限长且具有缺口的圆柱形导线的横截面如图中阴影部分所示它们的半径同为R，两圆心的距离O1O2 1.60R，沿轴向反向通以相同大小的电流，强度为 I 。求在它们所包围的缺口空间C 中的磁感应强度。 cos36.87 0.800