高考数学一轮复习专题26平面向量的数量积及平面向量的应用教学案理(共26页)

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1、精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 专题专题 26 26 平面向量的数量积及平面向量的应用平面向量的数量积及平面向量的应用 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义了解平面向量的数量积与向量投影的关系 2.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算 3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 4.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题会用向量方法解决简单的力学问题与其他拼十年寒窗挑灯苦读不畏难；携双亲期盼背水勇战定夺魁。如果你希望成功，以恒心为良友，以经验为参谋，以小心为兄弟，以希望为哨兵。 一些实际问题 1平面向量的数量积 (1)定义：已知两个

2、非零向量 a 与 b，它们的夹角为，则数量|a|b|cos_ 叫作 a 与 b的数量积(或内积)，记作 ab，即 ab|a|b|cos_，规定零向量与任一向量的数量积为0，即 0a0. (2)几何意义： 数量积 ab 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos_的乘积 2平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，为向量 a，b 的夹角 (1)数量积：ab|a|b|cos x1x2y1y2. (2)模：|a| aa x21y21. (3)夹角：cos ab|a|b|x1x2y1y2x21y21 x22y22. (4)两非零向量 ab 的充

3、要条件：ab0 x1x2y1y20. (5)|ab|a|b|(当且仅当 ab 时等号成立)|x1x2y1y2| x21y21 x22y22. 3平面向量数量积的运算律 (1)abba(交换律) (2)ab(ab)a(b)(结合律) (3)(ab)cacbc(分配律) 4向量在平面几何中的应用 向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题 (1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：ab(b0)a精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 bx1y2x2y10 (2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质 a

4、bab0 x1x2y1y20(a，b 均为非零向量) (3)求夹角问题，利用夹角公式 cos ab|a|b|x1x2y1y2x21y21 x22y22(为 a 与 b 的夹角) 5向量在三角函数中的应用 与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、向量夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识 6向量在解析几何中的应用 向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体 高频考点一高频考点一

5、平面向量数量积的运算平面向量数量积的运算 例 1、(1)设四边形 ABCD 为平行四边形，|AB|6，|AD|4，若点 M，N 满足BM3MC，DN2NC，则AMNM等于( ) A20 B.15 C9 D6 (2)已知正方形ABCD的边长为1， 点E是AB边上的动点， 则DECB的值为_； DEDC的最大值为_ 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 (2)方法一 以射线 AB， AD 为 x 轴， y 轴的正方向建立平面直角坐标系， 则 A(0， 0)， B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设 E(t,0)，t0,1，则DE(t，1)，CB(0，1)，所以DECB(t，1)(0，

6、1)1. 因为DC(1,0)，所以DEDC(t，1)(1,0)t1， 故DEDC的最大值为 1. 方法二 由图知，无论 E 点在哪个位置，DE在CB方向上的投影都是 CB1，DECB|CB|11， 当 E 运动到 B 点时，DE在DC方向上的投影最大即为 DC1， (DEDC)max|DC|11. 【感悟提升】(1)求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义(2)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简再运算，但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补 【变式探究】(1)如图，在平行四边形 ABCD

7、中，已知 AB8，AD5，CP3PD，APBP2，则ABAD_. 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 (2)已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 CD 的中点，则AEBD_. 答案 (1)22 (2)2 高频考点二高频考点二 用数量积求向量的模、夹角用数量积求向量的模、夹角 例 2、(1)(2016全国卷)已知向量 a(1，m)，b(3，2)，且(ab)b，则 m( ) A.8 B.6 C.6 D.8 (2)若向量 a(k，3)，b(1，4)，c(2，1)，已知 2a3b 与 c 的夹角为钝角，则 k 的取值范围是_. 解析 (1)由题知 ab(4，m2)，因为(ab)b，所以

8、(ab)b0， 即 43(2)(m2)0，解之得 m8，故选 D. (2)2a3b 与 c 的夹角为钝角， (2a3b)c0， 即(2k3，6)(2，1)0，解得 k3. 又若(2a3b)c， 则 2k312，即 k92. 当 k92时，2a3b(12，6)6c， 此时 2a3b 与 c 反向，不合题意. 综上，k 的取值范围为，9292，3 . 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 答案 (1)D (2)，9292，3 【方法规律】(1)根据平面向量数量积的性质：若 a，b 为非零向量，cos ab|a|b|(夹角公式)，abab0 等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直

9、问题. (2)数量积大于 0 说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于 0 说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于 0 且两向量不共线时两向量的夹角为钝角. 【变式探究】 (1)(2016全国卷)已知向量BA12，32， BC32，12， 则ABC( ) A.30 B.45 C.60 D.120 (2)(2016全国卷)设向量 a(m， 1)， b(1， 2)， 且|ab|2|a|2|b|2， 则 m_. 解析 (1)|BA|1，|BC|1， cosABCBAsup6()BC|BA|BC|32. 由BA，BC0，180，得ABC30. (2)由|ab|2|a|2|b|2，得 ab， 所以

10、 m1120，得 m2. 答案 (1)A (2)2 【感悟提升】(1)根据平面向量数量积的定义，可以求向量的模、夹角，解决垂直、夹角问题；两向量夹角为锐角的充要条件是 cos 0 且两向量不共线； (2)求向量模的最值(范围)的方法：代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解 【举一反三】(1)已知单位向量 e1与 e2的夹角为，且 cos13，向量 a3e12e2与 b3e1e2的夹角为，则 cos_. (2)在ABC 中，若 A120，ABAC1，则|BC|的最小值是( ) A. 2 B2 C. 6

11、 D6 答案 (1)2 23 (2)C 解析 (1)|a|3e12e22 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 941211133， |b|3e1e2291611132 2， ab(3e12e2)(3e1e2)9e219e1e22e22 99111328， cos832 22 23. (2)ABAC1， |AB|AC|cos1201， 即|AB|AC|2， |BC|2|ACAB|2AC22ABACAB2 2|AB|AC|2ABAC6， |BC|min 6. 高频考点三高频考点三 平面向量与三角函数平面向量与三角函数 例 3、 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知向量 m22，22， n

12、(sinx， cosx)， x0，2. (1)若 mn，求 tanx 的值； (2)若 m 与 n 的夹角为3，求 x 的值 解 (1)因为 m22，22，n(sinx，cosx)，mn. 所以 mn0，即22sinx22cosx0， 所以 sinxcosx，所以 tanx1. (2)因为|m|n|1，所以 mncos312， 即22sinx22cosx12，所以 sinx412， 因为 0 x2，所以4x44， 所以 x46，即 x512. 【感悟提升】平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 (1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立得精选优质文档-倾情为

13、你奉上 专心-专注-专业 到三角函数的关系式，然后求解 (2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等 【变式探究】 已知 O 为坐标原点， 向量OA(3sin， cos)， OB(2sin， 5sin4cos)，32，2 ，且OAOB，则 tan的值为( ) A43 B45 C.45 D.34 答案 A 高频考点四高频考点四 向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用 例 4、已知 O 是平面上的一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个动点，若动点 P 满足OPOA(ABAC)，(0，)，则点

14、 P 的轨迹一定通过ABC 的( ) A内心 B外心 C重心 D垂心 答案 C 解析 由原等式，得OPOA(ABAC)，即AP(ABAC)，根据平行四边形法则，知ABAC是ABC的中线AD(D为 BC的中点)所对应向量AD的2倍， 所以点 P的轨迹必过ABC的重心 【感悟提升】 解决向量与平面几何综合问题， 可先利用基向量或坐标系建立向量与平面图形的联系，然后通过向量运算研究几何元素之间的关系 【变式探究】 (1)在平行四边形 ABCD 中， AD1， BAD60， E 为 CD 的中点 若ACBE1，则 AB_. (2)平面四边形 ABCD 中，ABCD0，(ABAD)AC0，则四边形 AB

15、CD 是( ) A矩形 B梯形 C正方形 D菱形 答案 (1)12 (2)D 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 解析 (1)在平行四边形 ABCD 中，取 AB 的中点 F，则BEFD，BEFDAD12AB， 又ACADAB， ACBE(ADAB)(AD12AB) AD212ADABADAB12AB2 |AD|212|AD|AB|cos6012|AB|2 11212|AB|12|AB|21. ()avs4alco1(f(1,2)|AB|) |AB|0，又|AB|0，|AB|12. (2)ABCD0ABCDDC平面四边形ABCD是平行四边形， (ABAD)ACDBAC0DBAC，所以

16、平行四边形 ABCD 是菱形 高频考点五、高频考点五、 向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用 例 5、(1)已知向量OA(k,12)，OB(4,5)，OC(10，k)，且 A、B、C 三点共线，当 k0 时，若 k 为直线的斜率，则过点(2，1)的直线方程为_ (2)设 O 为坐标原点，C 为圆(x2)2y23 的圆心，且圆上有一点 M(x，y)满足OMCM0，则yx_. 答案 (1)2xy30 (2) 3 解析 (1)ABOBOA(4k，7)， BCOCOB(6，k5)，且ABBC， (4k)(k5)670， 解得 k2 或 k11. 由 k0 可知 k2，则过点(2，1)且斜率为2

17、 的直线方程为 y12(x2)，即 2xy30. (2)OMCM0，OMCM， OM 是圆的切线，设 OM 的方程为 ykx， 由|2k|1k2 3，得 k 3，即yx 3. 【感悟提升】向量在解析几何中的作用：(1)载体作用，向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题关键是利用向量的意义、运算，脱去“向量外衣”；(2)工具作精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 用，利用 abab0；abab(b0)，可解决垂直、平行问题 【变式探究】已知圆 C：(x2)2y24，圆 M：(x25cos)2(y5sin)21(R)，过圆 M 上任意一点 P 作圆 C 的两条切线 PE， P

18、F， 切点分别为 E， F， 则PEPF的最小值是( ) A5 B6 C10 D12 答案 B 解析 圆(x2)2y24 的圆心 C(2,0)，半径为 2， 圆 M(x25cos)2(y5sin)21，圆心 M(25cos，5sin)，半径为 1，CM521，故两圆相离 如图所示，设直线 CM 和圆 M 交于 H，G 两点， 则PEPF最小值是HEHF，HCCM1514，HE HC2CE2 1642 3， sinCHECECH12， cosEHFcos2CHE12sin2CHE12， HEHF|HE|HF|cosEHF2 32 3126，故选 B. 高频考点六高频考点六 向量的综合应用向量的综

19、合应用 例 6、(1)已知 x，y 满足 yx，xy2，xa，若OA(x,1)，OB(2，y)，且OAOB的最大值是最小值的 8 倍，则实数 a 的值是( ) A1 B.13 C.14 D.18 (2)函数 ysin(x)在一个周期内的图象如图所示，M、N 分别是最高点、最低点，O为坐标原点，且OMON0，则函数 f(x)的最小正周期是_ 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 答案 (1)D (2)3 (2)由图象可知，M12，1 ，N()xN，1，所以OMON12，1 (xN，1)12xN10，解得 xN2，所以函数 f(x)的最小正周期是 22123. 【感悟提升】利用向量的载体作

20、用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化 【变式探究】 在平面直角坐标系中， O 是坐标原点， 两定点 A， B 满足|OA|OB|OAOB2，则点集P|OPOAOB，|1，R所表示的区域面积是( ) A2 2 B2 3 C4 2 D4 3 答案 D 解析 由|OA|OB|OAOB2， 知OA，OB3. 当0，0，1 时， 在OAB 中，取OCOA，过点 C 作 CDOB 交 AB 于点 D，作 DEOA 交 OB 于点 E，显然ODOACD.由于CDOBACAO，CDOB222，CD(1)OB， 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注

21、-专业 ODOA(1)OBOAOBOP， 1 时，点 P 在线段 AB 上， 0，0，1 时，点 P 必在OAB 内(包括边界) 考虑|1 的其他情形，点 P 构成的集合恰好是以 AB 为一边，以 OA，OB 为对角线一半的矩形， 其面积为 S4SOAB41222sin34 3. 1.【2016 高考江苏卷】如图，在ABC中，D是BC的中点，,E F是,A D上的两个三等分点，4BC CA，1BF CF ，则BE CE 的值是 . 【答案】78 【2015 高考山东，理 4】已知菱形ABCD的边长为a ，60ABC ,则BD CD（ ） （A）232a （B）234a （C） 234a （D）

22、 232a 【答案】D 【解析】因为精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 BD CDBD BABABCBA22223cos602BABC BAaaa 故选 D. 【2015 高考陕西，理 7】对任意向量, a b，下列关系式中不恒成立的是（ ） A| |a ba b B| |abab C22()|abab D22()()ab abab 【答案】B 【2015 高考四川，理 7】设四边形 ABCD 为平行四边形，6AB ，4AD .若点 M，N满足3BMMC，2DNNC，则AM NM（ ） （A）20 （B）15 （C）9 （D）6 【答案】C 【解析】 311,443AMABAD NM

23、CMCNADAB ，所以 221111(43)(43)(169)(16 369 16)94124848AM NMABADABADABAD ，选 C. 【2015 高考安徽， 理 8】C是边长为2的等边三角形， 已知向量a，b满足2a ，C2ab，则下列结论正确的是（ ） （A）1b （B）ab （C）1a b （D）4Cab 【答案】D 【解析】如图， 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 由题意，(2)2BCACABabab，则| 2b ，故A错误；|2 | 2| 2aa，所以| 1a ，又22(2)4|22 2cos602AB ACaabaab ，所以1a b ，故,B C错误；设

24、,B C中点为D，则2ABACAD，且ADBC，而22(2)4ADaabab，所以4Cab ，故选 D. 【2015 高考福建，理 9】已知1,ABAC ABACtt ，若P 点是ABC 所在平面内一点，且4ABACAPABAC ，则PB PC 的最大值等于（ ） A13 B 15 C19 D21 【答案】A 【解析】以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1( ,0)Bt，(0, )Ct，1AP （，0)+4(0,1)=(1,4)，即1P （，4)，所以11PBt=（，-4)，1PC=（，t-4)，因此PB PC 11416tt 117(4 ) tt， 因为114244tttt， 所

25、以PB PC 的最大值等于13，当14tt，即12t 时取等号 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 【2015 高考天津，理 14】在等腰梯形ABCD 中,已知/ /,2,1,60ABDC ABBCABC ,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且,1,9BEBC DFDC 则AE AF的最小值为 . 【答案】2918 【解析】因为1,9DFDC12DCAB，119199918CFDFDCDCDCDCAB， AEABBEABBC，19191818AFABBCCFABBCABABBC， 221919191181818AE AFABBCABBCABBCAB BC 1919942 1

26、cos1201818 211721172929218921818 当且仅当2192即23时AE AF的最小值为2918. BADCEF 1 （2014北京卷）已知向量 a，b 满足|a|1，b(2，1)，且ab0(R)，则|精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 _ 【答案】 5 【解析】ab0，ab， |b|a|51 5. 2 （2014湖北卷）设向量 a(3，3)，b(1，1)若(ab)(ab)，则实数_ 【答案】3 【解析】因为 ab(3，3)，ab(3，3)，又(ab)(ab)，所以(ab)(ab)(3)(3)(3)(3)0，解得3. 3 （2014江西卷）已知单位向量 e1与

27、e2的夹角为，且 cos 13，向量 a3e12e2与 b3e1e2的夹角为，则 cos _ 【答案】2 23 4 （2014全国卷）若向量 a，b 满足：1，(ab)a，(b)b，则|( ) A2 B. 2 C1 D.22 【答案】B 【解析】因为(ab)a，所以(ab)0，即2因为(b)b，所以(b)0，即 b20，与20 联立，可得20，所以 2 2. 5 （2014新课标全国卷 设向量 a，b 满足|ab| 10，|ab| 6，则( ) A1 B2 C3 D5 【答案】A 【解析】由已知得|ab|210，|ab|26，两式相减，得 4ab4，所以 ab1. 精选优质文档-倾情为你奉上

28、专心-专注-专业 6（2014山东卷） 在ABC 中， 已知ABACtan A， 当 A6时， ABC 的面积为_ 【答案】16 【解析】因为 ABAC|AB|AC|cos Atan A，且 A6，所以|AB|AC|23，所以ABC 的面积 S12|AB|AC|sin A1223sin 616 . 7 （2014天津卷）已知菱形 ABCD 的边长为 2，BAD120，点 E，F 分别在边 BC，DC 上，BEBC，DFDC.若AEAF1，CECF23，则( ) A.12 B.23 C.56 D.712 【答案】C 【解析】建立如图所示的坐标系，则 A(1，0)，B(0， 3)，C(1，0)，D

29、(0， 3)设 E(x1，y1)，F(x2，y2)由 BEBC 得(x1，y1 3)(1， 3)，解得x1，y1 3（1），即点 E(，3(1)由DFDC得(x2，y2 3)(1， 3)，解得x2，y2 3（1），即点 F(，3(1)又AEAF(1， 3(1)(1， 3(1)1， CECF(1, 3(1)(1, 3(1)23. 得56. 8(2013 年高考湖北卷)已知点 A(1,1)、B(1,2)、C(2，1)、D(3,4)，则向量AB在CD方向上的投影为( ) A.3 22 B.3 152 C3 22 D3 152 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 9(2013 年高考湖南卷)

30、已知 a，b 是单位向量，ab0.若向量 c 满足|cab|1，则|c|的取值范围是( ) A 21， 21 B.21， 22 C1， 21 D1， 22 解析：由 a，b 为单位向量且 ab0，可设 a(1,0)，b(0,1)，又设 c(x，y)，代入|cab|1 得(x1)2(y1)21，又|c| x2y2，故由几何性质得 12121|c| 12121，即 21|c| 21. 答案：A 10(2013 年高考辽宁卷)设向量 a( 3sin x，sin x)，b(cos x，sin x)，x0，2. (1)若|a|b|，求 x 的值； (2)设函数 f(x)ab，求 f(x)的最大值 解析：

31、(1)由|a|2( 3sin x)2(sin x)24sin2x， |b|2(cos x)2(sin x)21， 及|a|b|，得 4sin2x1. 又 x0，2，从而 sin x12， 所以 x6. (2)f(x)ab 3sin xcos xsin2x 32sin 2x12cos 2x12sin2x612， 当 x30，2时，sin2x6取最大值 1. 所以 f(x)的最大值为32. 11(2013 年高考陕西卷)已知向量 acos x，12，b ( 3sin x，cos 2x)，xR，设函数 f(x)ab. 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 (1)求 f(x)的最小正周期； (

32、2)求 f(x)在0，2上的最大值和最小值 解析：f(x)cos x，12( 3sin x，cos 2x) 3cos xsin x12cos 2x 32sin 2x12cos 2x cos6sin 2xsin6cos 2x sin2x6. (1)f(x)的最小正周期为 T222， 即函数 f(x)的最小正周期为 . (2)0 x2， 62x656.由正弦函数的性质， 知当 2x62， 即 x3时，f(x)取得最大值 1. 当 2x66，即 x0 时，f(x)取得最小值12. 因此，f(x)在0，2上的最大值是 1，最小值是12. 1若向量 a，b 满足|a|b|2，a 与 b 的夹角为 60，

33、则|ab|等于( ) A22 3 B2 3 C4 D12 答案 B 解析 |ab|2|a|2|b|22|a|b|cos60442221212，|ab|2 3. 2已知向量 a(1， 3)，b(3，m)若向量 a，b 的夹角为6，则实数 m 等于( ) A2 3 B. 3 C0 D 3 答案 B 解析 ab(1， 3)(3，m)3 3m， 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 ab1232 32m2cos6， 3 3m1232 32m2cos6， m 3. 3设 e1，e2，e3为单位向量，且 e312e1ke2(k0)，若以向量 e1，e2为邻边的三角形的面积为12，则 k 的值为(

34、) A.32 B.22 C.52 D.72 答案 A 4若 O 为ABC 所在平面内任一点，且满足(OBOC)(OBOC2OA)0，则ABC 的形状为( ) A正三角形 B直角三角形 C等腰三角形 D等腰直角三角形 答案 C 解析 因为(OBOC)(OBOC2OA)0， 即CB(ABAC)0，ABACCB， (ABAC)(ABAC)0，即|AB|AC|， 所以ABC 是等腰三角形，故选 C. 5.在ABC 中，如图，若|ABAC|ABAC|，AB2，AC1，E，F 为 BC 边的三等分点，则AEAF等于( ) A.89 B.109 C.259 D.269 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注

35、-专业 答案 B 解析 若|ABAC|ABAC|，则AB2AC22ABACAB2AC22ABAC，即有AB AC 0.E ， F 为 BC 边 的 三 等 分 点 ， 则 AE AF ( AC CE)( AB BF) avs4alco1(o(AC,sup6()13CB)avs4alco1(o(AB,sup6()13BC)avs4alco1(f(2,3)AC13AB) avs4alco1(f(1,3)AC23AB) 29AC229AB259ABAC29(14)0109.故选 B. 6在ABC 中，M 是 BC 的中点，AM3，点 P 在 AM 上，且满足AP2PM，则PA(PBPC)的值为_ 答

36、案 4 解析 由题意得，AP2，PM1， 所以PA(PBPC)PA2PM 221cos1804. 7如图，在ABC 中，O 为 BC 中点，若 AB1，AC3， AB，AC60，则|OA|_. 答案 132 解析 因为AB，AC60，所以ABAC|AB|AC|cos60131232，又AO12(ABAC)，所以AO214(ABAC)214(AB22ABACAC2)，所以AO214(139)134，所以|OA|132. 8 在ABC 中， 若OAOBOBOCOCOA， 则点 O 是ABC 的_(填“重心”、“垂心”、“内心”、“外心”) 答案 垂心 解析 OAOBOBOC， OB(OAOC)0，

37、 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 OBCA0， OBCA，即 OB 为ABC 底边 CA 上的高所在直线 同理OABC0，OCAB0，故 O 是ABC 的垂心 9已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61. (1)求 a 与 b 的夹角； (2)求|ab|； (3)若ABa，BCb，求ABC 的面积 解 (1)(2a3b)(2ab)61， 4|a|24ab3|b|261. 又|a|4，|b|3， 644ab2761， ab6. cosab|a|b|64312， 又0，23. (2)|ab|2(ab)2|a|22ab|b|2 422(6)3213， |ab| 13. (3)

38、AB与BC的夹角23， ABC233. 又|AB|a|4，|BC|b|3， SABC12|AB|BC|sinABC 1243323 3. 10在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，向量 m(cos(AB)，sin(AB)，n(cosB，sinB)，且 mn35. (1)求 sinA 的值； (2)若 a4 2，b5，求角 B 的大小及向量BA在BC方向上的投影 解 (1)由 mn35，得 cos(AB)cosBsin(AB)sinB35，所以 cosA35. 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 因为 0A， 所以 sinA 1cos2A135245. 11已知点 P

39、(0，3)，点 A 在 x 轴上，点 Q 在 y 轴的正半轴上，点 M 满足PAAM0，AM32MQ，当点 A 在 x 轴上移动时，求动点 M 的轨迹方程 解 设 M(x，y)为所求轨迹上任一点， 设 A(a,0)，Q(0，b)(b0)， 则PA(a,3)，AM(xa，y)，MQ(x，by)， 由PAAM0，得 a(xa)3y0. 由AM32MQ，得 (xa，y)32(x，by)32x，32yb， xa32x，y32y32b， ax2，by3.b0，y0， 把 ax2代入，得x2xx23y0， 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 整理得 y14x2(x0) 所以动点 M 的轨迹方程为

40、 y14x2(x0) 12已知向量 asinx，34，b(cosx，1) (1)当 ab 时，求 cos2xsin2x 的值； (2)设函数 f(x)2(ab)b，已知在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 a 3，b2，sinB63，求 f(x)4cos2A6x0，3的取值范围 解 (1)因为 ab， 所以34cosxsinx0， 所以 tanx34. cos2xsin2xcos2x2sinxcosxsin2xcos2x12tanx1tan2x85. (2)f(x)2(ab)b 2sin2x432. 由正弦定理asinAbsinB，得 sinA22，所以 A4，或 A3

41、4. 因为 ba，所以 A4. f(x)4cos2A6 2sin2x412， 因为 x0，3，所以 2x44，1112， 321f(x)4cos2A6 212. 所求范围是321， 212. 13.已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61， (1)求 a 与 b 的夹角； (2)求|ab|； (3)若ABa，BCb，求ABC 的面积. 解 (1)(2a3b)(2ab)61， 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 4|a|24ab3|b|261. 又|a|4，|b|3，644ab2761， ab6.cos ab|a|b|64312. 又 0，23. (2)|ab|2(ab)2|

42、a|22ab|b|2 422(6)3213，|ab| 13. (3)AB与BC的夹角23，ABC233. 又|AB|a|4，|BC|b|3， SABC12|AB|BC|sinABC1243323 3. 14.在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，向量 m(cos(AB)，sin(AB)，n(cos B，sin B)，且 mn35. (1)求 sin A 的值； (2)若 a4 2，b5，求角 B 的大小及向量BA在BC方向上的投影. 解 (1)由 mn35， 得 cos(AB)cos Bsin(AB)sin B35， 所以 cos A35.因为 0Ab，所以 AB，且 B 是

43、ABC 一内角，则 B4. 由余弦定理得(4 2)252c225c35， 解得 c1，c7 舍去， 故向量BA在BC方向上的投影为|BA|cos Bccos B12222. 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 15.在直角坐标系 xOy 中，已知点 A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点 P(x，y)在ABC 三边围成的区域(含边界)上，且OPmABnAC(m，nR). (1)若 mn23，求|OP|； (2)用 x，y 表示 mn，并求 mn 的最大值. 解 (1)mn23，AB(1，2)，AC(2，1)， OP23(1，2)23(2，1)(2，2)， |OP| 22222 2.