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1、第一学期期末高等数学试卷、解答下列各题（本大题共16小题,总计80分）（本小题5分）求极限 limx 23 x2x312x 169x2 12x2、（本小题5分）求x2 2 dx.（1 x ）（本小题5分）求极限 limarctan xx, 1 arcsin 一x（本小题5分）求-dx.1 x（本小题5分）求-d-71 t1_dt.dx 0（本小题5分）求 cot6 x csc4 xdx.7、（本小题5分）十三 11,本 1 cos dx.xxy（x），求 dy dx（本小题5分）设xe2cost确定了函数yy e sint（本小题5分）求 3x 1 xdx.010、（本小题5分）求函数y 4
2、2xx2的单调区间丫11、（本小题5分）7 sin x 2dx.0 8 sin x4sin t）,求 dx.12、（本小题5分）设 x（t） e kt（3cos tdy dx13、（本小题5分）设函数y y（x）由方程y2 ln y2 x6所确定，求14、（本小题5分）求函数y 2ex e x的极值15、（本小题5分）2_2422求极限 lim （x （2x（3x 1 （10x Dx（10x 1）（11x 1）16、（本小题5分）cos2x .求-一：dx1 sin xcosx二、解答下列各题（本大题共2小题，总计14分）1、（本小题7分）某农场需建一个面积为512平方米的矩形的晒谷场，一边可
3、用原来的石条围 另三边需砌新石条围沿，问晒谷场的长和宽各为多少时，才能使材料最省.沿,2、（本小题7分）2求由曲线y ）一和y2三、解答下列各题3所围成的平面图形绕 ox轴旋转所得的旋转体的 8体积.（本大题6分）设f（x） x（x 1）（x 2）（x 3）,证明f （x） 0有且仅有三个实根一学期期末高数考试（答案）、解答下列各题（本大题共16小题，总计77分）1、（本小题3分）2 xxlimx 212x 182解:原式 limx 2_ 2_3x2 1226x 18x 126x2、（本小题3分）x.、，(12、2 d xx )d(1 x2)52 2(1 x )13、（本小题3分）因为 arc
4、tan x一而 limarcsin 01 一故 limarctan x arcsin 0（本小题3分）x1 x1-1dxdxdxxdx1 xx ln 1 x（本小题3分）c.64求 -d- x Jtdt. dx 0 .原式 2x 1 x4(本小题4分)xd x.64cot x csc7、cot6 x(11 .7-cot x7(本小题4分)2求 1 -y cos 一 x,2cot x)d(cot x)1.9一 cot x c.9原式 1cos1d(1)xe21cost确定了函数ye sin ty(x)，求 dy dx解:dydxe2t (2sin tcost)t ,22、e (cost 2tsi
5、n t )et (2 sin t cost)7212-(cost 2t sin t )(本小题4分)求 x 1 xdx. 0令 1 x uu1 2)du2,原式 2 1 (u4c/ u u 、2()53510、（本小题5分）求函数 y 4 2x x2的单调区间解：函数定义域（，）y 2 2x 2（1 x）当 x 1, y 0当x 1,y0函数单调增区间为,1当x 1, y0函数的单调减区间为1,11、（本小题5分）sin x ,2- dx.8 sin x原式2 d cosx20 9 cos x1 , 3 cosx 2-In6 3 cosx 06ln212、(本小题6分)设 x(t) ekt(3
6、cos t 4sin t),求dx.解：dx x (t)dte kt (43k)cos t (4k 3 )sin t dt13、(本小题6分)设函数y y(x)由方程y2 ln y2x6所确定，求dy dx2yyy2yy 3yx5 716x514、（本小题6分）求函数y 2ex e x的极值解.定义域（，）,且连续x . 2x 1 、y 2e (e 2)一、，11驻点：x ln22由于 y2ex e x 0故函数有极小值，y(2ln 2)2 25122x x2x1024 八-0 x(x 0)唯一驻点x 16即X 16为极小值点15、(本小题8分) 2_2-22求极限 lim (x 1)(2x
7、1)(3x 1)(10x 1)X(10x 1)(11x 1)(1 1)2 (2 -)2(3 -)2(10 1)2原式 lim XJXJX11(10 -)(11 -)X X 10 11 21 6 10 11 7216、(本小题10分)解： cos2X dX cos2X dX1 sinX8sx1 -1sin2X2d(-1-sin 2x 1)1 sin 2x 21In 1 -sin 2x c 2二、解答下列各题（本大题共2小题，总计13分）1、（本小题5分）某农场需建一个面积为512平方米的矩形的晒谷场，一边可用原来的石条围 沿, 另三边需砌新石条围沿，问晒谷场的长和宽各为多少时，才能使材料最省.求
8、由曲线y故晒谷场宽为16米，长为 ,设晒谷场宽为x,则长为5上米，新砌石条围沿的总长为X 32米时，可使新砌石条围沿16所用材料最省2 解：-2Vx3 ,8x282X 2(万)2x3X1dx0, X14.4 X4。(76X、, )dx2、（本小题8分）11 7x64 74 115124 ()5735、解答下列各题(本大题10分) 设f (x) x(x1)(x 2)(x 3),证明 f (x)0有且仅有三个实根证明：“*)在(，)连续，可导，从而在0,3;连续，可导.又 f(0) f (1)f(2) f (3) 0则分别在0,1,1,2,2,3上对f (x)应用罗尔定理得，至少存在1(0,1),
9、 2(1,2), 3 (2,3)使f ( 1) f ( 2) f ( 3) 0即f (x)0至少有三个实根，又f(x) 0,是三次方程，它至多有三个实根由上述f (x)有且仅有三个实根高等数学(上)试题及答案填空题(每小题 3分，本题共15分)21、lim(1 3/x 0xe x 02、当k=1时，f (x)在x 0处连续.x2 k x 03、设 y x Inx,则 dx x/x+1dy4、曲线y ex4 x在点(0, 1)处的切线方程是 y=x+15、右 f (x) dx sin 2x C , c为常数，则 f(x) 2cos2x一。二、单项选择题(每小题 3分，本题共15分)x1、若函数
10、f (x) 一，则 lim f(x) ( D ) x x 0A、0 B 、1 C 、1 D 、不存在2、下列变量中，是无穷小量的为( B )1 x 2 ,A. ln-(x 0 ) B. ln x(x 1) c. cosx (x 0) d, -x(x2)3、满足方程f （x） 0的x是函数y f（x）的（C ）.间断点极小值点4、下列无穷积分收敛的是（五、证明题（本题7分）A、sin xdx B02x ,dx1dx xdx0 x5、设空间三点的坐标分别为M (1,1,1)、A (2, 2,1)、B (2, 1,2)。则 AMB= AA、计算题（每小题7分,本题共56分)1、求极限lim 4 x
11、1 2x 0 sin 2x2、求极限11 、limn(-) x 0 x e 1cosx3、求极限e t dtlim x 0 x14、设yln(xv1 x2),求 y5、设fy（x）由已知2 x ln(1 t2) y arctantd2y，求菽6、求不定积分12 x,2 2sin( 3)dxx、求不定积分xe cosxdx8、设 f(x)20 f(x 1)dx四、应用题（本题7分）求曲线y2所围成图形的面积 a以及a饶y轴旋转所产生的旋转体的体积。1、.若f(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且f (0) f 0, f (-) 1,证明:2在(0,1)内至少有一点，使f ( ) 1。参考答
12、案O填空题(每小题本题共15分)1、e6 2 、k =1 .4 、y 1 5、 f (x) 2cos2x1cos(22 x3)C二.单项选择题(每小题 3分，本题共15分)1、D 2、B 3、C 4、B 5、A.计算题(本题共 56分，每小题7分)1.解:lim-2L x 0 sin 2xsin 2x( . 4x 2)im2x02xsin 2x(, 4 x 2)2.解：.1lim0(一lime* x 1 xx(ex 1)xe 1x lim1 xe x 03、解:limcosxe t dt12xsin xe2x2cos x12ex xe xe4、解:(11、解:dydx11 t2,1 t12td
13、2y dx2ddt(dx)dx dt2t212，t214t3)dx1222 sin(x 3)d(3 3)126、解：-Jrsin(- x x7、 解:ex cosxdxcosxdexxe cosxexsinxdxxe cosxsin xdexxx ,xe cosx e sin x e cosxdxex (sin x cosx) Coif(x)dx 0f(x)dx 218、解：0f(x 1)dx 1 f(x)dx0dx 1 dx11 ex 01 x01(1ex1丁Rdxln(1 x)ox 01 ln(1 e ) 1 In 21 ln( 1 e 1) ln(1 e)四. 应用题（本题7分）解：曲线
14、y x2与x y2的交点为（1,1）,2于是曲线y x与xy2所围成图形的面积 A为2212 1(x x )dx -x2 -x 0 33A绕y轴旋转所产生的旋转体的体积为:1v (-. y)2 y4 dy0五、证明题（本题 7分）证明：设 F(x) f (x) x,_ 、 ，11显然F(x)在,1上连续，在(一,1)内可导， 22一_11八_且F(-)-0,F(1) 1 0.221 -由零点定理知存在 X1 ,1,使F (Xi) 0 .2由F(0) 0,在0,x/上应用罗尔定理知，至少存在一点(0,Xi)(0,1),使 F ( ) f ( ) 1 0,即 f ( ) 1所围成的平面图形绕ox轴旋转所得的旋转体的体积.811 ex2x
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