高中数学 4.2同角三角函数的基本关系式及诱导公式配套课件 理 新人教A版

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1、第二节 同角三角函数的基本关系式及诱导公式 三年三年5 5考考 高考指数高考指数: :1.1.掌握同角三角函数的基本关系式；掌握同角三角函数的基本关系式；2.2.掌握正弦、余弦的诱导公式；掌握正弦、余弦的诱导公式；3.3.能正确运用同角三角函数基本关系式及诱导公式进行三角函能正确运用同角三角函数基本关系式及诱导公式进行三角函数式的化简、求值和恒等式的证明数式的化简、求值和恒等式的证明. . 1.1.同角三角函数的基本关系式及诱导公式是三角函数式化简变同角三角函数的基本关系式及诱导公式是三角函数式化简变形的基础，是高考的热点形的基础，是高考的热点. .2.2.公式的灵活应用是本节的难点公式的灵活

2、应用是本节的难点. .3.3.题型以选择、填空题为主，重点考查三角函数式的化简、求题型以选择、填空题为主，重点考查三角函数式的化简、求值值. . 1.1.同角三角函数基本关系式同角三角函数基本关系式(1)(1)平方关系：平方关系：_._.(2)(2)商数关系：商数关系：_._.(3)(3)倒数关系：倒数关系：_. . 22sincos1 sintancostancottancot=1=1【即时应用【即时应用】(1)(1)已知已知sinsin= = ，是第二象限角，则是第二象限角，则coscos=_,=_,tantan=_.=_.(2)(2)若若是第三象限角，化简是第三象限角，化简 _._.(3

3、)(3)已知已知tantan=2,=2,则则 _._. 1312sin cos sincossincos【解析【解析】(1)(1)由题意，得由题意，得coscos= = , = , (2)(2)是第三象限角，是第三象限角，sinsin0,cos0,cos0,0,即即sin+cossin+cos0,0,=|sin+cos|=-sin-cos=|sin+cos|=-sin-cos. .21 sin12 2193 sin132tan.cos342 2 （）2212sin cossin2sin coscos (3)tan=2,(3)tan=2,原式原式= .= .答案：答案：(1) (2)-sin-c

4、os (3)3 (1) (2)-sin-cos (3)3 tan13tan12 22342.2.诱导公式诱导公式 函数函数角（角（x x）sinxsinx cosxcosx tanxtanx cotxcotx +2k+2k（kZkZ） - - + + - - 2 2- - sinsin coscos tantan cotcot -sin-sin -tan-tan -cot-cot -cos-cos -sin-sin -cos-cos -tan-tan -cot-cot -sin-sin -tan-tan -cot-cot 2coscos sinsin cotcot tantan 2coscos

5、 -sin-sin -cot-cot -tan-tan coscos tantan cotcot sinsin coscos 【即时应用【即时应用】(1)(1)诱导公式较多，其记忆口诀为诱导公式较多，其记忆口诀为_._.(2)sin210(2)sin210=_, =_, =_, =_, =_. =_.(3)(3)在在ABCABC中，中，sin(A+Bsin(A+B)=_, _.)=_, _.2cos35tan3ABcos2【解析【解析】(1)(1)为了准确记忆诱导公式，特编记忆口诀为为了准确记忆诱导公式，特编记忆口诀为“奇变奇变偶不变，符号看象限偶不变，符号看象限”，记忆时要注意理解口诀的意义

6、，记忆时要注意理解口诀的意义. .(2)sin210(2)sin210=sin(180=sin(180+30+30)=-sin30)=-sin30= ,= , 1221coscos()cos,3332 5tantan(2)tan3.333 (3)A+B+C=,A+B(3)A+B+C=,A+B=-C,=-C, , ,sin(A+B)=sin(-C)=sinCsin(A+B)=sin(-C)=sinC, ,答案：答案：(1)(1)奇变偶不变，符号看象限奇变偶不变，符号看象限 (2)(2)(3)sinC (3)sinC ABC222ABCCcoscos()sin.222211322Csin2 同角三

7、角函数关系式求值同角三角函数关系式求值【方法点睛【方法点睛】1.1.同角三角函数关系式的变形同角三角函数关系式的变形(1)(1)由由sinsin2 2+cos+cos2 2=1,=1,得得sinsin2 2=1-cos=1-cos2 2,cos,cos2 2=1-sin=1-sin2 2.(2)(2)由由 , ,得得sin=tancossin=tancos, ., .(3)(3)由由tancottancot=1,=1,得得 . . sintancos sincostan 1cottan 2.2.运用上述关系可以解决两类问题运用上述关系可以解决两类问题(1)(1)已知某角的一个三角函数值，求该角

8、的其他三角函数值；已知某角的一个三角函数值，求该角的其他三角函数值；(2)(2)运用它对三角函数式进行化简、求值或证明运用它对三角函数式进行化简、求值或证明. . 【例【例1 1】(1)(2011(1)(2011大纲版全国卷大纲版全国卷) )已知已知 ,tan ,tan=2,=2,则则coscos=_.=_.(2)(2)已知已知是三角形的内角，且是三角形的内角，且 . .求求tantan的值；的值；求求 的值的值. . 3( ,)21sincos5 2212sin coscossin【解题指南【解题指南】(1)(1)利用同角三角函数关系式求解，同时要注意利用同角三角函数关系式求解，同时要注意角

9、的取值范围；角的取值范围；(2)(2)根据已知条件利用同角的三角函数关系式先求根据已知条件利用同角的三角函数关系式先求sin,cossin,cos，再求再求tantan, ,根据第根据第问的结论，解答第问的结论，解答第问，同时要注意先化问，同时要注意先化简再求值简再求值. . 【规范解答【规范解答】(1) ,(1) ,sinsin=2cos,=2cos,又又sinsin2 2+cos+cos2 2=1=1(2cos)(2cos)2 2+cos+cos2 2=1,=1,即即coscos2 2= ,= , . .答案：答案： sintan2cos 1535( ,),cos25 55(2)(2)方法

10、一：联立方程方法一：联立方程由由得得 ，将其代入，将其代入，整理得整理得25sin25sin2 2-5sin-12=0.-5sin-12=0.是三角形的内角，是三角形的内角，sinsin0,0, , . , . 221sincos5sincos1 1cossin5 4sin53cos5 4tan3 方法二：方法二： , , (sin+cos)(sin+cos)2 2= ,= ,即即 , ,(sin-cos)(sin-cos)2 2=1-2sincos=1-2sincos= .= .1sincos5 215（ ）12412sin cos,2sin cos2525 244912525sincoss

11、incos= = 且且0 0,sinsin0,cos0,cos0,sin-cos0,sin-cos0,0, , , . . 7sinacosa514sincossin55,73sincoscos55 由，得4tan3 12025原式原式= ,= ,方法一：由方法一：由得得 , ,原式原式= .= .方法二：由方法二：由的方法二得的方法二得cos-sincos-sin= ,= ,原式原式= .= . 2sincoscossincossincossincossin()()()43sin,cos55 3415534755 75115775 方法三：由方法三：由得得 , ,原式原式= =4tan3 4

12、1cossin1tan13.4cossin1tan713 【互动探究【互动探究】在本例在本例(2)(2)中，已知条件不变，试求中，已知条件不变，试求2sin2sin2 2-3cos3cos2 2的值的值. .【解析【解析】方法一：由本例方法一：由本例(2)(2)的解答知的解答知原式原式= =43sin,cos,55 169123.25255 方法二：由本例方法二：由本例(2)(2)的解答知的解答知 , ,原式原式= = =4tan3 2222222sin3cos2tan3sincostan1162319.16519【反思【反思感悟感悟】1.1.同角三角函数基本关系式的灵活应用同角三角函数基本关

13、系式的灵活应用(1)(1)已知弦的关系式，可以通过解方程组求出正、余弦值，再已知弦的关系式，可以通过解方程组求出正、余弦值，再求出正切值，涉及开方时，要注意角的取值范围；求出正切值，涉及开方时，要注意角的取值范围；(2)(2)已知正切值，可以化弦为切，注意挖掘隐含条件已知正切值，可以化弦为切，注意挖掘隐含条件1=sin1=sin2 2+cos+cos2 2，求出含有正、余弦的式子的值，求出含有正、余弦的式子的值. .2.sin+cos,sin-cos2.sin+cos,sin-cos与与sinsincoscos的关系的关系(1)(sin+cos)(1)(sin+cos)2 2=1+2sinco

14、s=1+2sincos(2)(sin-cos)(2)(sin-cos)2 2=1-2sincos=1-2sincos(3)(sin+cos)(3)(sin+cos)2 2-(sin-cos)-(sin-cos)2 2=4sincos =4sincos 【变式备选【变式备选】化简：化简： ( (其中其中x ,kZx ,kZ).).1 sinx1 sinx1 cosx1cosx() ()1 sinx1 sinx1cosx1 cosxk2【解析【解析】原式原式= = = = =当当 (kZ(kZ) )时，原式时，原式=4=4；当当 时，原式时，原式=-4. =-4. 22221 sin x1 sin

15、 x()1 sinx1 sinx（）（）cosx|cosx |sinx|sinx |()1 sinx1 sinx1cosx1 cosx|（）222sinx |cosx |2cosx |sinx |cos xsin x4|sinx cosx |k(x,kZ)sinx cosx2x(k ,k)2x(k,(k1) )(kZ)222221 cos x1 cos x()1cosx1 cosx（）（） 诱导公式化简、求值诱导公式化简、求值【方法点睛【方法点睛】1.1.诱导公式的作用诱导公式的作用诱导公式揭示了诱导公式揭示了 ,，-,2-,2-与与的三角函数值的三角函数值之间的关系，应用诱导公式可以将任意角

16、的三角函数化为锐角之间的关系，应用诱导公式可以将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，是化归思想的具体体现的三角函数，是化归思想的具体体现. . 22.2.诱导公式的记忆方法与规律诱导公式的记忆方法与规律(1)(1)记忆口诀记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限奇变偶不变，符号看象限”的意义：公式左边的意义：公式左边的角可以表示为的角可以表示为k k (kZ(kZ) )的形式，的形式，“奇、偶奇、偶”是指是指k k的的奇偶性；奇偶性；“符号符号”是指把任意角是指把任意角看成是锐角时原函数值的符看成是锐角时原函数值的符号号. .(2)(2)可以分类记忆：函数名称可以分类记忆：函数名称“变与不变变与不变”

17、，函数值的符号，函数值的符号“变与不变变与不变”. . 2【例【例2 2】已知】已知f(xf(x)= )= (1)(1)化简化简f(xf(x););(2)(2)求求 的值的值. .【解题指南【解题指南】(1)(1)利用诱导公式化简；利用诱导公式化简；(2)(2)利用利用(1)(1)的结果及诱的结果及诱导公式化负角为正角，化大角为小角再求值导公式化负角为正角，化大角为小角再求值. .222sin(x)cos(x)cos(x)1 31 sin xcos(x)sin (x)cot(x)22217f()3【规范解答【规范解答】(1)f(x)=(1)f(x)=222sinx ( cosx)( cosx)

18、11 sin xsinxcos xtanx 222sinxcosxcosx12sin xsinxtanxcosx(2sinx1)1sinx(2sinx1) tanxcosx11sinx tanxtan x(2)(2)= =221711f()17173tan ()tan33 2221111.3tan (6)tan ()tan333【反思【反思感悟感悟】关于三角函数式的求值题，要遵循先化简再求关于三角函数式的求值题，要遵循先化简再求值的原则，否则会造成计算过程冗长甚至计算错误，而在化简值的原则，否则会造成计算过程冗长甚至计算错误，而在化简时也一定要把结果化成最简形式，继而直接将相应变量代入即时也一

19、定要把结果化成最简形式，继而直接将相应变量代入即可得结果可得结果. . 【变式训练【变式训练】化简：化简：【解析【解析】当当k k为偶数时，令为偶数时，令k=2n(nZ),k=2n(nZ),则原式则原式= =sin(k) cos(k1)tan(k).sin(k1)cos(k) tan(k)sin(2n) cos(2n1)tan(2n)sin(2n1)cos(2n) tan(2n)sin() cos() tansin() costan()sin( cos ) tan1.sincos( tan ) 当当k k为奇数时，令为奇数时，令k=2n+1(nZ).k=2n+1(nZ).则原式则原式= = 综

20、上所述，原式综上所述，原式=1. =1. sin(2n1)cos(2n) tan(2n1)sin(2n2)cos(2n1)tan2n1()sin() cos() tan()sincos() tan()sincostan1.sin( cos ) ( tan ) 同角三角函数关系式及诱导公式的综合应用同角三角函数关系式及诱导公式的综合应用【方法点睛【方法点睛】诱导公式及同角三角函数关系式的应用诱导公式及同角三角函数关系式的应用(1)(1)利用同角的三角函数关系式，可把正弦化余弦，余弦化正弦，利用同角的三角函数关系式，可把正弦化余弦，余弦化正弦，切化弦及弦化切；切化弦及弦化切；(2)(2)利用诱导公

21、式可以把角负化正，大化小，异名化同名，公式利用诱导公式可以把角负化正，大化小，异名化同名，公式起着变名、变号、变角的作用，这些变换在三角函数式的化简、起着变名、变号、变角的作用，这些变换在三角函数式的化简、求值、证明中有着广泛的应用求值、证明中有着广泛的应用. . 【提醒【提醒】对三角函数化简时，关键是基本关系式及其变形的灵对三角函数化简时，关键是基本关系式及其变形的灵活应用，特别是活应用，特别是“1”1”的代换，使表达式结构得到统一，其中的代换，使表达式结构得到统一，其中要注意尽量使函数名称减少和角的种类减少要注意尽量使函数名称减少和角的种类减少. . 【例【例3 3】在】在ABCABC中，

22、若中，若sin(2-A)= sin(2-A)= ， = = ，求，求ABCABC的三个内角的度数的三个内角的度数. .【解题指南【解题指南】利用诱导公式化简后，由同角三角函数关系式求利用诱导公式化简后，由同角三角函数关系式求出两个角的度数，再由三角形内角和求出第三个角出两个角的度数，再由三角形内角和求出第三个角. .2sin(B)3cosA2cos(B)【规范解答【规范解答】sin(2-A)= sin(2-A)= ， ， 两式分别平方，再相加得：两式分别平方，再相加得：2cos2cos2 2A=1A=1，cosAcosA= = ；当当cosAcosA= = 时，时，cosBcosB= =又又A

23、 A，B B是三角形的内角，是三角形的内角，2sin(B)3cosA2cos(B) sinA2sinB3cosA2cosB，227A,B,CAB;4612 2232，当当 时，时， , ,又又A A，B B是三角形的内角，是三角形的内角， , ,A+BA+B，不合题意，不合题意. .综上可得，综上可得，ABCABC的三个内角的度数分别是的三个内角的度数分别是 . . 2cosA2 3cosB2 35A,B467A,B,C4612【反思【反思感悟感悟】1.1.诱导公式在解三角形中经常用到，解题时常诱导公式在解三角形中经常用到，解题时常用到三角形中角的关系：用到三角形中角的关系：A+B=-CA+B

24、=-C，2A+2B+2C=22A+2B+2C=2， ; ;2.2.求角时，一般是先求出该角的某一三角函数值，再确定该角求角时，一般是先求出该角的某一三角函数值，再确定该角的范围，最后求出角的大小的范围，最后求出角的大小. . ABC22【变式训练【变式训练】已知已知是是ABCABC的一个内角，且的一个内角，且coscos是方程是方程5x5x2 2-7x-6=0-7x-6=0的根，求的根，求 的值的值. .233sin() sin() tan (2) tan()22cos() cos()22【解析【解析】解方程解方程5x5x2 2-7x-6=0-7x-6=0得得x x1 1=2=2，x x2 2

25、= ,= ,由题意得由题意得coscos= ,= ,是三角形的内角，是三角形的内角， , , . .原式原式= =353524sin1 cos5 sin4tancos3 232cos( cos ) tantantan4tan.sin( sin )tan3 【变式备选【变式备选】若若A A1 1B B1 1C C1 1的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的余弦值分别等于A A2 2B B2 2C C2 2的三个内角的正弦值，判断的三个内角的正弦值，判断A A1 1B B1 1C C1 1和和A A2 2B B2 2C C2 2的形状的形状. . 【解析【解析】因为三角形的内角的正弦值都大于因为三

26、角形的内角的正弦值都大于0 0，所以所以A A1 1B B1 1C C1 1的三个内角的余弦值都大于的三个内角的余弦值都大于0 0，所以所以A A1 1B B1 1C C1 1的三个内角都是锐角；的三个内角都是锐角；故故A A1 1B B1 1C C1 1为锐角三角形为锐角三角形. .显然显然A A2 2B B2 2C C2 2为非直角三角形为非直角三角形. .若若A A2 2B B2 2C C2 2也是锐角三角形，也是锐角三角形，根据根据sinAsinA2 2=cosA=cosA1 1= = ，sinBsinB2 2=cosB=cosB1 1= = ，1sin(A )21sin(B )2si

27、nCsinC2 2=cosC=cosC1 1= =所以所以 ，这与三角形的内角和是，这与三角形的内角和是相矛盾，所以假设不成立，所以相矛盾，所以假设不成立，所以A A2 2B B2 2C C2 2是钝角三角形是钝角三角形. . 2112121AA2sin(C )BB22CC2得：，2221113ABC(ABC )22【易错误区【易错误区】同角三角函数平方关系的应用误区同角三角函数平方关系的应用误区【典例】【典例】(2011(2011重庆高考重庆高考) )若若 ，则，则tantan=_.=_.【解题指南【解题指南】根据角的范围，先求出根据角的范围，先求出sinsin的值，再根据商数的值，再根据商

28、数关系求出正切值关系求出正切值. . 33cos( ,)52 ，且【规范解答【规范解答】因为因为所以所以 . .答案：答案：33( ,),cos25 ，24sin1 cos,5 所以sin4tancos3 43【阅卷人点拨【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：得到以下误区警示和备考建议： 误误区区警警示示求解本题时常会出现以下两种失误：求解本题时常会出现以下两种失误：(1)(1)题干中已给出题干中已给出的范围，求解时易忽视此范围而的范围，求解时易忽视此范围而致错，得到致错，得到sinsin有两值；有两值；(2)

29、(2)虽注意到虽注意到的范围，却判断错的范围，却判断错sinsin的符号，继的符号，继而导致所求而导致所求tantan的值错误的值错误. . 备备考考建建议议由同角三角函数的平方关系求由同角三角函数的平方关系求sinsin或或coscos时，若时，若没有限定角没有限定角的范围，则的范围，则sinsin或或coscos的符号会有的符号会有两种，但更多的情况是首先要根据角两种，但更多的情况是首先要根据角的范围判定的范围判定出出sinsin或或coscos的符号，不合题意的一定要舍去的符号，不合题意的一定要舍去. . 1.(20121.(2012北海模拟北海模拟) ) 的值为的值为_._.【解析【解

30、析】原式原式= = =答案：答案：97costan()sin2146costan()sin46223tan262323232.(20122.(2012南宁模拟南宁模拟) )已知已知 , ,则则 =_;=_;sinsin2 2+sincos+2=_.+sincos+2=_.tan1tan1 sin3cossincos【解析【解析】= =答案：答案：tan11tan,tan12 由得13sin3costan352.1sincostan1312 2222sinsin cossinsin cos22sincos2211tantan134222.1tan1514513353.(20123.(2012成都

31、模拟成都模拟) )已知已知 , ,则则tantan=_.=_.【解析【解析】sinsin2 2+cos+cos2 2=1,=1,即即4m4m2 2-32m=0-32m=0，解得，解得m=0m=0或或m=8.m=8. ,sin ,sin0,cos0,cos0.0.答案：答案：m342msin,cos()m5m52 22m342m()()1m5m52 5125sin,cos,tan.131312 5124.(20124.(2012重庆模拟重庆模拟) )已知已知 , ,则则cos(-cos(-270270)=_,)=_,若若为第二象限角，则为第二象限角，则 =_. =_. 4sin 5405 2sin(180)cos(360 )tan(180) 【解析【解析】 , ,cos(-270cos(-270)=cos(270)=cos(270-)=-cos(90-)=-cos(90-)-)=-sin=-sin= ,= ,是第二象限角，是第二象限角， , ,= .= .答案：答案：44sin(540),sin55 4534cos,tan53 22sin(180)cos(360 )(sincos )tan(180)tan 132541003 435100