高中数学 9.9空间向量的坐标运算配套课件 理 新人教A版

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1、第九节 空间向量的坐标运算三年三年2222考考 高考指数高考指数: :1.1.理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算. .2.2.掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式，掌握空间两点掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式，掌握空间两点间的距离公式间的距离公式. .3.3.理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影的概念的概念. . 1 1利用直线的方向向量和平面的法向量证明线线、线面及面利用直线的方向向量和平面的法向量证明线线、线面及面面的垂直、平行和解决线线、线面、面面的夹角问

2、题是高考的面的垂直、平行和解决线线、线面、面面的夹角问题是高考的热点；热点；2 2高考对本节的考查多以解答题的形式出现，综合考查空间高考对本节的考查多以解答题的形式出现，综合考查空间想象能力、运算能力和数形结合的思想想象能力、运算能力和数形结合的思想. . 1.1.空间向量的直角坐标运算空间向量的直角坐标运算设设a=(a=(a1 1,a,a2 2,a,a3 3) )，b=(b=(b1 1,b,b2 2,b,b3 3) )，则，则 运算或关系运算或关系 坐标运算坐标运算加法加法 减法减法 数量积数量积 平行平行 垂直垂直 空间任意空间任意两点对应两点对应的向量的向量 a a1 1=b=b1 1,

3、a,a2 2=b=b2 2,a,a3 3=b=b3 3a a1 1b b1 1+a+a2 2b b2 2+a+a3 3b b3 3=0 =0 _a+ ba+ b(a(a1 1+b+b1 1，a a2 2+b+b2 2,a,a3 3+b+b3 3) ) _a- ba- b(a(a1 1-b-b1 1,a,a2 2-b-b2 2,a,a3 3-b-b3 3) ) _a ba ba a1 1b b1 1+a+a2 2b b2 2+a+a3 3b b3 3 a =ba =bab312123123aaaR(bbb0)bbb或、0aba b设设A A（x x1 1,y,y1 1,z,z1 1），），B B

4、（x x2 2,y,y2 2,z,z2 2），），则则 =(x=(x2 2-x-x1 1,y,y2 2-y-y1 1,z,z2 2-z-z1 1). ). AB (1)(1)思考：在空间直角坐标系中思考：在空间直角坐标系中:P(x,y,z:P(x,y,z) )关于关于x x轴、轴、y y轴、轴、z z轴轴的对称点如何的对称点如何?P(x,y,z?P(x,y,z) )关于原点的对称点如何关于原点的对称点如何?P(x,y,z?P(x,y,z) )关于关于xOyxOy平面、平面、yOzyOz平面、平面、xOzxOz平面的对称点如何平面的对称点如何? ?记忆方法如何记忆方法如何? ?提示：提示：P(x

5、,y,zP(x,y,z) )关于关于x x轴的对称点为轴的对称点为P P1 1(x,-y,-z),(x,-y,-z),关于关于y y轴的轴的对称点为对称点为P P2 2(-x,y,-z),(-x,y,-z),关于关于z z轴的对称点为轴的对称点为P P3 3(-x,-y,z).(-x,-y,z).P(x,y,zP(x,y,z) )关于原点的对称点为关于原点的对称点为P P4 4(-x,-y,-z).(-x,-y,-z).P(x,y,zP(x,y,z) )关于关于xOyxOy平面的对称点为平面的对称点为P P5 5(x,y,-z),(x,y,-z),关于关于xOzxOz平面平面的对称点为的对称点

6、为P P6 6(x,-y,z),(x,-y,z),关于关于yOzyOz平面的对称点为平面的对称点为P P7 7(-x,y,z).(-x,y,z).上述结论的记忆方法为上述结论的记忆方法为: :关于谁对称谁就不变关于谁对称谁就不变, ,其余符号相反其余符号相反. .例如例如: :关于关于x x轴的对称点横坐标不变轴的对称点横坐标不变, ,而纵坐标、竖坐标分别变而纵坐标、竖坐标分别变为原来的相反数为原来的相反数. . (2)(2)已知向量已知向量a=(1,1,0),=(1,1,0),b=(-1,0,2)=(-1,0,2)且且k ka+ +b与与2 2a- -b互相垂直，互相垂直，则则k=_.k=_

7、.【解析【解析】由题意得由题意得k ka+ +b=(k-1,k,2),2=(k-1,k,2),2a- -b=(3,2,-2),=(3,2,-2),(k(ka+ +b) )(2(2a- -b)=3(k-1)+2k-2)=3(k-1)+2k-22 2=5k-7=0,=5k-7=0,解得解得k=k=答案：答案：7.5752.2.夹角和距离公式夹角和距离公式(1)(1)设设a=(a=(a1 1,a,a2 2,a,a3 3),),b=(b=(b1 1,b,b2 2,b,b3 3) )，则夹角公式为：，则夹角公式为：coscosa, ,b= = =(2)(2)两点间的距离公式两点间的距离公式在空间直角坐标

8、系中，已知在空间直角坐标系中，已知A(xA(x1 1,y,y1 1,z,z1 1) )，B(xB(x2 2,y,y2 2,z,z2 2) )，则，则d dA,BA,B= =112233222222123123a ba ba baaabbb_._.|a ba b _._.|AB| 222212121(xx )(yy )(zz )【即时应用【即时应用】(1)(1)思考：向量的夹角与两直线所成角的定义相同吗？思考：向量的夹角与两直线所成角的定义相同吗？提示提示: :向量的夹角与两直线所成角从定义上类似，但取值范围向量的夹角与两直线所成角从定义上类似，但取值范围不同，向量夹角的范围是不同，向量夹角的范

9、围是0,0,，两直线所成角的范围为，两直线所成角的范围为0, 0, ，异面直线所成角范围为，异面直线所成角范围为(0(0， . .22(2)(2)已知空间三点已知空间三点A(1,1,1),B(-1,0,4),C(2,-2,3)A(1,1,1),B(-1,0,4),C(2,-2,3)，的夹角的夹角的大小是的大小是_【解析【解析】由题意知由题意知 =(-2,-1,3)=(-2,-1,3)， =(-1,3,-2)=(-1,3,-2)，故，故coscos= = 所以所以=答案：答案：AB CA AB CA71,142ABCA 2323ABCA则与 (3)(3)已知已知a=(1-t,1-t,t),=(1

10、-t,1-t,t),b=(2,t,t)=(2,t,t)，则，则b- -a的最小值为的最小值为. .【解析【解析】由题意得：由题意得：b-a=(1+t,2t-1,0)=(1+t,2t-1,0)，当当t= t= 时，时，b- -a取得最小值为取得最小值为答案：答案：22219ba(1t)(2t1)05(t)55，153 5.53 553.3.平面的法向量平面的法向量(1)(1)向量与平面垂直：如果表示向量向量与平面垂直：如果表示向量a的有向线段所在直线的有向线段所在直线_平面平面，则称这个向量垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，记作_._.(2)(2)平面的法向量：如果平面的法向量：如果_，

11、那么向量，那么向量a叫做平面叫做平面的的法向量法向量. . 垂垂直于直于aa【即时应用【即时应用】(1)(1)思考：如何求一个平面的法向量的坐标思考：如何求一个平面的法向量的坐标? ?提示提示: :求一个平面的法向量的坐标求一个平面的法向量的坐标, ,首先要建立空间直角坐标系，首先要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：然后用待定系数法求解，一般步骤如下：设出平面的法向量为设出平面的法向量为n=(x,y,z=(x,y,z).).找出找出( (求出求出) )平面内的两个不共线的向量的坐标平面内的两个不共线的向量的坐标a=(a=(a1 1,a,a2 2,a,a3 3),),b=(

12、b=(b1 1,b,b2 2,b,b3 3).).根据法向量的定义建立关于根据法向量的定义建立关于x,y,zx,y,z的方程组的方程组 . .解方程组，取其中的一个解，即得法向量解方程组，取其中的一个解，即得法向量. . 00 nanb(2)(2)若若A(0,2, ),B(1,-1, ),C(-2,1, )A(0,2, ),B(1,-1, ),C(-2,1, )是平面是平面内的三点，内的三点，设平面设平面的法向量的法向量n=(x,y,z=(x,y,z) )，则，则xyzxyz=_.=_.【解析【解析】 =(1=(1，-3-3，- )- )， =(-2,-1,- ),=(-2,-1,- ),由由

13、 得得 所以所以xyz= yyxyz= yy(- y)=23(-4)(- y)=23(-4)答案：答案：23(-4) 23(-4) 19858587474n =x-3y- z=0 =x-3y- z=0n =-2x-y- z=0 =-2x-y- z=0 x= yx= yz=- yz=- y234374742343AB AC AB AC 空间向量的坐标运算空间向量的坐标运算【即时应用【即时应用】空间向量坐标运算的有关公式及注意事项空间向量坐标运算的有关公式及注意事项(1)(1)数乘运算：若数乘运算：若a=(x=(x1 1,y,y1 1,z,z1 1),R,),R,则则a=(x=(x1 1,y,y1

14、 1,z,z1 1).).(2)(2)两点间距离公式：若两点间距离公式：若A(xA(x1 1,y,y1 1,z,z1 1) )，B(xB(x2 2,y,y2 2,z,z2 2),),则则 |AB| 222212121(xx )(yy )(zz ) .(3)(3)中点公式中点公式: :若若A(xA(x1 1,y,y1 1,z,z1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2,z,z2 2),C(x,y,z),C(x,y,z)是是ABAB的中点，的中点，则则(4)(4)空间向量的坐标运算，类似于平面向量的坐标运算，关键是空间向量的坐标运算，类似于平面向量的坐标运算，关键是熟记有关的公式熟记有关的公

15、式. .在计算和证明立体几何问题时，若能利用空间在计算和证明立体几何问题时，若能利用空间向量的坐标运算来求解，就可以避免较为复杂的空间想象向量的坐标运算来求解，就可以避免较为复杂的空间想象. . 121212xxyyzzx,y,z.222【例【例1 1】设向量】设向量a=(3=(3，5 5，-4)-4)，b=(2,1,8),=(2,1,8),计算计算2 2a+3+3b,3,3a-2-2b, ,ab以及以及a与与b所成角的余弦值，并确定所成角的余弦值，并确定，应满足的条件，应满足的条件，使使a+b与与z z轴垂直轴垂直. .【解题指南【解题指南】代入向量坐标运算公式求代入向量坐标运算公式求2 2

16、a+3+3b,3,3a-2-2b, ,ab，利用数量积求利用数量积求a与与b的夹角余弦值，利用的夹角余弦值，利用(a+b) )(0,0,1)(0,0,1)=0,=0,确定确定，的关系的关系. . 【规范解答【规范解答】2 2a+3+3b=2=2(3,5,-4)+3(3,5,-4)+3(2,1,8)=(2,1,8)=(6,10,-8)+(6,3,24)=(12,13,16)(6,10,-8)+(6,3,24)=(12,13,16)，3 3a-2-2b=3=3(3,5,-4)-2(3,5,-4)-2(2,1,8)(2,1,8)=(9=(9，1515，-12)-(4-12)-(4，2 2，16)=(

17、516)=(5，1313，-28)-28)，ab=(3=(3，5 5，-4)-4)(2(2，1 1，8)=6+5-32=-21.8)=6+5-32=-21.|a|= |= |b|=|=22235( 4)50, 22221869,217 138cos|2305069 ， ，a baba b设与设与z z轴共线的一个向量坐标为轴共线的一个向量坐标为(0,0,1),(0,0,1),则则(a+b) )(0(0，0 0，1)1)=(3+2=(3+2，5+5+，-4+8)-4+8)(0(0，0 0，1)1)=-4+8=0=-4+8=0，即，即=2=2，当当，满足满足=2=2时，可使时，可使a+b与与z z

18、轴垂直轴垂直. . 【反思【反思感悟感悟】1.1.解决此类问题，除熟练掌握有关公式外，还解决此类问题，除熟练掌握有关公式外，还要熟记相关运算律，可类比平面向量有关公式记忆要熟记相关运算律，可类比平面向量有关公式记忆. .2.2.本题在确定本题在确定，的关系时，关键要理解与的关系时，关键要理解与z z轴垂直，确定轴垂直，确定相应坐标，利用垂直满足的条件来确定相应坐标，利用垂直满足的条件来确定，的关系的关系. . 【变式训练【变式训练】已知已知ABCABC的顶点的顶点A(1,1,1),B(2,2,2),C(3,2,4),A(1,1,1),B(2,2,2),C(3,2,4),试求试求(1)(1)AB

19、CABC的重心坐标的重心坐标; ;(2)(2)ABCABC的面积的面积; ;(3)(3)ABCABC的的ABAB边上的高边上的高. . 【解析【解析】(1) (1) 设重心坐标为设重心坐标为(x(x0 0,y,y0 0,z,z0 0),),则则x x0 0= y= y0 0= =z z0 0= = 重心坐标为重心坐标为(2, ).(2, ).(2) =(1,1,1), =(2,1,3), =(2) =(1,1,1), =(2,1,3), =2+1+3=6,2+1+3=6,cosA=coscosA=cossinAsinA= =SSABCABC= = sinAsinA= =1232,31225,3

20、31247,335 7,3 3AB AC |AB|3,|AC|14,AB AC 66AB,AC,31442 3611.42712|AB| |AC| 116314227，(3)(3)设设ABAB边上的高为边上的高为CD,CD,则则S SABCABC= =故故ABCABC的的ABAB边上的高为边上的高为1|AB| |CD|2 ，62|CD|2.132 2. 利用空间向量证平行、垂直利用空间向量证平行、垂直【方法点睛【方法点睛】1.1.用向量证平行的方法用向量证平行的方法 证明两直线的方向向量共线证明两直线的方向向量共线. . 线线线线平行平行线面线面平行平行 （1 1）证明该直线的方向向量与平面的

21、某一法向）证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；量垂直；（2 2）证明直线的方向向量与平面内某直线的方）证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行向向量平行. . 面面面面平行平行 （1 1）证明两平面的法向量为共线向量；）证明两平面的法向量为共线向量；（2 2）转化为线面平行、线线平行问题）转化为线面平行、线线平行问题. . 2 2用向量证明垂直的方法用向量证明垂直的方法线线线线垂直垂直 证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零的数量积为零 线面线面垂直垂直 证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或证明直线的方向向量与平面的法

22、向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示将线面垂直的判定定理用向量表示 面面面面垂直垂直 证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示判定定理用向量表示 【提醒【提醒】用向量证明平行、垂直时，要注意解题的规范性用向量证明平行、垂直时，要注意解题的规范性. .如如证明线面平行时，仍需要表明一条直线在平面内、另一条直线证明线面平行时，仍需要表明一条直线在平面内、另一条直线在平面外在平面外. . 【例【例2 2】(1)(1)若直线若直线l的方向向量为的方向向量为a，平面，平面的法向量为的法向量为n，能，能使使l的是的是( )( )(A)(A)a

23、(1,0,0)(1,0,0)，n( (2,0,0)2,0,0)(B)(B)a(1,3,5)(1,3,5)，n(1,0,1)(1,0,1)(C)(C)a(0,2,1)(0,2,1)，n( (1,01,0，1)1)(D)(D)a(1(1，1,3)1,3)，n(0,3,1) (0,3,1) (2)(2)如图所示如图所示, ,在四棱锥在四棱锥P-ABCDP-ABCD中中,PC,PC平面平面ABCD,PC=2,ABCD,PC=2,在四边在四边形形ABCDABCD中中,B=C=90,B=C=90,AB=4,CD=1,AB=4,CD=1,点点M M在在PBPB上上,PB=4PM,PB,PB=4PM,PB与与

24、平面平面ABCDABCD成成3030的角的角. .求证求证:CM:CM平面平面PAD;PAD;求证求证: :平面平面PABPAB平面平面PAD. PAD. 【解题指南【解题指南】(1)(1)验证验证an=0=0是否成立即可是否成立即可. .(2)(2)建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系. .可证明可证明 与平面与平面PADPAD的法向量垂直；也可将的法向量垂直；也可将 分解为平面分解为平面PADPAD内的两个向量的线性组合，利用共面向量定理证明内的两个向量的线性组合，利用共面向量定理证明. .取取APAP中点中点E E，利用向量证明，利用向量证明BEBE平面平面PADPAD即可即可. . C

25、MCM【规范解答【规范解答】(1)(1)选选D.D.若若l，则，则an=0.=0.经验证知，经验证知，D D满足条件满足条件. .(2)(2)由题意可知：以由题意可知：以C C为坐标原点为坐标原点,CB,CB所在直线为所在直线为x x轴轴,CD,CD所在直线所在直线为为y y轴，轴，CPCP所在直线为所在直线为z z轴建立如图所示的空间直角坐标系轴建立如图所示的空间直角坐标系C Cxyz.xyz.PCPC平面平面ABCD,ABCD,PBCPBC为为PBPB与平面与平面ABCDABCD所成的角，所成的角，PBC=30PBC=30. .PC=2,BC= PB=4.PC=2,BC= PB=4.D(0

26、,1,0),B( 0,0),A( 4,0),P(0,0,2),M( ,0, ),D(0,1,0),B( 0,0),A( 4,0),P(0,0,2),M( ,0, ), =(0,-1,2), =( ,3,0), =(0,-1,2), =( ,3,0),CM=( ,0, ), CM=( ,0, ), 方法一方法一: :令令n=(x,y,z=(x,y,z) )为平面为平面PADPAD的一个法向量的一个法向量, ,则则 ，即，即 ， ， 2 3,2 3,2 3,3232DP DA2 33232-y+2z=0-y+2z=02 x+3y=02 x+3y=0z= yz= yx=- yx=- y31232DP

27、0DA0 nn令令y=2,y=2,得得n=(- ,2,1).=(- ,2,1).n , ,又又CM CM 平面平面PADPAD， CMCM平面平面PAD.PAD.方法二方法二: =(0,1,-2), =( ,4,-2): =(0,1,-2), =( ,4,-2)，假设，假设 平面平面PADPAD，则存在则存在x,yx,y使使则则 ，方程组的解为，方程组的解为 ，333CM32 0 10,22 nCMPD PA CMCMxPDyPA, =2 y=2 y0=x+4y0=x+4y =-2x-2y =-2x-2yx=-1 x=-1 y=y=1CMPDPA4 14323322 3由共面向量定理知由共面向

28、量定理知 与与 、 共面，故假设成立，共面，故假设成立，又又CM CM 平面平面PAD,PAD,CMCM平面平面PAD.PAD.取取APAP的中点的中点E,E,连结连结BEBE，则，则E( ,2,1),E( ,2,1), =(- ,2,1).PB=AB,BEPA. =(- ,2,1).PB=AB,BEPA.又又 =(- ,2,1)=(- ,2,1)(2 ,3,0)=0(2 ,3,0)=0，BEDABEDA，BEDABEDA，又，又PADA=A.PADA=A.BEBE平面平面PAD,PAD,又又BEBE平面平面PAB,PAB,平面平面PABPAB平面平面PAD. PAD. CMPD PA 33B

29、E BE DA 33【互动探究【互动探究】本例本例(2)(2)的条件不变，结论改为的条件不变，结论改为“求证：求证：ABCM.”ABCM.”则如何用向量法证明？则如何用向量法证明？【证明【证明】由本例的解题过程可知由本例的解题过程可知 =(0,-4,0),=(0,-4,0), 即即ABCM. ABCM. AB 33CM(,0, ).2233AB CM0( 4) 000.22 ABCM ，【反思【反思感悟感悟】1.1.利用空间向量解决空间中线面位置关系的证利用空间向量解决空间中线面位置关系的证明问题，以代数运算代替复杂的空间想象，为解决立体几何问明问题，以代数运算代替复杂的空间想象，为解决立体几

30、何问题带来了简捷的方法题带来了简捷的方法. .2.2.用空间向量解决立体几何问题的关键是建立适当的坐标系，用空间向量解决立体几何问题的关键是建立适当的坐标系，并准确地确定点的坐标，另外运算错误也是解题中常出现的问并准确地确定点的坐标，另外运算错误也是解题中常出现的问题题. . 【变式备选【变式备选】如图如图, ,已知直三棱柱已知直三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中中, ,ABCABC为等腰直为等腰直角三角形角三角形,BAC=90,BAC=90, ,且且AB=AAAB=AA1 1,D,D、E E、F F分别为分别为B B1 1A A、C C1 1C C、BCBC的中点的中

31、点. .求证求证: :(1)DE(1)DE平面平面ABC;ABC;(2)B(2)B1 1FF平面平面AEF. AEF. 【证明【证明】如图建立空间直角坐标系如图建立空间直角坐标系A Axyz,xyz,令令AB=AAAB=AA1 1=4,=4,则则A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0),B(4,0,0),BA(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0),B(4,0,0),B1 1(4,0,4).(4,0,4).(1)(1)取取ABAB中点为中点为N,N,则则N(2,0,0),C(0,4,0),N(2,0,0),C(0,4,0),D(2,0,2),D(2,0,2), =(-2,

32、4,0), =(-2,4,0), =(-2,4,0), =(-2,4,0), DENC, DENC,又又NCNC在平面在平面ABCABC内内,DE,DE不在平面不在平面ABCABC内，故内，故DEDE平面平面ABC. ABC. DE NC DENC. (2) =(-2,2,-4), =(2,-2,-2), =(2,2,0),(2) =(-2,2,-4), =(2,-2,-2), =(2,2,0), =(-2) =(-2)2+22+2(-2)+(-4)(-2)+(-4)(-2)=0(-2)=0，则则 B B1 1FEFFEF， =(-2)=(-2)2+22+22+(-4)2+(-4)0=0.0=

33、0. 即即B B1 1FAF,FAF,又又AFFE=F,AFFE=F,BB1 1FF平面平面AEF. AEF. 1B FEFAF 1B F EF 1B FEF，1B F AF 1B FAF, 用空间向量求空间角用空间向量求空间角【方法点睛【方法点睛】1.1.异面直线所成角的求法异面直线所成角的求法 设设a、b分别是两异面直线分别是两异面直线l1 1、l2 2的方向向量，则的方向向量，则l1 1与与l2 2所成的角所成的角范围范围 求法求法 02（ ， coscos, a ba ba bcos,a ba ba b,与 的夹角aba b0 ， ab2.2.直线和平面所成角的求法直线和平面所成角的求

34、法如图所示，设直线如图所示，设直线l的方向向量为的方向向量为e，平面，平面的法向量为的法向量为n n，直线，直线l与平面与平面所成的角为所成的角为，两向量，两向量e与与n的夹角为的夹角为，则有，则有sinsin=|cos=|cos|=|=|.| | e ne nlleenn3.3.二面角的求法二面角的求法(1)(1)如图如图a a，ABAB、CDCD是二面角是二面角-l-的两个半平面内与棱的两个半平面内与棱l垂直垂直的直线，则二面角的大小的直线，则二面角的大小=(2)(2)如图如图b b、c c，n1 1，n2 2分别是二面角分别是二面角-l-的两个半平面的两个半平面，的法向量，则二面角的大小

35、的法向量，则二面角的大小满足满足coscos=cos=cosn1 1，n2 2或或-cos-cosn1 1，n2 2. . ABCD . ， 【例【例3 3】如图，在五面体】如图，在五面体ABCDEFABCDEF中，中，FAFA平面平面ABCD, ADBCFEABCD, ADBCFE，ABADABAD，M M为为ECEC的中点，的中点，AF=AB=BC=FE= AD.AF=AB=BC=FE= AD.(1)(1)求异面直线求异面直线BFBF与与DEDE所成角的大小；所成角的大小；(2)(2)证明：平面证明：平面AMDAMD平面平面CDECDE；(3)(3)求二面角求二面角A-CD-EA-CD-E

36、的余弦值的余弦值. . 12【解题指南【解题指南】(1)(1)通过求向量通过求向量 , , 的夹角来求异面直线所成的夹角来求异面直线所成的角；的角；(2)(2)证证 ， ，进而得，进而得CEAMCEAM，CEADCEAD，可可得结论成立；得结论成立；(3)(3)利用两平面法向量的夹角求二面角的大小利用两平面法向量的夹角求二面角的大小. .BFDE CEAM CEAD 【规范解答【规范解答】如图所示，建立空间直角坐标系，点如图所示，建立空间直角坐标系，点A A为坐标原为坐标原点点. .设设AB=1,AB=1,依题意得依题意得B(1,0,0),C(1,1,0)B(1,0,0),C(1,1,0)，D

37、(0,2,0),E(0,1,1)D(0,2,0),E(0,1,1)，F(0,0,1)F(0,0,1)，M( ,1, ).M( ,1, ).(1) =(-1,0,1),(1) =(-1,0,1), =(0,-1,1) =(0,-1,1)，于是于是coscos所以异面直线所以异面直线BFBF与与DEDE所成角为所成角为6060. . 1212BF DE00 11BF,DE.2|BF|DE|22 BFDE (2)(2)由由 =( ,1, )=( ,1, )， =(-1,0,1)=(-1,0,1)， =(0,2,0)=(0,2,0)，可得可得所以所以CEAM,CEAD.CEAM,CEAD.又又AMAD

38、=AAMAD=A，故，故CECE平面平面AMD.AMD.又又CECE平面平面CDE,CDE,所以平面所以平面AMDAMD平面平面CDE. CDE. 1212AM CE AD CE AM0 CE AD0. ，(3)(3)令平面令平面CDECDE的法向量为的法向量为u=(x,y,z=(x,y,z),),则则 于是于是令令x=1,x=1,可得可得u=(1,1,1)=(1,1,1)又由题设知平面又由题设知平面ACDACD的一个法向量为的一个法向量为v=(0,0,1).=(0,0,1).则则coscosu, ,v= =由条件知二面角为锐角，故所求二面角的余弦值为由条件知二面角为锐角，故所求二面角的余弦值

39、为-x+z-x+z=0,=0,-y+z-y+z=0=0. .00 13.|33 1u vuv3.3CE0,DE0. uu【反思【反思感悟感悟】1.1.异面直线的夹角与向量的夹角不同，应注意异面直线的夹角与向量的夹角不同，应注意思考它们的联系和区别；思考它们的联系和区别；2.2.直线与平面的夹角可以转化为直线的方向向量与平面的法向直线与平面的夹角可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角，由于向量方向的变化，所以要注意它们的区别与联量的夹角，由于向量方向的变化，所以要注意它们的区别与联系；系；3.3.用平面的法向量求二面角的大小时，一定要注意结合图形判用平面的法向量求二面角的大小时，一定要注意

40、结合图形判断二面角是锐角还是钝角断二面角是锐角还是钝角. . 【变式训练【变式训练】(2012(2012柳州模拟柳州模拟) )在长方体在长方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，AB=AB=BC=2BC=2，过，过A A1 1，C C1 1，B B三点的平面截去长方体的一个角后，得如图三点的平面截去长方体的一个角后，得如图所示的几何体所示的几何体ABCD-AABCD-A1 1C C1 1D D1 1，且这个几何体的体积为，且这个几何体的体积为(1)(1)求棱求棱A A1 1A A的长的长; ;(2)(2)若在线段若在线段BCBC1 1上存在点上存在点P P

41、，使直线，使直线A A1 1PCPC1 1D D，求二面角，求二面角D-AD-A1 1P-BP-B的大小的大小. . 40.3【解析【解析】(1)(1)设设A A1 1A=h,A=h,则则=2=22 2h- h- 2 22 2h= ,h= ,解得：解得：h=4,h=4,即即A A1 1A A的长为的长为4.4.(2)(2)以以 、 、 为为x x轴、轴、y y轴、轴、z z轴的正方向建立空间直角坐轴的正方向建立空间直角坐标系，则标系，则A A1 1(2(2，0 0，4)4)，B(2B(2，2 2，0)0)，C C1 1(0(0，2 2，4)4)，若在线段，若在线段BCBC1 1上存在点上存在点

42、P(x,2,z)(0 x2,0z4)P(x,2,z)(0 x2,0z4)使直线使直线A A1 1PCPC1 1D,D, =(-2,0,4), =(x-2,0,z), =(-2,0,4), =(x-2,0,z), 1312403DADC 1DD 1BC BP 1111111111ABCD A C DABCD A B C DB A B CVVVPP、B B、C C1 1共线，共线， z=4-2x, =(x-2,2,-2x),z=4-2x, =(x-2,2,-2x),由由A A1 1PCPC1 1D D得：得：(x-2,2,-2x)(x-2,2,-2x)(0,2,4)=0(0,2,4)=0，解得：，

43、解得：x= ,z=3x= ,z=3，此时点此时点P P的坐标为的坐标为( ,2,3), ( ,2,3), 设平面设平面DADA1 1P P的一个法向量为的一个法向量为n1 1=(x=(x1 1,y,y1 1,z,z1 1) )，平面，平面BABA1 1P P的一个法向的一个法向量为量为n2 2=(x=(x2 2,y,y2 2,z,z2 2), =(2,0,4), =( ,2,3), =(0,), =(2,0,4), =( ,2,3), =(0,-2,4), =(- ,0,3)-2,4), =(- ,0,3) , , ，x2z241A P12121DA DP 121BA BP 32111DA0D

44、P0 nn122BA0BP0 nn即即 , , ,令令z z1 1=-1,z=-1,z2 2=1,=1,则则n1 1=(2,1,-1),=(2,1,-1),n2 2=(2,2,1)=(2,2,1)|n1 1|= ,|= ,|n2 2|=3,|=3,n1 1n2 2=5,=5,coscosn1 1n2 2= = = = =二面角二面角D DA A1 1P PB B的大小为的大小为arccosarccos2x2x1 1+4z+4z1 1=0=0 x x1 1+2y+2y1 1+3z+3z1 1=0=012-2y-2y2 2+4z+4z2 2=0=0- x- x2 2+3z+3z2 2=0=0326

45、1212|n nnn5635 6.185 6.18 求空间距离求空间距离【方法点睛【方法点睛】1.1.点到平面的距离的求法点到平面的距离的求法如图所示，已知点如图所示，已知点B(xB(x0 0,y,y0 0,z,z0 0),),平面平面内一点内一点A(xA(x1 1,y,y1 1,z,z1 1),),平面平面的一个法向量的一个法向量n，由数量积的定义知：，由数量积的定义知：n =| =|n| cos| cos, ,其中其中=n, , , ,则则 coscos= = ，所以，所以| cos| cos| |就是就是B B到平面到平面的距离的距离d.d.即即d=d=|AB| AB |AB| AB|

46、nn|AB| |AB|.| nnnABAB 2.2.异面直线间的距离的求法异面直线间的距离的求法如图，若如图，若CDCD是异面直线是异面直线a a、b b的公垂线，的公垂线，A A、B B分别为分别为a a、b b上的任上的任意点，令向量意点，令向量na,nb, ,则则n 由由 得得 异面直线异面直线a a、b b间的距离为间的距离为CD. ABACCDDB ，ABACCDDB nnnnABCD, nn|AB| |CD|. nn|n AB|d |CD|.|n | C CA AabB BD Dn3.3.直线到平面的距离的求法同样原理可以得到直线到平面的直线到平面的距离的求法同样原理可以得到直线到

47、平面的距离公式距离公式. .在公式在公式 中中, ,n为已知平面的法向量为已知平面的法向量,A,A、B B分别为直线和平面上的任意点分别为直线和平面上的任意点( (如图如图). ). |AB|d| nn4.4.两平行平面间的距离的求法如图，在公式两平行平面间的距离的求法如图，在公式 中，中，n为两平行平面的一个法向量，为两平行平面的一个法向量，A A、B B分别为两平行平面上的任意分别为两平行平面上的任意点点. . |AB|d| nn【例【例4 4】(1)(1)在棱长为在棱长为1 1的正方体的正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，点中，点E E为为BBBB1

48、 1的的中点，则点中点，则点C C1 1到平面到平面A A1 1EDED的距离是的距离是_._.(2)(2)如图所示，已知边长为如图所示，已知边长为4 4 的正三角形的正三角形ABCABC中，中，E E、F F分别为分别为BCBC和和ACAC的中点，的中点，PAPA平面平面ABCABC，且，且PA=2PA=2，设平面，设平面过过PFPF且与且与AEAE平行，求平行，求AEAE与平面与平面的距离的距离. . 2【解题指南【解题指南】(1)(1)建立空间直角坐标系，利用点到平面的距离建立空间直角坐标系，利用点到平面的距离公式求解；公式求解；(2)(2)建立空间直角坐标系，求出平面建立空间直角坐标系

49、，求出平面的一个法向量，利用直的一个法向量，利用直线与平面的距离公式求解线与平面的距离公式求解. . 【规范解答【规范解答】(1)(1)以以A A为原点建立空间直角坐标系如图所示为原点建立空间直角坐标系如图所示. .则则A A1 1(0,0,1)(0,0,1)，E(1,0E(1,0， ) )，D(0,1,0)D(0,1,0)，C C1 1(1,1,1).(1,1,1). =(0,1,-1), =(1,0,- ) =(0,1,-1), =(1,0,- )设平面设平面A A1 1EDED的法向量为的法向量为n1 1=(x,y,z=(x,y,z) )，由由 ，得，得令令z=2z=2，则，则n1 1=

50、(1,2,2).=(1,2,2).又又 =(-1,-1,0)=(-1,-1,0)， 121A D 1A E 121111A Dyz01A Exz02 nny=zy=zx= z. x= z. 1211C A点点C C1 1到平面到平面A A1 1EDED的距离的距离d=d=答案：答案：1 1 (2) (2)设设 、 、 上的单位向量分别为上的单位向量分别为e1 1、e2 2、e3 3，选取，选取 e1 1，e2 2，e3 3 作为空间向量的一组基底，可得作为空间向量的一组基底，可得e1 1e2 2= =e2 2e3 3= =e3 3e1 1=0=0，且，且 =2=2e1 1， =2 =2 e2

51、2， =2 =2 e3 3，则则 = =1111|C A|31.|3nnAP AE EC 6AP AE EC 21PFPAAFPAAC2 1231PA(AEEC)2e6e2e2 ，设设n=x=xe1 1+y+ye2 2+ +e3 3是平面是平面的一个法向量，则的一个法向量，则n ，n ，所以所以 故故n= =所以直线所以直线AEAE与平面与平面的距离为的距离为AE PFAE0PF0 nn(x(xe1 1+y+ye2 2+ +e3 3) )2 2 e2 2=0=0，(x(xe1 1+y+ye2 2+ +e3 3) )(-2(-2e1 1+ + e2 2+2+2e3 3)=)=0 0662 y|2

52、 y|e2 2| |2 2=0=0-2x|-2x|e1 1| |2 2+6y|+6y|e2 2| |2 2+ |+ |e3 3| |2 2=0 =0 62x=x=y=0.y=0.222.213ee222|2()|AP|2 32d.|32|2 11313eeennee【互动探究【互动探究】在本例在本例(1)(1)中，若条件不变，结论改为中，若条件不变，结论改为“则直线则直线A A1 1C C1 1与平面与平面A A1 1EDED所成角的大小为所成角的大小为_”_”，则如何求解？，则如何求解？【解析【解析】由例题由例题(1)(1)的解法知，平面的解法知，平面A A1 1EDED的法向量为的法向量为

53、n1 1=(1,2,2)=(1,2,2)， =(-1,-1,0).=(-1,-1,0).设所求角为设所求角为，则，则sinsin=|cos=|cosn1 1, , | |= =故直线故直线A A1 1C C1 1与平面与平面A A1 1EDED所成角的大小为所成角的大小为4545. . 11C A11C A111111|C A |32.2| |C A |32nn【反思【反思感悟感悟】1.1.求平面求平面外一点外一点P P到平面到平面的距离的步骤的距离的步骤(1)(1)求平面求平面的法向量的法向量n；(2)(2)在平面在平面内取一点内取一点A,A,确定向量确定向量 的坐标；的坐标；(3)(3)代

54、入公式代入公式 求解求解. . 2.2.空间距离包括两点间的距离、点到线的距离、点到面的距离空间距离包括两点间的距离、点到线的距离、点到面的距离等等. .其中点到点、点到线的距离可以用空间向量的模来求解，其中点到点、点到线的距离可以用空间向量的模来求解，而点到面的距离则借助平面的法向量求解，也可借而点到面的距离则借助平面的法向量求解，也可借助于几何体的体积求解助于几何体的体积求解. .PA |PA|d| nn【变式备选【变式备选】如图所示的多面体是由底面为如图所示的多面体是由底面为ABCDABCD的长方体被截的长方体被截面面AEFGAEFG所截而得，其中所截而得，其中ABAB4 4，BCBC1

55、 1，BEBE3 3，CFCF4 4，若如图，若如图所示建立空间直角坐标系：所示建立空间直角坐标系：(1)(1)求求 和点和点G G的坐标；的坐标；(2)(2)求异面直线求异面直线EFEF与与ADAD所成的角；所成的角；(3)(3)求点求点C C到截面到截面AEFGAEFG的距离的距离 EF【解析【解析】 (1)(1)由图可知：由图可知：A(1,0,0)A(1,0,0)，B(1,4,0)B(1,4,0)，E(1,4,3)E(1,4,3)，F(0,4,4)F(0,4,4)， =(-1,0,1) =(-1,0,1)，又又 ，设，设G(0,0G(0,0，z)z)，则则( (1,01,0，z)z)(

56、(1,0,1)1,0,1)，zz1 1，即，即G(0,0,1)G(0,0,1)(2) (2) ( (1,0,0)1,0,0)， ( (1,0,1)1,0,1)，coscos , , = =ADAD和和EFEF所成的角为所成的角为4545. . EFAGEFAD EFAD EFAD EF|AD| |EF| 22，(3)(3)设设nn平面平面AEFGAEFG，n n(x(x0 0，y y0 0，z z0 0) )，n n ，n n ，而，而 ( (1,0,1)1,0,1)， (0,4,3)(0,4,3)，则则 ，得，得nn(z(z0 0, , z z0 0,z,z0 0) )，取，取z z0 04

57、 4，则，则n n(4,(4,3,4)3,4)， (0,0,4)(0,0,4)，所求距离为所求距离为点点C C到截面到截面AEFGAEFG的距离为的距离为-x-x0 0+z+z0 0=0=04y4y0 0+3z+3z0 0=0=0 x x0 0=z=z0 0y y0 0=- z=- z0 034AGAE AGAE 34CF|CF n |16 41d.|n |4116 41.41【满分指导【满分指导】用空间向量解答立体几何问题的规范解答用空间向量解答立体几何问题的规范解答【典例】【典例】(12(12分分)(2011)(2011福建高考福建高考) )如图，四棱锥如图，四棱锥P-ABCDP-ABCD

58、中，中，PAPA底面底面ABCD.ABCD.四边形四边形ABCDABCD中，中，ABADABAD，AB+AD=4AB+AD=4，CD=2CD=2，CDA=45CDA=45. .(1)(1)求证：平面求证：平面PABPAB平面平面PADPAD；(2)(2)设设AB=AP.AB=AP.()()若直线若直线PBPB与平面与平面PCDPCD所成的角为所成的角为3030，求线段，求线段ABAB的长；的长；()()在线段在线段ADAD上是否存在一个点上是否存在一个点G G，使得点，使得点G G到点到点P P，B B，C C，D D的的距离都相等？说明理由距离都相等？说明理由. . 【解题指南【解题指南】(

59、1)(1)证明平面证明平面PABPAB中的直线中的直线ABAB平面平面PADPAD，从而可，从而可推得平面推得平面PABPAB平面平面PADPAD；(2)(2)以以A A为坐标原点，建立空间直角坐为坐标原点，建立空间直角坐标系标系A Axyzxyz，然后用空间向量法进行求解探究，然后用空间向量法进行求解探究. .【规范解答【规范解答】(1)(1)因为因为PAPA平面平面ABCDABCD，ABAB平面平面ABCDABCD，所以，所以PAABPAAB，又又ABAD,PAAD=AABAD,PAAD=A，所以所以ABAB平面平面PAD.PAD.又又ABAB平面平面PABPAB，所以平面，所以平面PAB

60、PAB平面平面PAD.PAD.3 3分分(2)(2)以以A A为坐标原点，建立空间直角坐标系为坐标原点，建立空间直角坐标系A Axyz(xyz(如图如图).).在平在平面面ABCDABCD内，作内，作CEABCEAB交交ADAD于点于点E E，则，则CEAD. CEAD. 在在RtRtCDECDE中，中，DE=CDDE=CDcos45cos45=1.=1.设设AB=AP=tAB=AP=t，则，则B(t,0,0),B(t,0,0),P(0,0,t)P(0,0,t)， =(t,0,-t).=(t,0,-t).由由AB+ADAB+AD4 4得得AD=4-tAD=4-t，所以，所以E(0,3-t,0)

61、,C(1,3-t,0),E(0,3-t,0),C(1,3-t,0),D(0,4-t,0). =(-1,1,0), =(0,4-t,-t). D(0,4-t,0). =(-1,1,0), =(0,4-t,-t). 5 5分分 PBCD P PA AB BC CD Dz zx xy yE EPD ( () )设平面设平面PCDPCD的法向量为的法向量为n=(x,y,z=(x,y,z),),由由n , ,n , ,取取x=tx=t，得平面，得平面PCDPCD的一个法向量的一个法向量n=(t,t,4-t). =(t,t,4-t). 6 6分分由题意得由题意得cos60cos60= ,= ,即即 , ,

62、 解得解得t= t= 或或t=4(t=4(舍去，因为舍去，因为AD=4-tAD=4-t0)0)，所以所以AB= . AB= . 8 8分分 -x+y-x+y=0=0(4-t)y-tz=0. (4-t)y-tz=0. CD PD |PB| |PB|nn22222|2t4t |12tt(4t)2t4545( () )假设在线段假设在线段ADAD上存在一个点上存在一个点G(G(如图如图) )，使得点，使得点G G到点到点P P、B B、C C、D D的距离都相等，设的距离都相等，设G(0,m,0)(G(0,m,0)(其中其中0m4-t)0m4-t)，则，则 =(1,3-t-m,0), =(0,4-t

63、-m,0), =(0,-m,t) =(1,3-t-m,0), =(0,4-t-m,0), =(0,-m,t) 9 9分分 GC GD GP P PA AB BC CD Dz zx xy yG G由由得得1 12 2+(3-t-m)+(3-t-m)2 2=(4-t-m)=(4-t-m)2 2, ,即即t=3-m.t=3-m.由由得得(4-m-t)(4-m-t)2 2=m=m2 2+t+t2 2. .由由消去消去t t，化简得，化简得m m2 2-3m+4=0.-3m+4=0.由于方程由于方程没有实数根，所以在线段没有实数根，所以在线段ADAD上不存在一个点上不存在一个点G G，使得点使得点G G

64、到点到点P P，B B，C C，D D的距离都相等的距离都相等. .1212分分 |GC| |GD| GD|GP| 【阅卷人点拨【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：得到以下失分警示和备考建议： 失失分分警警示示 在解答本题时有两点容易造成失分：在解答本题时有两点容易造成失分：(1)(1)建立坐标系后，求点的坐标时出现错误；建立坐标系后，求点的坐标时出现错误；(2)(2)解答第解答第(2)(2)问时，不知根据条件将问题转化为方问时，不知根据条件将问题转化为方程的知识来解决，使解题思路受阻而无法解题程的知识来解决

65、，使解题思路受阻而无法解题备备考考建建议议解决空间向量在立体几何中的应用问题时，还有以解决空间向量在立体几何中的应用问题时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：(1)(1)建系前缺少证明垂直关系而使步骤不完整建系前缺少证明垂直关系而使步骤不完整. .(2)(2)建系不恰当，导致点的坐标不易确定或求解时繁建系不恰当，导致点的坐标不易确定或求解时繁琐琐. .(3)(3)不会利用直线的方向向量及平面的法向量解决相不会利用直线的方向向量及平面的法向量解决相应问题应问题. .(4)(4)计算失误导致结果不正确计算失误导致结果不正确. .另外需要熟练掌握直

66、线方向向量及平面法向量的求另外需要熟练掌握直线方向向量及平面法向量的求法，有利于快速正确地解题法，有利于快速正确地解题. .1.(20121.(2012百色模拟百色模拟) )已知矩形已知矩形ABCDABCD，AB=4AB=4，BC=3BC=3，若将其沿，若将其沿对角线对角线ACAC折成直二面角，则异面直线折成直二面角，则异面直线ABAB与与CDCD所成角的余弦值所成角的余弦值为为_._.【解析【解析】作作DEACDEAC于点于点E E，作，作BFACBFAC于点于点F F，则则DEDE平面平面ABCABC，BFBF平面平面ADC.ADC.且且AF=CE=AF=CE= =-( )=-( )2 2，故故coscos , , = =- = =- ，故异面直线故异面直线ABAB，CDCD所成角的余弦值为所成角的余弦值为答案：答案：165，AB CD(AFFB) (CEED) AF CEAF EDFB CEFB ED 165AB CD AB CD|AB| |CD| 162516.2516252.(20122.(2012梧州模拟梧州模拟) )已知二面角已知二面角-AB-AB-为为120120，AC