第七章 直线和圆的方程

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1、第七章 直线和圆的方程知识结构网络7.1 直线方程一、明确复习目标1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，2.掌握直线方程的点斜式、两点式和直线方程的一般式，掌握由一点和斜率导出直线方程的方法；3.能根据条件熟练地求出直线方程.二建构知识网络1.直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0可见，直线倾斜角的取值范围是01802.直线的斜率：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示，即k=ta

2、n（90）倾斜角是90的直线没有斜率；倾斜角不是90的直线都有斜率，斜率的取值范围是（，+）3.直线的方向向量：设F1（x1，y1）、F2（x2，y2）是直线上不同的两点，则向量=（x2x1，y2y1）称为直线的方向向量向量=（1，）=（1，k）也是该直线的方向向量，k是直线的斜率.特别地，垂直于轴的直线的一个方向向量为(0,1) 4.直线的倾斜角、斜率、方向向量都是刻划、描述直线的倾斜成度的。每一条直线都有倾斜角和方向向量，但不是每一条直线都有斜率，要注意三者之间的内在联系。5.直线方程的五种形式点斜式：， (斜率存在)斜截式： (斜率存在)两点式：，(不垂直坐标轴)截距式： (不垂直坐标轴

3、,不过原点)一般式：6过直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程为：A1x+B1y+C1+（A2x+B2y+C2）=0（R）(除l2外)。三、双基题目练练手1.直线xtan+y=0的倾斜角是A. B. C. D.2直线xcosy20的倾斜角范围是A，）（， B0，）C0， D，3.下列四个命题：经过定点P0（x0，y0）的直线都可以用方程yy0=k（xx0）表示；经过任意两个不同的点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的直线都可以用方程（x2x1）（xx1）=（y2y1）（yy1）表示；不经过原点的直线都可以用方程+=1表示；经过定点A（0，b）的直

4、线都可以用方程y=kx+b表示其中真命题的个数是A.0 B.1 C.2 D.34.（2006北京11）若三点共线，则的值等于_.5过点A(2,1),且在x,y轴上截距相等的直线方程是 6（2005北京东城检测）已知直线l1：x2y+3=0，那么直线l1的方向向量a1为_（注：只需写出一个正确答案即可）；l2过点（1，1），l2的方向向量a2,且a1a2=0，则l2的方程为_.简答:1-3.DBB；3.解析：对命题，方程不能表示倾斜角是90的直线，对命题，当直线平行于一条坐标轴时，则直线在该坐标轴上截距不存在，故不能用截距式表示直线，只有正确。4.； 5.(x+y=3或y=x/2)强调：截距式的

5、使用范围6.解析：由方向向量定义即得a1为（2，1）或（1，）.a1a2=0，即a1a2.也就是l1l2，即k1k2=1.再由点斜式可得l2的方程为2x+y3=0.答案：（2，1）或（1，） 2x+y3=0四、经典例题做一做【例1】已知ABC的三个顶点是A（4，1）、B（0，3）、C（7，3），(1)求AB边的中线所在直线的方程;(2)求C的一平分线的方程.解(1)由中点公式得AB中点D(2,1),中线CD所在直线的方程为.(2)由两点间距离公式得|AC|=5, |BC|=7.设C的平分线与边AB的交点为E,由三角形内角平分线的性质知E分有向线段AB所成的比=,由定比分点公式得,由两点式方程得

6、,直线CE的方程为:x-2y-1=0.C的平分线的方程为:x-2y-1=0 ().【例2】 已知两点A（1，2）、B（m，3）（1）求直线AB的斜率k与倾斜角；（2）求直线AB的方程；（3）已知实数m1，1，求直线AB的倾斜角的取值范围解：（1）当m=1时，直线AB的斜率不存在，倾斜角当m1时，k，当m1时，arctan，当m1时，arctan（2）当m=1时，AB：x=1，当m1时，AB：y2=（x+1）（3）当m=1时，；当m1时，k（，），）（，故综合、得，直线AB的倾斜角，【例3】已知两直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的交点为P（2，3），求过两点Q1（a1，b1）、

7、Q2（a2，b2）（a1a2）的直线方程分析：利用点斜式或直线与方程的概念进行解答解：P（2，3）在已知直线上， 2a1+3b1+1=0，2a2+3b2+1=02（a1a2）+3（b1b2）=0，即=所求直线方程为yb1=（xa1）2x+3y（2a1+3b1）=0，即2x+3y+1=0提炼方法：1.由已知求斜率; 2.运用了整体代入的思想，方法巧妙.【例4】一条直线经过点P（3，2），并且分别满足下列条件，求直线方程：（1）倾斜角是直线x4y+3=0的倾斜角的2倍；（2）与x、y轴的正半轴交于A、B两点，且AOB的面积最小（O为坐标原点）解：（1）设所求直线倾斜角为，已知直线的倾斜角为，则2，

8、且tan，tantan2，从而方程为8x15y+6=0（2）设直线方程为1，a0，b0，代入P（3，2），得12，得ab24，从而SAOBab12，此时，k方程为2x+3y12=0解法点评：此题（2）也可以转化成关于a或b的一元函数后再求其最小值【研讨.欣赏】(2005广东)在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合（如图5所示）.将矩形折叠，使A点落在线段DC上. （）若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程； （）求折痕的长的最大值.解：设点A关于拆痕的对称点E，由于点E在线段DC上，故可设点E的坐标为（t，1

9、）（）（图3）（图4）（图5）（图6）（）若，则“拆痕”所在的直线为线段AD的中垂线，它的方程为；若，由，则，从而线段AE的中点M的坐标为，故“拆痕”所在直线的方程为综上所述，“拆痕”所在直线的方程为（）设“拆痕”的长为（1）当“折痕”过AD的中点时（如图3），；当“折痕”过点B时（如图4），由于求得所以，当时，“折痕”与y轴及均有交点，分别求得为、此时，由于l是关于k的函数，它在上是减函数，所以，当时，（2）当“折痕”过点D时（如图5），所以，当时，“折痕”与y轴及轴均有交点，分别求得为、此时，设，则，由此得：当时，；当时，；当时，所以，或由于，所以，（3）当“折痕”过AC的中点时（如图6）

10、，求得所以，当时，“折痕”与及轴均有交点，分别求得为、此时，由于l是关于k的函数，它在上是增函数，所以，当时，由于，所以“拆痕”的长的最大值为五提炼总结以为师1直线的倾斜角、斜率及直线在坐标轴上的截距是刻画直线位置状态的基本量，应正确理解和运用；2.直线方程有五种形式.其中点斜式、两点式、斜截式、截距式都是直线方程的特殊形式，点斜式是最基本的、重要的，其他形式的方程皆可由它推导.直线方程的特殊形式都具有明显的几何意义，但又都有一些特定的限制条件，应用时要注意它们各自适用的范围，以避免漏解.常需要分类讨论.3.求直线方程通用的方法是待定系数法；根据所给条件选择恰当的直线方程的形式是解题的关键；

11、同步练习 7.1 直线方程【选择题】1.直线x2y+2k=0与两坐标轴所围成的三角形面积不大于1，那么k的范围是A.k1 B.k1 C.1k1且k0 D.k1或k12.（2004湖南）设直线ax+by+c=0的倾斜角为，且sin+cos=0，则a、b满足A.a+b=1 B.ab=1 C.a+b=0 D.ab=03.已知平面上直线的方向向量，点O(0,0)和A(1,-2)在上的射影分别是O1和A1，则，其中 ( )A.B.C.2D.2【填空题】4.(2006春上海) 已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，则三角形面积的最小值为 .5若直线(m21)xy2m+1=0不经过第一象

12、限，则实数m的取值范围是 ;6.如果直线l沿x轴负方向平移3个单位，再沿个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是 ( 1/3) 简答提示：1.解析：令x=0，得y=k；令y=0，得x=2k.三角形面积S=xy=k2.又S1，即k21，1k1.又k=0时不合题意，故选C.2.解析：0180，又sin+cos=0，=135，ab=0.答案：D； 3.D4.4； 5. (1/2m1)；6.解：由于将直线平移不影响其斜率的值,故可设点O(0,0)在直线上，则依题意O点经平移后的坐标为P(3,1), 故直线l过两点P,O,求出斜率即可【解答题】7.已知两点A（1，2）、

13、B（m，3）（1）求直线AB的斜率k与倾斜角；（2）求直线AB的方程；（3）已知实数m1，1，求直线AB的倾斜角的取值范围解：（1）当m=1时，直线AB的斜率不存在，倾斜角当m1时，k，当m1时，arctan，当m1时，arctan（2）当m=1时，AB：x=1，当m1时，AB：y2=（x+1）（3）当m=1时，；当m1时，k（，），）（，故综合、得，直线AB的倾斜角，8.过点P(2,1)作直线分别交x,y轴正并轴于A，B两点(1)当AOB面积最小时，求直线的方程;(2)当|PA|PB|取最小值时，求直线的方程解：(1)设所求的直线方程为(a0,b0),由已知于是=,S AOB=4,当且仅当,

14、即a=4,b=2时取等号,此时直线的方程为,即x+2y4=0(2):设直线:y1=k(x2),分别令y=0,x=0,得A(2,0), B(0,12k) 则|PA|PB|=4,当且仅当k2=1,即k=1时,取最小值, 又k0,k=1, 此时直线的方程为x+y3=09. 在直线方程y=kx+b中，当x3，4时，y8，13，求此直线方程.解：当x的区间的左端点与y的区间的左端点对应，x的区间的右端点与y的区间的右端点对应时，得 直线方程为y=3x+1.当x的区间的左端点与y的区间的右端点对应，x的区间右端点与y的区间的左端点对应时，得所求的直线方程为y=3x+4或y=3x+1.10. 某房地产公司要

15、在荒地ABCDE（如下图）上划出一块长方形地面（不改变方位）建造一幢八层的公寓楼，问如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积.（精确到1 m2）解：如下图，在线段AB上任取一点P，分别向CD、DE作垂线划得一块长方形土地，建立如下图所示的直角坐标系，则AB的方程为+=1.设P（x，20x），则长方形面积S=（100x）80（20x） （0x30）.化简得S=x2+x+6000（0x30）.配方，易得x=5，y=时，S最大，其最大值为6017 m2.【探索题】(2005天津)某人在一山坡P处观看对面山项上的一座铁塔，如图所示，塔高BC=80（米），塔所在的山高OB=220（米），OA=200（米），图中所示的山坡可视为直线l且点P在直线l上，与水平地面的夹角为 , 试问此人距水平地面多高时，观看塔的视角BPC最大（不计此人的身高）解：如图所示，建立平面直角坐标系，则A（200，0），B（0，220），C（0，300），直线l的方程为 设点P的坐标为（x，y），则由经过两点的直线的斜率公式 由直线PC到直线PB的角的公式得 要使tanBPC达到最大，只须达到最小，由均值不等式当且仅当时上式取得等号，故当x=320时tanBPC最大，这时，点P的纵坐标y为 由此实际问题知，所以tanBPC最大时，BPC最大，故当此人距水平地面60米高时，观看铁塔的视角BPC最大.