2018年中考总复习圆的切线专题

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1、题型专项(八)与切线有关的证明与计算类型1与全等三角形有关1(2016梧州)如图，过O上的两点A，B分别作切线，交于BO，AO的延长线于点C，D，连接CD，交O于点E，F，过圆心O作OMCD，垂足为点M.求证：(1)ACOBDO；(2)CEDF. 证明：(1)AC，BD分别是O的切线，AB90.又AOBO，AOCBOD，ACOBDO.(2)ACOBDO，OCOD.又OMCD，CMDM.又OMEF，点O是圆心，EMFM.CMEMDMFM.CEDF.2(2016玉林模拟)如图，AB是O的直径，BAC60，P是OB上一点，过P作AB的垂线与AC的延长线交于点Q，过点C的切线CD交PQ于点D，连接OC

2、.(1)求证：CDQ是等腰三角形；(2)如果CDQCOB，求BPPO的值解：(1)证明：由已知得ACB90，ABC30.Q30，BCOABC30.CD是O的切线，CO是半径，CDCO.DCQBCO30.DCQQ.故CDQ是等腰三角形(2)设O的半径为1，则AB2，OC1，BC.等腰三角形CDQ与等腰三角形COB全等，CQCB.AQACCQ1.APAQ.BPABAP.POAPAO.BPPO.3(2016柳州)如图，AB为ABC外接圆O的直径，点P是线段CA的延长线上一点，点E在弧上且满足PE2PAPC，连接CE，AE，OE交CA于点D.(1)求证：PAEPEC；(2)求证：PE为O的切线；(3)

3、若B30，APAC，求证：DODP.证明：(1)PE2PAPC，.又APEEPC，PAEPEC.(2)PAEPEC，PEAPCE.PCEAOE，PEAAOE.OAOE，OAEOEA.AOEOEAOAE180，AOE2OEA180，即2PEA2OEA180.PEAOEA90.PE为O的切线(3)设O的半径为r，则AB2r.B30，PCB90，ACr，BCr.过点O作OFAC于点F，OFr.APAC，AP.PE2PAPC，PEr.在ODF与PDE中，ODFPDE.DODP.类型2与相似三角形有关4(2016泰州)如图，在ABC中，ACB90，在D为AB上一点，以CD为直径的O交BC于点E，连接AE

4、交CD于点P，交O于点F，连接DF，CAEADF.(1)判断AB与O的位置关系，并说明理由；(2)若PFPC12，AF5，求CP的长解：(1)AB是O切线理由：ACB90，CAECEA90.CAEADF，CDFCEA，ADFCDF90.AB是O切线(2)连接CF.ADFCDF90，PCFCDF90，ADFPCF.PCFPAC.又CPFAPC，PCFPAC.PC2PFPA.设PFa，则PC2a.4a2a(a5)a.PC2a.5(2015北海)如图，AB，CD为O的直径，弦AECD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使PEDC.(1)求证：PE是O的切线；(2)求证：E

5、D平分BEP；(3)若O的半径为5，CF2EF，求PD的长解：(1)证明：连接OE.CD是圆O的直径，CED90.OCOE，COEC.又PEDC，PEDOEC.PEDOEDOECOED90，即OEP90.OEEP.又点E在圆上，PE是O的切线(2)证明：AB，CD为O的直径，AEBCED90.AECDEB(同角的余角相等)又PEDC，AECD，PEDDEB，即ED平分BEP.(3)设EFx，则CF2x.O的半径为5，OF2x5.在RtOEF中，OE2EF2OF2，即52x2(2x5)2，解得x4，EF4.BE2EF8，CF2EF8.DFCDCF1082.AB为O的直径，AEB90.AB10，B

6、E8，AE6.BEPA，EFPAEB90，EFPAEB.，即.PF.PDPFDF2.6(2014桂林)如图，ABC为O的内接三角形，P为BC延长线上一点，PACB，AD为O的直径，过点C作CGAD于点E，交AB于点F，交O于点G.(1)判断直线PA与O的位置关系，并说明理由；(2)求证：AG2AFAB；(3)若O的直径为10，AC2，AB4，求AFG的面积解：(1)PA与O相切理由：连接CD.AD为O的直径，ACD90.DCAD90.BD，PACB，PACD.PACCAD90，即DAPA.点A在圆上，PA与O相切(2)证明：连接BG.AD为O的直径，CGAD，.AGFABG.GAFBAG，AG

7、FABG.AGABAFAG.AG2AFAB.(3)连接BD.AD是直径，ABD90.AG2AFAB，AGAC2，AB4，AF.CGAD，AEFABD90.EAFBAD，AEFABD.，即，解得AE2.EF1.EG4，FGEGEF413.SAFGFGAE323.类型3与锐角三角函数有关7(2014梧州)如图，已知O是以BC为直径的ABC的外接圆，OPAC，且与BC的垂线交于点P，OP交AB于点D，BC，PA的延长线交于点E.(1)求证：PA是O的切线；(2)若sinE，PA6，求AC的长解：(1)证明：连接OA.ACOP，AOPOAC，BOPOCA.OAOC，OCAOAC.AOPBOP.又OAO

8、B，OPOP，AOPBOP.OAPOBP.BPCB，OAPOBP90.OAPA.PA是O的切线(2)PBCB，PB是O的切线又PA是O的切线，PAPB6.又sinE，AO3.在RtOPB中，OP3.BC为O直径，CAB90.CABOBP90，OCABOP.ACBBOP.AC.8(2015来宾)已知O是以AB为直径的ABC的外接圆，ODBC交O于点D，交AC于点E，连接AD，BD，BD交AC于点F.(1)求证：BD平分ABC；(2)延长AC到点P，使PFPB，求证：PB是O的切线；(3)如果AB10，cosABC，求AD.解：(1)证明：ODBC，ODBCBD.OBOD，OBDODB.CBDOB

9、D.BD平分ABC.(2)证明：O是以AB为直径的ABC的外接圆，ACB90.CFBCBF90.PFPB，PBFCFB.由(1)知OBDCBF，PBFOBD90.OBP90.PB是O的切线(3)在RtABC中，ACB90，AB10，cosABC.BC6，AC8.ODBC，AOEABC，AEDOEC180ACB90.，.AE4，OE3.DEODOE532.AD2.9(2016柳州模拟)如图，已知：AC是O的直径，PAAC，连接OP，弦CBOP，直线PB交直线AC于点D，BD2PA.(1)证明：直线PB是O的切线；(2)探究线段PO与线段BC之间的数量关系，并加以证明；(3)求sinOPA的值解：

10、(1)证明：连接OB.BCOP，OBOC，BCOPOA，CBOPOB，BCOCBO.POAPOB.又POPO，OBOA，POBPOA.PBOPAO90.PB是O的切线(2)2PO3BC.(写POBC亦可)证明：POBPOA，PBPA.BD2PA，BD2PB.BCPO，DBCDPO.2PO3BC.(3)CBOP，DBCDPO.，即DCOD.OCOD.DC2OC.设OAx，PAy.则OD3x，OBx，BD2y.在RtOBD中，由勾股定理得(3x)2x2(2y)2，即2x2y2.x0，y0，yx，OPx.sinOPA.类型4与特殊四边形有关10(2016玉林)如图，AB是O的直径，点C，D在圆上，且

11、四边形AOCD是平行四边形，过点D作O的切线，分别交OA延长线与OC延长线于点E，F，连接BF.(1)求证：BF是O的切线；(2)已知圆的半径为1，求EF的长解：(1)证明：连接OD.EF为O的切线，ODF90.四边形AOCD为平行四边形，AODC，AODC.又DOOCOA，DOOCDC.DOC为等边三角形DOCODC60.DCAO，AODODC60.BOF180CODAOD60.在DOF和BCF中，DOFBOF.ODFOBF90.BF是O的切线(2)DOF60，ODF90，OFD30.BOF60，BOFCFDE，EOFD30.OFOE.又ODEF，DEDF.在RtODF中，OFD30.OF2

12、OD.DF.EF2DF2.11(2016宁波)如图，已知O的直径AB10，弦AC6，BAC的平分线交O于点D，过点D作DEAC交AC的延长线于点E.(1)求证：DE是O的切线；(2)求DE的长解：(1)证明：连接OD.AD平分BAC，DAEDAB.OAOD，ODADAO.ODADAE.ODAE.DEAC，ODDE.DE是O切线(2)过点O作OFAC于点F.AFCF3.OF4.OFEDEFODE90，四边形OFED是矩形DEOF4.12(2015桂林)如图，四边形ABCD是O的内接正方形，AB4，PC，PD是O的两条切线，C，D为切点(1)如图1，求O的半径；(2)如图1，若点E是BC的中点，连

13、接PE，求PE的长度；(3)如图2，若点M是BC边上任意一点(不含B，C)，以点M为直角顶点，在BC的上方作AMN90，交直线CP于点N，求证：AMMN.解：(1)连接OD，OC.PC，PD是O的两条切线，C，D为切点，ODPOCP90.四边形ABCD是O的内接正方形，DOC90，ODOC.四边形DOCP是正方形AB4，ODCOCD45，DOCODCsin4542.(2)连接EO，OP.点E是BC的中点，OEBC，OCE45，则EOP90.EOEC2，OPCO4.PE2.(3)证明：在AB上截取BFBM.ABBC，BFBM，AFMC，BFMBMF45.AMN90，AMFNMC45，FAMAMF45.FAMNMC.由(1)得PDPC，DPC90，DCP45.MCN135.AFM180BFM135，在AFM和MCN中，AFMMCN(ASA)AMMN.