方差分析公式

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1、名师推荐精心整理学习必备方差分析公式（2012-06-2611:03:09）转载标签：分类：统计方法杂谈方差分析方差分析（analysisofvariance,简写为ANOVEANOVA可用于两个或两个以上样本均数的比较。应用时要求各样本是相互独立的随机样本；各样本来自正态分布总体且各总体方差相等。方差分析的基本思想是按实验设计和分析目的把全部观察值之间的总变异分为两部分或更多部分，然后再作分析。常用的设计有完全随机设计和随机区组设计的多个样本均数的比较。、完全随机设计的多个样本均数的比较又称单因素方差分析。把总变异分解为组问（处理问）变异和组内变异（误差）两部分。目的是推断k个样本所分别代表

2、的仙1,仙2,pk是否相等，以便比较多个处理的差别有无统计学意义。其计算公式见表19-6.表19-6完全随机设计的多个样本均数比较的方差分析公式变异来源离均差平方和SS自由度v均方MSF总2X2-C*N-1组间（处理组间）J.-Cbk-1SS组间/v组间MSs间/MS组间组内（误差）SS总-SS组间N-kSS组内/v组内*C=（2X）2/N=2ni,k为处理组数表19-7F值、P值与统计结论aF值P值统计结论0.05V%05(v1.V2)0.05不拒绝H,差别无统计学意义0.05A%05(v1.V2)0.05拒名色H,接受H,差别有统计学意义0.01AR.01(v1.V2)F0.01(3,28

3、),P0.01,按a=0.05检验水准拒绝H0,接受H1,可认为湖水不同季节的氯化物含量不等或不全相等。必要时可进一步和两两比较的q检验，以确定是否任两总体均数间不等。资料分析时，常把上述计算结果列入方差分析表内，如表19-9.表19-9例19.9资料的方差分析表变异来源SSvMSFP组间141.170347.0579.380.01组内140.465285.017总281.63531二、随机区组(配伍组)设计的多个样本均数比较又称两因素方差分析。把总变异分解为处理间变异、区组间变异及误差三部分。除推断k个样本所代表的总体均数，以1,仙2,pk是否相等外，还要推断b个区组所代表的总体均数是否相等

4、。也就是说，除比较多个处理的差别有无统计学意义外，还要比较区组间的差别有无统计学意义。该设计考虑了个体变异对处理的影响，故可提高检验效率。表19-10随机区组设计的多个样本均数比较的方差分析公式X 异 来 源总处 理 间离均差平方和SS均自由方F度vMS2 _NX-CN-1SS处MS理k-1理/v/MS处理误差SS区组/vMS区组MJKIIR. = ?.f)04 -S 8b-1区组误差名师推荐精心整理学习必备误差SS总-SS处理-SS区组V总-v处理-V区组SS误差/V误差C、k、N的意义同表19-6,b为区组数例19.10为研究酵解作用对血糖浓度的影响，从8名健康人中抽血并制成血滤液。每个受

5、试者的血滤液被分成4份，再随机地把4份血滤液分别放置0,45,90,135分钟，测定其血油浓度（表19-11）,试问放置不同时间的血糖浓度有无差别？处理问：H0:四个不同时间血糖浓度的总体均数相等，即以1二仙2=仙3=4表19-11血滤放置不同时间的血糖浓度（mmol/L）区组号放置时间（分）受试者小计2X0459013515.275.274.944.6120.0925.275.224.884.6620.0335.885.835.385.0022.0945.445.385.275.0021.0955.665.445.384.8821.3666.226.225.615.2223.2775.835

6、.725.384.8821.8185.275.115.004.4419.822Xj44.8444.1941.8438.69169.56(NX)N888832(N)X5.60505.52385.23004.83632NXj252.1996245.0671219.2962187.5585904.1214(NX2)H1:四个总体均数不等或不全相等a=0.05区组问：H0:八个区组的总体均数相等，即1=2=卜8H1:八个区组的总体均数不等或不全相等a=0.05先作表19-11下半部分和右侧一栏的基本计算C=(2X)2/N=(169.56)2/32=898.45605SS总=2X2-C=904.1214

7、-898.45605=5.66535V=N-1=32-1=31-436：Ft2.94V处理=k-1=4-1=3V区组=b-1=8-1=7SS误差=SS总-SS处理-SS区组=5.66535-2.90438-2.49800=0.26297V误差=(k-1)(b-1)=3X7=21MSt理-SS处理/v处理=2.90438/3=0.9681MS区ffl=SSKffl/v区组=2.49800/7=0.3569MSH差-SS误差/v误差=0.26297/21=0.0125F处理=MSM理/MS误差=0.9681/0.0125=77.448F区组=MSK组/MS误差=0.3569/0.0125=28.5

8、52推断处理间的差别，按v1=3,v2=21查F界值表，得F0.005(3,21)=3.07,F0.01(3,21)=4.87,P0.01;推断区组间的差别，按v1=7,v2=21查F界值表，得F0.05(7,21)=2.49,F0.01(7,21)=3.64,P0.01.按a=0.05检验水准皆拒绝H0,接受H1,可认为放置时间长短会影响血糖浓度且不同受试者的血糖浓度亦有差别。但尚不能认为任两个不同放置时间的血糖浓度总体均数皆有差别，必要时可进一步作两两比较的q检验。变异来源SSvMSFP处理间2.9043830.968177.4480.01区组间2.4980070.356928.5520.

9、05不拒绝H,差别无统计学意义0.05Aq0.05(v.a)0.05拒绝H0。接受H,差别有统计学意义0.01Aq0.01(v.a)0.01拒绝H,接受H,差别有高度统计学意义表19-12例19.10资料的方差分析表名师推荐精心整理学习必备a=0.051 .将四个样本的均数由大到小排列编秩，注明处理组Xi167.9159.3131.9129.3处理组春夏秋冬秩次12342 .计算sxA-xB本例各处理组的样本含量n1相等，按式（19,14）计算两均数差的标准误。已知MS组内=5.017,n=83.列两两比较的q检验计算表（表19-14）表19-14两两比较的q检验计算表A与B(1)XA-XB(

10、2)组数，a（3）q值(4)=(2)/0.7919q0.05(v.a)(5)q0.01(v.a)(6)P值(7)(1)与(4)38.6448.7443.854.800.01(1)与(3)36.0345.4603.494.450.01(1)与(2)8.6210.8602.893.890.01(2)与(4)30.0337.8843.494.450.01(2)与(3)27.4234.6002.893.890.01(2)与(4)2.623.2832.893.890.05表中第（1）栏为各对比组，如第一行1与4,指A为第1组，B为第4组。第（2）栏为两对比组均数之差，如第一行为X1与X4之差，余类推。第

11、（3）栏为四个样本均数按大小排列时，AB两对比组范围内所包含的组数a,如第一“1与4”范围内包含4个组，故a=4.第（4）栏是按式（19.13）计算的统计量q值，式|中的分母0.7919是按式（19.14）计算出来的SXA-XB第（5）、（6）栏是根据误差自由度v与组数a查附表19-3q界值表所得的q界值，本例v误差=28,因q界值表中自由度一栏无28,可用近似值30或用内插法得出q界值，本例用近似值30查表，当a=4时,q0.05（30,4）=3.85,q0.01（30,4）=4.80,余类推。第（7）栏是按表19-13判定的。4.结论由表19-14可见，除秋季与冬季为P0.05外，其它任两对比组皆为P0.01,按a=0.05检验水准均拒绝H0,接受H1,可认为不同季节的湖水氯化物J含量皆不同，春季氯化物含量最高，冬季含量最低。PS:进行方差分析前必须要做方差齐性检验和正态分布检验，至于如何做，方法彳艮多了，常见的正态性检验有Kolmogorov-Smirnov检验和Shapiro-Wilk检验。方差齐性常采用Bartlett检验。相同的数据，不同的软件，采用相同的方法给出的p值应该是一样的。