必修2(点、直线、平面之间的位置关系)阶段质量检测试卷(二)含解析

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1、-必修 2( 点、直线、平面之间的位置关系)阶段质量检测试卷(二 )含解析(时间 120 分钟满分 150 分)一、选择题 (本大题共 8 小题，每小题5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(广东高考 )若直线 l1 和 l 2 是异面直线，l1 在平面 内， l2 在平面 内， l 是平面 与平面 的交线，则下列命题正确的是()A l 与 l1， l 2 都不相交B l 与 l1 ，l 2 都相交C l 至多与 l 1， l2 中的一条相交D l 至少与 l 1， l 2 中的一条相交解析： 选 D由直线 l1 和 l2 是异面直线可知l 1 与 l 2

2、不平行，故l 1， l 2 中至少有一条与l 相交2已知 PA矩形APB BC C PD BDABCD ，则下列结论中不正确的是()B PD CDDPABD解析： 选 C 如图所示，由于 PA平面 ABCD ，且底面 ABCD 为矩形，所以 PA BD (即 D 正确 )， BC PA， BC BA，而 PA AB A，所以 BC平面 PAB，所以 BCPB(即 A 正确 )同理 PD CD (即 B 正确 )， PD 与 BD 不垂直，所以 C 不正确3.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1 中， D 为 A1B1 的中点， AB BCBB12， AC 25，则异面直线BD 与 AC 所成的

3、角为 ()A30B45C 60D 90解析：选 C如图，取 B1C1 的中点 E，连接 BE， DE ，则 ACA1C1 DE ，则 BDE 即为异面直线BD 与 AC 所成的角由条件可知BD DE EB5，所以 BDE 60，故选 C.4.如图所示， ABCD -A B C D1是长方体， O是 B D的中点，直线11111A1C 交平面 AB1D 1 于点 M，则下列结论正确的是 ()AA，M，O 三点共线B A，M， O，A1 不共面-C A，M， C，O 不共面D B，B1， O， M 共面解析： 选 A连接 A1C1， AC，则 A1C1 AC，所以A， C， C1，A1四点共面，所

4、以 A1C? 面 ACC 1A1.因为 M A1C，所以 M面 ACC 1A1，又 M 面 AB1D1 ，所以 M 在平面 ACC1 A1 与平面 AB1D1 的交线上，同理O 在面 ACC1A1 与面 AB 1D1 的交线上，所以 A，M， O 三点共线，故选A.5已知 m， n 为异面直线，m平面 ， n平面 .直线 l 满足 l m， l n，l?， l?，则()A 且 l B 且 l C 与 相交，且交线垂直于lD 与 相交，且交线平行于l解析： 选 D由于 m， n 为异面直线，m平面 ， n平面 ，则平面 与平面 必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m， n，又直线l 满足 l m

5、， l n，则交线平行于l，故选 D.6已知直线l 平面 ，直线 m? 平面 ，有以下四个命题： ? l m； ? l m；l m? ； l m? .其中正确的两个命题是()A B CD 解析： 选 D若 ，l ，则 l ，又 m? ，所以 l m，故正确；若 ， l ，m? ，则 l 与 m 可能异面，所以不正确；若l m， l ，则 m ，又 m? ，则 ，所以正确；若l ， l m， m? ，则 与 可能相交，故不正确综上可知，选D.7.如图所示， P 为矩形 ABCD 所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M 为 PB 的中点，给出五个结论：OM PD ； OM 平面PCD； OM平面P

6、DA ； OM 平面PBA ； OM 平面PBC.其中正确的个数是()A1B2C3D4解析： 选 C 显然 OM PD ，又 PD ? 平面 PCD ， PD? 平面 PDA . OM平面 PCD ， OM 平面 PDA .正确8把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A， B， C， D 四点为顶点的三棱锥体积最大-时，直线BD 和平面 ABC 所成的角的大小为()A90B60C 45D 30解析： 选 C当三棱锥D-ABC 体积最大时，平面DAC 平面 ABC，取 AC 的中点 O，则 DBO 是等腰直角三角形，即DBO 45.二、填空题 (本大题共 7 小题，多空题每题6 分，单空题每

7、题4 分，共 36 分请把正确答案填在题中的横线上)9在正方体ABCD -A1B1C1D1 中， E， F 分别为棱 AA 1，CC1 的中点，则在空间中与三条直线 A1D1， EF， CD 都相交的直线有 _条解析： 如图，在 A1D 1 上任取一点P，过点 P 与直线 EF作一个平面 ，因为 CD 与平面 不平行，所以它们相交，设 CD Q，连接 PQ，则 PQ 与 EF 必然相交由点 P的任意性，知有无数条直线与A1D1， EF ，CD 都相交答案： 无数10已知 a，b 表示直线， ， ，表示平面若 a， b? ， a b，则 ；若 a? ， a 垂直于 内任意一条直线，则 ；若 ，

8、a， b，则 a b；若 a ， b， a b，则 .上述命题中，正确命题的序号是_解析： 对可举反例，如图，需b 才能推出 ；对可举反例说明，当不与 ，的交线垂直时，即可知 a， b 不垂直；根据面面、线面垂直的定义与判定知 正确答案： 11.如图所示，直线 a平面 ，点 A 在 另一侧，点 B，C， D a，线段AB， AC， AD 分别交 于点 E， F ，G.若 BD 4，CF 4， AF 5，则 EG_.解析： A?a，则点 A 与直线 a 确定一个平面，即平面ABD .因为 a ，且AF AE EG AE，所以 AF EG 平面 ABD EG，所以 a EG，即 BD EG，所以

9、ACAB.又 BD ABAC BD .于是AF BD 5 420EG AC54 9.答案： 20912.如图所示，在正方体ABCD -A1B1C1D1 中，侧面对角线AB1， BC1-上分别有一点E， F，且 B1E C1F ，则直线EF 与平面 ABCD 的位置关系是_，EF 与BB1 的位置关系是_解析： 过点 E 作 EG AB，交 BB1 于点 G，连接 GF ，则 B1E B1G1111B，C1F B1G， FG B11 BC.又B AB B.B EC F，B ACCB BBC1111EG FG G， AB BC B，平面 EFG 平面 ABCD .又 EF?平面 EFG ， EF平

10、面 ABCD .又 B1B AB， B1B BC， AB BC B，B1B平面 ABCD ， B1B平面 EFG .又 EF? 平面 EFG，B1B EF.答案： 平行垂直13.如图，四面体P- ABC 中， PA PB13，平面 PAB平面 ABC， ABC 90， AC8， BC 6，则 PC _， PC 与平面 ABC 所成角的余弦值为_解析： 取 AB 的中点 E，连接 PE.PA PB，PE AB.又平面 PAB平面 ABC，PE 平面 ABC .连接 CE， PE CE， PCE 为直线 PC 与平面 ABC 所成的角ABC 90， AC 8， BC 6，AB 27，PEPA2AE

11、 26，CEBE2BC243，PCPE2CE2 7，cos PCE 43.7答案：437714.在四棱锥 P-ABCD 中， PA平面 ABCD ， AD BC，BC2AD4，ABCD 10 ，则BD 与平面PAC 的位置关系是_ ； 若二面 角A-PC-D的大小为60，则 AP 的值 为-_解析： 设 O 为 AC 与 BD 的交点，作DE BC 于点 E.由四边形ABCD 是等腰梯形易证得 DBC BCA ，BC AD由已知条件易得CE 1，则 DE DC 2 CE2 3，所以 BE DE ，从而得 DBC BDE BCA 45，所以 BOC 90，即 AC BD.由 PA 平面 ABCD

12、 得 PA BD，又 PA AC A，所以 BD平面 PAC.作 OH PC 于点 H，连接 DH .又 DO平面 PAC，故 DO PC.又 DO OH O，所以 PC平面 DOH ，从而得 PCDH .故 DHO 是二面角 A-PC-D 的平面角，所以 DHO 60.易知 DO2， AC 32，因为在Rt DOH 中， tan OHD tan 60OD ，所以 OH OH63 .在 Rt COD 中， OCCD 2 OD222.PAOH在 Rt PAC 中， PC OC .设 PAx，可得x3，2226x 3解得 x322，即 AP3221111 .答案： 垂直3221115如图 1 所示

13、的等边 ABC 的边长为2a， CD 是 AB 边上的高， E， F 分别是 AC， BC边的中点现将ABC 沿 CD 折叠，使平面ADC平面 BDC，如图2 所示，则直线 AB 与平面 DEF 的位置关系是 _，四面体 A-DBC 的外接球体积与四棱锥D-ABFE 的体积之比为_-解析： E， F 分别为 AC， BC 的中点， AB EF，AB ?平面 DEF ，EF ? 平面 DEF ，AB 平面 DEF .以 DA， DB， DC 为棱补成一个长方体，则四面体A-DBC 的外接球即为长方体的外接球设球的半径为R，则 a2 a2 3a2 (2R)2， R2 5a2，4于是球的体积V1 4

14、3R3 5 65a3.13又 VA-BDC SBDC AD 6a3，31133VE-DFC S DFC AD 24a ，32V1VV12015 VD-ABFE VE-DFC9.A -BDC答案： 平行20159三、简答题 (本大题共 5 小题，共 74 分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 )16 ( 本小题满分14 分 )在空间四边形ABCD 中， E， H 分别是 AB， AD 的中点， F， G 分CFCG2别是 BC， CD 上的点，且 .求证：(1)E，F， G， H 四点共面；(2)三条直线EF ， GH， AC 交于一点证明： (1) 在 ABD 中， E， H 分别

15、是 AB 和 AD 的中点，EH 綊1BD.2在 CBD 中， CF CG 2， FG 綊 2BD .CBCD33EH FG.E， F， G，H 四点共面(2)由 (1)可知， EH FG ，且 EH FG，所以它们的延长线必相交于一点，设为点P.AC 是平面 ABC 和平面 ADC 的交线， EF? 平面 ABC， GH? 平面 ADC ，平面 ABC平-面 ADC P，由公理 3 知 PAC . 三条直线 EF ，GH， AC 交于一点17.(本小题满分15 分 )如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，PD PC.(1)证明： BC平面 PDA；(2)证明： BC

16、PD .证明： (1) 在长方形ABCD 中， BC AD ，BC?平面 PDA ， AD? 平面 PDA ，BC 平面 PDA .(2)取 CD 的中点 H，连接 PH .PD PC，PH CD.又平面 PDC平面 ABCD ，平面 PDC 平面 ABCD CD， PH ? 平面 PDC ，PH 平面 ABCD .又 BC? 平面 ABCD， PH BC.在长方形ABCD 中， BC CD ， PH CD H，BC 平面 PDC .又 PD ? 平面 PDC， BC PD.18.(本小题满分15 分)如图，平行六面体ABCD -A1B1C1D 1 的底面是菱形，C1CB C1CD BCD 6

17、0.1(1)求证： C CBD.CD 的值为多少时，可使A11BD?(2)当 CC1C平面 C解： (1) 证明：连接A1C1， AC，设 AC 和 BD 交于点 O，连接 C1O.四边形ABCD 是菱形，AC BD， BC CD .又 BCC 1 DCC 1， C1C 是公共边， C1BC C1DC ， C1B C1D.DO OB， C1OBD .又 AC C1O O，BD 平面 ACC1A1.又 C1 C? 平面 ACC 1A1，-C1CBD .(2)由 (1)知 BD 平面 AC1.A1C? 平面 ACC1A1， BD A1C.当 CD 1 时，平行六面体的六个面是全等的菱形CC1同理可

18、证BC1 A1C.又 BD BC1 B， A1C平面 C1 BD.19.(本小题满分 15 分) 如图所示，在长方体ABCD -A1 B1C1D 1 中， AB 2， BB1 BC 1，E 为 D1C1 的中点，连接ED，EC，EB 和 DB.(1)求证：平面 EDB 平面 EBC；(2)求二面角 E-DB -C 的正切值解： (1) 证明：在长方体 ABCD -A1B1C1D1 中， AB 2， BB1BC 1， E 为 D 1C1 的中点所以 DD 1E 为等腰直角三角形，D1ED 45.同理 C1EC 45.所以 DEC 90，即 DE EC.在长方体 ABCD -A1B1C1D1 中，

19、 BC平面 D 1DCC 1，又 DE ? 平面 D1DCC 1，所以 BC DE .又 EC BCC，所以 DE平面 EBC.因为 DE? 平面 DEB ，所以平面 DEB平面 EBC.(2)如图所示，过 E 在平面 D1DCC1 中作 EO DC 于 O.在长方体ABCD -A1B1C1D1 中，因为平面ABCD 平面D1DCC 1，所以 EO 面ABCD .过 O 在平面 DBC 中作 OF DB 于 F，连接 EF，所以 EF BD . EFO 为二面角 E-DB -C 的平面角利用平面几何知识可得OF 1，5又 OE 1，所以 tanEFO 5.20 ( 本小题满分15 分)( 浙江

20、高考 )如图，在三棱柱ABC-A1 B1C1中， BAC 90， AB AC 2，A1A 4， A1 在底面ABC 的射影为BC 的中点， D 是 B1C1 的中点(1)证明： A1D 平面 A1BC；(2)求直线 A1B 和平面 BB1C1C 所成的角的正弦值解： (1) 证明： 设 E 为 BC 的中点，连接 AE， A1E，DE ，由题意得 A1E平面 ABC ，所以 A1E AE.因为 AB AC，所以 AEBC.-又因为 A1E， BC? 平面 A1BC， A1EBC E，故 AE 平面 A1BC.由 D ，E 分别为 B1C1， BC 的中点，得 DE B1B 且 DE B1B，从

21、而 DE A1A 且 DE A1A，所以四边形 AA 1DE 为平行四边形于是 A1D AE.又因为 AE平面 A1BC，所以 A1D平面 A1BC.(2)作 A1F DE，垂足为F，连接 BF.因为 A1E平面 ABC，所以 BC A1 E.因为 BC AE， AE A1EE，所以 BC平面 AA1DE.所以 BC A1F.又因为 DE BCE，所以 A1F平面 BB1C1C.所以 A1BF 为直线 A1B 和平面 BB1C1C 所成的角由 AB AC 2， CAB90，得 EA EB 2. 由 A1E平面 ABC，得 A1A A1 B 4，A1E 14.由 DE BB14， DA1 EA2， DA 1E 90，得 A1F77.2.所以 sin A1BF8-