高中数学 11.3几何概型课件 文 新人教A版

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1、第三节 几何概型考考纲纲点点击击 三年三年6 6考考 高考指数高考指数: :内容内容知识要求知识要求了解了解(A)(A)理解理解(B)(B)掌握掌握(C)(C)几何概型几何概型1.1.对几何概型的考查是高考的重点；对几何概型的考查是高考的重点；2.2.题型以选择题和填空题为主，经常与线性规划、不等式的解题型以选择题和填空题为主，经常与线性规划、不等式的解集、方程的根所在的区间等问题相结合集、方程的根所在的区间等问题相结合. .1.1.几何概型几何概型(1)(1)定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的_成比例成比例, ,则称这样的概率模型

2、为几何概率则称这样的概率模型为几何概率模型模型, ,简称几何概型简称几何概型. .(2)(2)特点：特点：无限性：试验中所有可能出现的结果无限性：试验中所有可能出现的结果( (基本事件基本事件) )有有_个个. .等可能性：每个基本事件出现的可能性等可能性：每个基本事件出现的可能性_._.长度长度( (面积或体积面积或体积) )无限多无限多相等相等【即时应用【即时应用】(1)(1)思考：古典概型与几何概型有何区别？思考：古典概型与几何概型有何区别？提示：提示：古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型的基本事件有有限个，几何概

3、型的基本事件有的，但古典概型的基本事件有有限个，几何概型的基本事件有无限个无限个. .(2)(2)判断下列概率模型，是否是几何概型判断下列概率模型，是否是几何概型( (请在括号中填写请在括号中填写“是是”或或“否否”) )在区间在区间10,1010,10内任取一个数，求取到内任取一个数，求取到1 1的概率；的概率； ( )( )在区间在区间10,1010,10内任取一个数，求取到绝对值不大于内任取一个数，求取到绝对值不大于1 1的数的数的概率；的概率； ( )( )在区间在区间10,1010,10内任取一个整数，求取到大于内任取一个整数，求取到大于1 1而小于而小于2 2的的数的概率；数的概率

4、； ( )( )向一个边长为向一个边长为4 cm4 cm的正方形的正方形ABCDABCD内投一点内投一点P P，求点，求点P P离中心不超离中心不超过过1 cm1 cm的概率的概率. ( ). ( )【解析【解析】中概率模型不是几何概型，虽然区间中概率模型不是几何概型，虽然区间10,1010,10有无限多个点，但取到有无限多个点，但取到“1”1”只是一个数字，不能构成区域长只是一个数字，不能构成区域长度；度；中概率模型是几何概型，因为区间中概率模型是几何概型，因为区间10,1010,10和和1,11,1上有无限多个数可取上有无限多个数可取( (满足无限性满足无限性) )，且在这两个区间内每个数

5、，且在这两个区间内每个数被取到的机会是相等的被取到的机会是相等的( (满足等可能性满足等可能性).).中概率模型不是几何概型，因为在区间中概率模型不是几何概型，因为在区间10,1010,10内的整内的整数只有数只有2121个个( (是有限的是有限的) )，不满足无限性特征；，不满足无限性特征；中概率模型是几何概型，因为在边长为中概率模型是几何概型，因为在边长为4 cm4 cm的正方形和半径的正方形和半径为为1 cm1 cm的圆内均有无数多个点，且这两个区域内的任何一个点的圆内均有无数多个点，且这两个区域内的任何一个点都有可能被投到，故满足无限性和等可能性都有可能被投到，故满足无限性和等可能性.

6、 .答案：答案：否否 是是 否否 是是2.2.几何概型的概率公式几何概型的概率公式P(A)=_P(A)=_A()()构成事件 的区域长度 面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度 面积或体积【即时应用【即时应用】(1)(1)有一杯有一杯2 2升的水，其中含一个细菌，用一个小杯从水中取升的水，其中含一个细菌，用一个小杯从水中取0.10.1升水，则此小杯中含有这个细菌的概率是升水，则此小杯中含有这个细菌的概率是_._.(2)(2)在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中，设中，设F F是横坐标与纵坐标的绝对值是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于均不大于2 2的点构成的区域，的点构成的区域，E E

7、是到原点的距离不大于是到原点的距离不大于1 1的点构的点构成的区域，向成的区域，向F F中随机投一点，则所投的点落在中随机投一点，则所投的点落在E E中的概率是中的概率是_._.(3)(3)在集合在集合A Am|m|关于关于x x的方程的方程x x2 2mxmx 1 10 0无实根无实根 中中随机地取一元素随机地取一元素m m，恰使式子，恰使式子lgmlgm有意义的概率为有意义的概率为_._.3m4【解析【解析】(1)P(1)P(2)(2)如图：区域如图：区域F F表示边长为表示边长为4 4的正方形的正方形ABCDABCD的内部的内部( (含边界含边界) )，区域，区域E E表示单位表示单位圆

8、及其内部，因此圆及其内部，因此P P(3)(3)由于由于m m2 24( 4( 1)01)0，得，得1m41m0.m0.在数轴上表示为在数轴上表示为 ，故所求概率为，故所求概率为答案：答案：(1)0.05 (2) (3)(1)0.05 (2) (3)0.110.05.22021.4 4163m44.51645xAyOBCD 与长度与长度( (角度角度) )有关的几何概型有关的几何概型【方法点睛【方法点睛】1.1.与长度有关的几何概型与长度有关的几何概型如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为率的计算公式为P(A)

9、=P(A)=A.构成事件 的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度2.2.与角度有关的几何概型与角度有关的几何概型当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段代替，这是两种不小作为区域度量来计算概率，且不可用线段代替，这是两种不同的度量手段同的度量手段. .【提醒【提醒】有时与长度或角度有关的几何概型有时与长度或角度有关的几何概型, ,题干并不直接给题干并不直接给出出, ,而是将条件隐藏而是将条件隐藏, ,与其他知识综合考查与其他知识综合考查. .【例【例1 1】(1)(1)在半径为在半径为1

10、 1的圆内的一条直径上任取一点，过这个的圆内的一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率为率为_._.(2)(2)在等腰在等腰RtRtABCABC中，过直角顶点中，过直角顶点C C在在ACBACB内作一条射线内作一条射线CDCD与与线段线段ABAB交于点交于点D D，则，则ADACADAC的概率为的概率为_._.【解题指南【解题指南】(1)(1)问题可转化为：直径上到圆心问题可转化为：直径上到圆心O O的距离小于的距离小于的点构成的线段长与直径长之比的点构成的线段长与直径长之比.(2).(2)要使要使

11、ADACAD|BC|BE|BC|，而劣弧，而劣弧 的长恰为圆周长的的长恰为圆周长的 由几何概型概率公式有由几何概型概率公式有P(A)P(A)CDCD1.31.3【反思【反思感悟感悟】将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解. .【变式备选【变式备选】1

12、.1.在长为在长为12 cm12 cm的线段的线段ABAB上任取一点上任取一点M M，并以线段，并以线段AMAM为一边作正方形，则此正方形的面积介于为一边作正方形，则此正方形的面积介于36 cm36 cm2 2到到81 cm81 cm2 2之之间的概率为间的概率为( )( )(A) (B) (C) (D)(A) (B) (C) (D)【解析【解析】选选C.C.正方形的面积介于正方形的面积介于36 cm36 cm2 2到到81 cm81 cm2 2之间，所以正之间，所以正方形的边长介于方形的边长介于6 cm6 cm到到9 cm9 cm之间之间. .线段线段ABAB的长度为的长度为12 cm12

13、cm，则所，则所求概率为求概率为1161814129 61.1242.2.在区间在区间-1-1，1 1上随机取一个数上随机取一个数x x， 的值介于的值介于0 0到到之间的概率为之间的概率为( )( )(A) (B) (C) (D)(A) (B) (C) (D)【解析【解析】选选A.A.在区间在区间-1-1，11上随机取一个数上随机取一个数x,x,即即x-1,1,x-1,1,要使要使 的值介于的值介于0 0到到 之间之间, ,需使需使 或或 -1x x1-1x x1，区间长度为，区间长度为 由几何由几何概型知概型知 的值介于的值介于0 0到到 之间的概率为之间的概率为xcos21321223x

14、cos21212x223 x,3222233或23，xcos212213.23 与面积与面积( (体积体积) )有关的几何概型有关的几何概型【方法点睛【方法点睛】1.1.与面积有关的几何概型问题与面积有关的几何概型问题如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其概率的计算公式为：概率的计算公式为： AP A.构成事件 的区域面积试验的全部结果所构成的区域面积2.2.与体积有关的几何概型问题与体积有关的几何概型问题如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公

15、式为：概率的计算公式为： AP A.构成事件 的区域体积试验的全部结果所构成的区域体积【例【例2 2】(1)(1)设有一个等边三角形网格，其中各个最小等边三角设有一个等边三角形网格，其中各个最小等边三角形的边长都是形的边长都是 cm.cm.现用直径为现用直径为2 cm2 cm的硬币投掷到此网格的硬币投掷到此网格上，则硬币落下后与格线没有公共点的概率为上，则硬币落下后与格线没有公共点的概率为_._.(2)(2)正方体正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为1 1，在正方体内随机取点，在正方体内随机取点M M，则使四棱锥则使四棱锥M MABCDABCD

16、的体积小于的体积小于 的概率为的概率为_._.4 316【解题指南【解题指南】(1)(1)硬币落下后与格线没有公共点即表示硬币中硬币落下后与格线没有公共点即表示硬币中心到三角形各边心到三角形各边( (格线格线) )的距离都大于的距离都大于1 1，在等边三角形内作三，在等边三角形内作三条与等边三角形三边距离均为条与等边三角形三边距离均为1 1的直线构成小等边三角形，当的直线构成小等边三角形，当硬币的中心在小三角形内时，硬币与三边都无交点，所以硬币硬币的中心在小三角形内时，硬币与三边都无交点，所以硬币与格线没有公共点就转化为硬币中心落在小等边三角形内的问与格线没有公共点就转化为硬币中心落在小等边三

17、角形内的问题题. .(2)(2)先根据四棱锥先根据四棱锥M MABCDABCD体积等于体积等于 时时M M的位置，再找出体积的位置，再找出体积小于小于 时时M M的位置的位置. .1616【规范解答【规范解答】(1)(1)记记E E“硬币落下后与格硬币落下后与格线没有公共点线没有公共点”，如图所示，如图所示. .小三角形的小三角形的边长为边长为P(E)P(E)答案答案: :2A B C2ABC32 3S14.S434 34 （）（）2 3.14(2)(2)正方体正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，设中，设M MABCDABCD的高为的高为h h，则，则 S

18、 S四边形四边形ABCDABCDh h= =又又S S四边形四边形ABCDABCD=1=1，h=h=若体积小于若体积小于 则则h h 即点即点M M在正方体的下半部分，在正方体的下半部分，P=P=答案答案: :131,61.21,612，1V12.V2正方体正方体12121,21.2111A B C1S3【互动探究【互动探究】本例本例(2)(2)中条件不变，中条件不变，求求M M落在三棱柱落在三棱柱ABCABCA A1 1B B1 1C C1 1内的概率；内的概率；求求M M落在三棱锥落在三棱锥B BA A1 1B B1 1C C1 1内的概率内的概率. .【解析【解析】V V正方体正方体1

19、1，V V三棱柱三棱柱= = 1 12 21=1=所求概率所求概率P P1 1= =VV三棱锥三棱锥= = B B1 1B B= = 1 12 21=1=所求概率所求概率P P2 2= =11321,61.6【反思【反思感悟感悟】对于几何图形中的几何概型问题，寻求事件构对于几何图形中的几何概型问题，寻求事件构成区域的关键是先找出符合题意的临界位置，如本例成区域的关键是先找出符合题意的临界位置，如本例(1)(1)中中“在等边三角形内作三条与等边三角形三边距离均为在等边三角形内作三条与等边三角形三边距离均为1 1的直线的直线构成小等边三角形构成小等边三角形”；(2)(2)中先找出满足条件时临界值中

20、先找出满足条件时临界值M M的位置，的位置，再寻求事件构成的区域再寻求事件构成的区域. .【变式备选【变式备选】设设1a11a1，1b11b1，则关于，则关于x x的方程的方程x x2 2axaxb b2 20 0有实根的概率是有实根的概率是( )( )(A) (B) (C) (D) (A) (B) (C) (D) 121418116【解析【解析】选选B.B.由题意知该方程有实根满足条件由题意知该方程有实根满足条件作平面区域如图，故方程作平面区域如图，故方程x x2 2+ax+b+ax+b2 2=0=0有实根时，有实根时，(a,b(a,b) )对应的平面区域为对应的平面区域为如图阴影部分如图阴

21、影部分, ,由由 得得A(1, ),A(1, ),由由 得得B(1, ),B(1, ),故故S S阴影阴影=2S=2SOABOAB= =1,=1,所以由几何概型得所求概率所以由几何概型得所求概率P=P=221a11b1a4b0，a2ba112a2ba1 121 112(-)12 22S1.S4阴影正方形 生活中的几何概型问题生活中的几何概型问题【方法点睛【方法点睛】生活中的几何概型度量区域的构造生活中的几何概型度量区域的构造将实际问题转化为几何概型中的长度、角度、面积、体积等常将实际问题转化为几何概型中的长度、角度、面积、体积等常见几何概型的求解问题，构造出随机事件见几何概型的求解问题，构造出

22、随机事件A A对应的几何图形，对应的几何图形，利用几何图形的度量来求随机事件的概率，根据实际问题的具利用几何图形的度量来求随机事件的概率，根据实际问题的具体情况，合理设置参数，建立适当的坐标系，在此基础上将试体情况，合理设置参数，建立适当的坐标系，在此基础上将试验的每一个结果一一对应于该坐标系的点，便可构造出度量区验的每一个结果一一对应于该坐标系的点，便可构造出度量区域域. .【提醒【提醒】当基本事件受两个连续变量控制时，一般是把两个连当基本事件受两个连续变量控制时，一般是把两个连续变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构续变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平

23、面上的一个区域，即可借助平面区域解决成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决. .【例【例3 3】(2012(2012鄂州模拟鄂州模拟) )甲、乙两船驶向一个不能同时停泊甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的. .如果甲船停泊时间为如果甲船停泊时间为1 h1 h，乙船停泊时间为，乙船停泊时间为2 h2 h，求它们中的任，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率意一艘都不需要等待码头空出的概率. .【解题指南【解题指南】要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比要使两船都不需要等待码头空出，

24、当且仅当甲比乙早到达乙早到达1 h1 h以上或乙比甲早到达以上或乙比甲早到达2 h2 h以上以上. .【规范解答【规范解答】这是一个几何概型问题这是一个几何概型问题. .设甲、乙两艘船到达码设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为头的时刻分别为x x与与y y，A A为为“两船都不需要等待码头空出两船都不需要等待码头空出”，则则0 x24,0y24,0 x24,0y24,要使两船都不需要等待码头空出，当且要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达仅当甲比乙早到达1 h1 h以上或乙比甲早到达以上或乙比甲早到达2 h2 h以上以上, ,即即y yx1x1或或x xy2.y2.故所求事件构成集合

25、故所求事件构成集合A=(x,y)|yA=(x,y)|yx1x1或或x xy2,y2,xx0,240,24,y,y0,240,24.A A为图中阴影部分，全部结为图中阴影部分，全部结果构成集合果构成集合为边长是为边长是2424的正方形的正方形. .所求概率为所求概率为P(A)=P(A)=A的面积的面积2221124 12422224506.51 013.5761 152x xy yO O1 12 224242424y-xy-x=1=1x-yx-y=2=2【反思【反思感悟感悟】解答本题的关键是把两个时间分别用解答本题的关键是把两个时间分别用x x，y y两个两个坐标表示，构成平面内的点坐标表示，构

26、成平面内的点(x(x，y)y)，从而把时间是一段长度问，从而把时间是一段长度问题转化为平面图形的二维面积问题，进而转化成面积型几何概题转化为平面图形的二维面积问题，进而转化成面积型几何概型的问题型的问题. .【变式训练【变式训练】甲、乙两人约定上午甲、乙两人约定上午7:007:00至至8:008:00之间到某站乘公之间到某站乘公共汽车，在这段时间内有共汽车，在这段时间内有3 3班公共汽车，它们开车时刻分别为班公共汽车，它们开车时刻分别为7:207:20，7:407:40，8:008:00，如果他们约定，见车就乘，求甲、乙乘同，如果他们约定，见车就乘，求甲、乙乘同一车的概率一车的概率. .【解析

27、【解析】设甲到达汽车站的时刻为设甲到达汽车站的时刻为x x，乙到达汽车站的时刻为，乙到达汽车站的时刻为y y，则则7x8,7y87x8,7y8，即甲、乙两人到达汽车站的时刻，即甲、乙两人到达汽车站的时刻(x(x，y)y)所对应的区域在平面直角坐标系中画出所对应的区域在平面直角坐标系中画出( (如图所示如图所示) )是大正方是大正方x xy yO O8:008:007:407:407:207:207:007:007:207:20 7:407:40 8:008:00形形. .将三班车到站的时刻在图形中画出，则甲、乙两人要想乘同将三班车到站的时刻在图形中画出，则甲、乙两人要想乘同一班车，必须满足一班

28、车，必须满足 即即(x(x，y)y)必须落在图形中的三个带阴影的小必须落在图形中的三个带阴影的小正方形内，所以由几何概型的计算公式得，正方形内，所以由几何概型的计算公式得，P P 即即甲、乙乘同一车的概率为甲、乙乘同一车的概率为221313.13（ ）1.31112127x77y77x77y7333333，；，；227x8 7y8.33，【易错误区【易错误区】对几何图形认识不清致误对几何图形认识不清致误【典例】【典例】(2011(2011江西高考江西高考) )小波通过做游戏的方式来确定周末小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大活动，他随机地往单位圆

29、内投掷一点，若此点到圆心的距离大于于 则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于 则去打篮则去打篮球；否则，在家看书球；否则，在家看书. .则小波周末不在家看书的概率为则小波周末不在家看书的概率为_._.14，12，【解题指南【解题指南】根据条件先求出小波周末去看电影的概率，再求根据条件先求出小波周末去看电影的概率，再求出他去打篮球的概率，易得周末不在家看书的概率出他去打篮球的概率，易得周末不在家看书的概率. .【规范解答【规范解答】记记“看电影看电影”为事件为事件A A，“打篮球打篮球”为事件为事件B B，“不在家看书不在家看书”为事件为事件C.C.P(C)

30、=P(A)+P(B)=P(C)=P(A)+P(B)=答案：答案：2211( )( )13124P(A)11P(B)144116 ，3113.416161316【阅卷人点拨【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：得到以下误区警示和备考建议：误误区区警警示示在解答本题时易出现以下两个错误：在解答本题时易出现以下两个错误：(1)(1)错填错填 或或 原因是不能将事件分解成两个事件原因是不能将事件分解成两个事件的和；的和；(2)(2)把事件对应的区域误认为是长度问题，导致错误把事件对应的区域误认为是长度问题，导致错误.

31、.34116，备备考考建建议议解决几何概型问题时，还有以下几点容易造成失分，解决几何概型问题时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：在备考时要高度关注：(1)(1)不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；错误；(2)(2)基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；(3)(3)利用几何概型的概率公式时，忽视验证事件是否利用几何概型的概率公式时，忽视验证事件是否等可能性导致错误等可能性导致错误. .1.(20111.(2011福建高考福建高考) )如图，矩形如图，矩形ABCDABCD中，中，点点E E

32、为边为边CDCD的中点，若在矩形的中点，若在矩形ABCDABCD内部随内部随机取一个点机取一个点Q Q，则点，则点Q Q取自取自ABEABE内部的概内部的概率等于率等于( )( )(A) (B) (C) (D)(A) (B) (C) (D)【解析【解析】选选C.C.由题意知，由题意知，P=P=14131223ABEABCD1AB BCS12.SAB BC2矩形2.(20122.(2012武汉模拟武汉模拟) )已知平面区域已知平面区域=(x,y=(x,y)| ,)| ,直直线线y=mx+2my=mx+2m和曲线和曲线y= y= 有两个不同的交点，它们围成的平有两个不同的交点，它们围成的平面区域为

33、面区域为M M，向区域，向区域上随机投一点上随机投一点A A，点，点A A落在区域落在区域M M内的概率内的概率为为P(M)P(M)，若，若0m1,0m1,则则P(M)P(M)的取值范围为的取值范围为( )( )(A)(0(A)(0， (B)(0(B)(0， (C)(C) ，1 1 (D)(D) ，1 12y0y4x24x22222222【解析【解析】选选D.D.已知直线已知直线y=mx+2my=mx+2m过半圆过半圆 上一点上一点(-2,0),(-2,0),当当m=0m=0时直线时直线与与x x轴重合轴重合, ,这时这时P(M)=1,P(M)=1,故可排除故可排除A,B,A,B,若若m=1,

34、m=1,如图可求得如图可求得P(M)= ,P(M)= ,故选故选D.D.2y4x223.(20113.(2011湖南高考湖南高考) )已知圆已知圆C C：x x2 2+y+y2 2=12,=12,直线直线l：4x+3y=25.4x+3y=25.(1)(1)圆圆C C的圆心到直线的圆心到直线l的距离为的距离为_；(2)(2)圆圆C C上任意一点上任意一点A A到直线到直线l的距离小于的距离小于2 2的概率为的概率为_._.【解析【解析】(1)x(1)x2 2+y+y2 2=12=12的圆心的圆心(0,0)(0,0)到直线到直线4x+3y=254x+3y=25的距离为：的距离为：224 03 02

35、5d5.43 (2)(2)作一条与作一条与4x+3y=254x+3y=25平行而且与平行而且与4x+3y=254x+3y=25的距离为的距离为2 2的直线交的直线交圆于圆于A A，B B两点，则两点，则|CA|=|CB|= |AB|=|CA|=|CB|= |AB|=ACB=60ACB=60, ,概率为概率为P=P=答案：答案：(1)5 (2)(1)5 (2)2 3,2 3.601.3606164.(20124.(2012黄冈模拟黄冈模拟) )圆圆O O有一内接正三角形，向圆有一内接正三角形，向圆O O内随机投一内随机投一点，则该点落在内接正三角形内的概率是点，则该点落在内接正三角形内的概率是_._.【解析【解析】设圆设圆O O的半径为的半径为R R，则正三角形的边长为，则正三角形的边长为P=P=答案：答案：22R2 R3R4，2133RR3 322.R43 34