成人高考专升本高等数学公式(含特殊三角函数值)精品文档15页

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1、导数公式:2(tgx) =sec x (ctgx) = -csc x (secx) = secx tgx(cscx) = -cscx ctgx (axr-axl na高等数学公式(arcsin x)(arccos x)(arctgx)=-x2X2(log a x)(arcctgx)x2基本积分表：tgxdx 二-In cosx Cctgxdx = l nsinx Cdx2cos xdx2sec xdx 二 tgx CJ secxdx =+ CJ cscxdx =C dxln secx 十 tgxIn cscx -ctgx +.2a x1 x carctg C a2 2x -aln 2ai 2

2、sin = csc xdx - -ctgx C xsecx tgxdx 二 secx Ccscx ctgxdx 二-cscx CaxdxCIn ashxdx = chx Cdx 2 a -xTlnchxdx = shx Cdx a2 -x2a=arcs xn 仝dx R n(x + Jx2 y)+C,x a2In=sinn xdx =.ocosoxdx 二 n2三角函数的有理式积分：2 xa2dxx八x2+a2 + n(x+Jx 2 2 2a2) C22x -a dxInx+vx -a +C22a -x dx-xarcs 2.X insin x 二岛2,cosx1 -U21 u2dx2du1

3、u2第 15 页一些初等函数:三角函数公式:?诱导公式：两个重要极限:函数 角sincostgctgA-a-sin acos a-tg a-ctg a90 - acos asin actg atg a90 + acos a-sin a-ctg a-tg a180 asin a-cos a-tg a-ctg a180 -a-sin a-cos atg actg a270 - a-cos a-sin actg atg a270 - a-cos asin a-ctg a-tg a360 - a-sin acos a-tg a-ctg a360 - asin acos atg actg a-和差角公式

4、:-和差化积公式:sin二sin :cos:cossin ( ?xsi n JCOS L 二 costs in :r) : cos 二 cos : cos : sin : (:二sin :tg : -tg ：1 / 1 二 tg : tg ：tg (: - J =ctg : ctg :二 1:ctg (:;二 ctg L , = ctg -a + P a - P cos 一sin - - 2 sin 2 2 a + P a - P sin 2 a - P-sin : =2 cos cos 2 a-P sin r a + P cos - 22cos 一2r a + P cos -二 2sin?倍

5、角公式:-半角公式:.0(C0SGsin ：:.2 2,a 林一 cosm 1 cosot tg2,1 cos : sin :sin :1 COS Ha cos2cos :21 + cosot1 cos : 1 一 cosa sin :sin :2 2 2?余弦定理：c = a b - 2ab cosC3Tarctgx = ?arcctgx?正弦定理：bc2Rsin A sinB sinCji?反三角函数性质：arcs in x = - arccosx2高阶导数公式-莱布尼兹(Leibniz )公式：n(n)k (n 虫)(k)(uv) = CnUk =0=u(n)v nuvn(n -1)2!

6、十.* + n(n 9 (n k*)口( n _k) V (k)+k!中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：f (b) - f(a)二f)( b -a)柯西中值定理：，型血F(b)-F(a) F 徉)当F(x)二x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理曲率：弧微分公式：ds二1 y 2 dx,其中y = tg平均曲率：K / | A :-:从M点到M点，切线斜率的倾角变化s： MM弧长。M点的曲率：|ds| . (1 ? y 2)3宜线：K =0;半径为a的圆：K =-.a定积分的近似计算：b矩形法：f(x)拧(y0 y1山a- bba 1佛形法：f(X)匚尹o yn) y1 a1 b - a抛

7、物线法：f(x)计,y yn) 2(y2 y4y I 4(y1 y3山定积分应用相关公式：功：W = F s水压力：F = p? A引力：F-H的引力系数rb函数的平均值:f(x)dxa均方根：空间解析几何和向量代数：空间 2 点的距离：d = M HU 2 =gX2 xj* 2 +(y2 yj2 +(z2 zj2 向H在轴上的投影：pAuAB = AB cos?,申是AB与u轴的夹角。Prju(ai a?) =Pr jaPJa?a b =|a b cos 日=axbx +ayby +azbz,是一个数M两向M之间的夹角：axbx+ayby+azbz COS2 2 2 2 2 zax ayaz

8、bxby bz_ i J kc=aAb=a x a y线速度：v = w 匚az, c = a b sin 0 例：bzbx by向量的混合积:abc =(a Ab) c = b x byaz-bz uaAb c cosa , a 为锐角时,cx CyCz代表平行六面体的体积： A,B,C, M o(Xo,yo,Zo)X y平面的方程:1 点法式：A(x -X o ) B(y -y ) C(z -Z。)=式其中 n2、般方程：Ax By Cz D = 0 3、截距世方程:a b c平面外任意一点到该平面的距离:dAx。+ Byo+Czo + D|JA2+B2+C2空间宜线的方程：匕乞二士必=口

9、|x = xo mt丸其中6=m, n,p;参数方程：y = y + nt m n pz = z O + pt二次曲面:1、2、3、2 2 2椭球面：笃吗? q =1 a b c2 2抛物面： z, (p,q同号) p 2q双曲面：2 2 2单叶双曲面：冷潟=1a b c双叶双曲面：H刍=k马胺面)a b c多元函数微分法及应用全微分：dz = AdxL、+竺dydu =Adx + 凹 dy + 竺 dzL、L、:xL、:y : z全微分的近似计算: z- dA fx(x,y) x fy(x, y)Ay多元复合函数的求与法:dz _ :z :u : z :v dt ; :u ; :t : v

10、： tz = fu(x, y),v(x, y)L、L、Z : Z : u :z v x : u :x : v : X当 u 二 u(x, y), vv(x,y)时,；u u ._u dx dy x y 区函数的求与公式：隐函数F(x, y) =0,隐函数 F(x,y,z) =0,dvdx Vdy3虬上dx Fy2?=匕:x Fz 仝一(上)+上(上)dydx :x Fy :y Fy dx/5V Fz隐函数方程组：；F(X)y, u, v)=OG(x, y,u,v) =0.:u1;: (F,G): v1= =.xJ (x,v):xJ:u1;:(F ,G): v1= I =.:yJ j(y, v)

11、 ； ： y J微分法在几何上的应用：cFi _ (F,G) _ 百&u,v)|cG cGcu cv-：(F,G)：:(u,x)?F,G)：:(u,y)FuG uFvGvx= 9(t)X-X o y - y。z - z空间曲线y (t)在点M (xo, y0,z0)处的切线方程：，一,、(t。)( to )在点M处的法平面方程:z = (t)Fx,Fx Fy(t )(x x ) (t )(y - y ) ? ?(t )(z z ) = 0若空间曲线方程为：F(xyz)=,则切向M厂广Fz,FzG(X, y,Z)=0Gy Gz G z G x Gx Gy曲面 F(x, y, z)=0 上一点 M

12、(Xo,y,Z。)，则:1、 过此点的法向n 二Fx(Xo,y ,Z。),Fy(Xo,yo,z。) ,Fz(Xo,yo,z。)2、 过此点的切平面方程：Fx(Xo,y ,Z。)(x-X。)Fy(Xo,y ,Z。)(y-y。)Fz(Xo,y ,z。) (z-z )=03、过此点的法线方程x-x y-y z-zFx(x。，y , Z。) Fy(X0,y ,Z。) Fz(x。，y0,z )方向导数与梯度：函数z = f(x, y)在一点p(x, y)沿任一方向I的方向与数为：，二，cos - s incl ex cy 其中为X轴到方向I的转角。-一、 .Ef - Sf 函数 z = f(x, y)在

13、一点 p(x, y)的梯度：gradf (x, y) i jex cy f_-一一匕与万向与数的关系是：一一 gradf(x,y)e ,其中e = cos : :? i sin ，为I万向上的 cl单位向量。-f是gradf (x,y)在l上的投影-Ifxy(X。，y ) = B, f yy(x , y ) = C多元函数的极值及其求法： 设 fx(x , y ) = fy(X0,y ) =0,令：fxx(X0,y ) = A,AC-b2。时;A7(X0,y。)为极大值C.A0,(X0,y。)为极小值则：AC -B2 6时，无极值AC_B2=0时，不确定重积分及其应用11 f (x, y)dx

14、dy 二 f (r cost , rsin v )rdrd vDD 曲面z = f (x,y)的面积A二平面薄片的重心：-Mx D x =ML1 + + | dxdyD X. vJJxP(x, y)dbi，： (x,y)dcD.r (x, y)dcD.?(x,y)dcD平面薄片的转动惯对于x轴I x = JJ y? P(x, y)dcr,对于y轴DI y = P(x, y)dcrD平面薄片(位于xoy平面)对z轴上质点M(0,0,a),(a0)的引力:F =Fx, Fy,Fz,其中:Fx = f ff( x, y)xdD ,? ?(x y a )柱面坐标和球面坐标：3,.(x, y)ydFy

15、二 f IIz 22(x y a )(x, y)xdz 22(x y a )x =r cos B 柱面坐标：y = r sinA,hi f (x, y, z)dxdydz = F(rj,z)rdrd Pz,Q 6其中: F (r, v,z)二 f (r cos rsin) ,z)x 二 rsin cos -球面坐标：y=rsin :sin v, dv = rd rsin :I z = r cos?dr=r?sin :drd d八重心： x =f (x, y, z)dxdydzQr( :,TF(r, )r?si n :drd :d)- d d F(r, 曰勺 r?si n :dr1 1 1xdv

16、, y =M QM五ydv,iiizAdv, Q其中M = x =.dv转动惯Ix 二(y? z?) ;?dv, Qly 二(x? z?) Qdv,.( x? y?)dv Q曲线积分:第一类曲线积分(对弧 长的曲线积分):=P 设f (x,y)在L上连续，L的参数方程为:,(口竺邛),则:(t) P.f(x, y)ds 二 f t) (t)？(t)?(t)dt C :-)特殊情况:X =tJ=p(t)第二类曲线积分(对坐标的曲线积分 广设L的参数方程为J 乂 “Kt)P(x,y)dx Q(x,y)dyL、:.P 建)，-(t) (t) Q (t)(t)(t)dt两类曲线积分之间的关系： Pdx

17、 ? Qdy 二 ( Pcost geos 一： )ds 其中： ?和：分别为LL(- Q- )dxd八；Pdx QdyD ex:yLA 二 dxdy- 1 xdy-ydx 泳纲 D=史。注意奇点，如(0,0)，应L 上积分起止点处切向量的方向角。格林公式：11(卫 尸)dxdy = BPdx ? Qdy格林公式： D ex &yL当 p=_y,Q 二 x, 即 ： 2 一兰 =2 时，得到D 的面积：平面上曲线积分与路径无关的条件：1 G 是一个单连通区域；& cy2、P(x,y), Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，且卫减去对此奇点的积分，注意方向相反！二元函数的全微分求积：在2 =

18、-P时，Pdx Qdy才是二元函数u(x, y)的全微分，其中:.x ; y(x,y)u(x, y) 二P(x,y)dx Q(x, y)dy, 通常设x0 二y0 =0。曲面积分:对面积的曲面积分：JJ f (x,y,z)ds = JJ f x, y,z(x, y)J1 +z ； (x, y) + z： (x, y)dxdy二Dxy对坐标的曲面积分：Il P(x, y,z)dydz ? Q(x, y, z)dzdx ， R(x, y,z)dxdy, 其中：Z11 R(x,y,z)dxdy ： i iRx, y,z(x,y)dxdy, 取曲面的上侧时取正号；DxyP(x,y,z)dydz= Px

19、(y,z), y,zdydz 取曲面的前侧时取正号；.Q(x,y,z)dzdxZ工Dyz号。Qx, y( z,x),zdzdx 取曲面的右侧时取正Dzx两类曲面积分之间的关系： Pdydz Qdzdx Rdxdy 二 ( Pcos： Qcos ： Rcos )dsZZ高斯公式：Rcos )ds.:p . : Q . : R111 (一 ) dv = Pdydz Qdzdx Rdxdy 二(P cos 一八 Q cos - .人、r ：会就勺法理意义一一通备与散度：、div、？. ： ： ：0,则为消失散度：div=兰?卫?还，即：单位体积内所产生的流体质量，若ex dy dz通量： A nds

20、 二 Ands 二(Pcost 11 Qcos : Rcos )ds ,z z z因此，高斯公式又可写成： div Adv二：An ds斯托克斯公式一一曲线积分与曲面积分的关系:R : :Q:P( )dydz (上式左端又可写成：P : :R Q .xdydz dzdxdxdyJJL、L、L、cccexcydz.PQR空间曲线积分与路径无)dxdy = Pdx Qdy Rdzco 的 cosB cos?=ffdecJ JexcyczsPQR关的条件：八二旦，cy &.R.-z :X i j、一二？旋度：rotA = .dx y向量场A沿有向闭曲线Q-的环流量：Pdx Qdy Rdz二-A td

21、sff常数项级数：等比数歹 U: +q +q2 + +qnJ =i-q等差数列：1 2 3 n = ?如2111调和级数：1 +-十-+-是发散的2 3n级数审敛法：1 正项级数的审敛法别法）：时，级数收敛设： P =lim n； u7, 贝时，级数发散FI P=1 时，不确定2、 比值审敛法：T : ： : 1 时，级数收敛设： P =lim 业 1，贝 并 时，级数发散n ACUn P= 1 时，不确定J3、 定义法：Sn=比？ U2? Un；lim Sn存在，则收敛；否则发 散。 n_jpc交错级数5 -氏U3 -比？（或-5【2-出？,Un 0）的审敛法 莱布尼兹定理:Un色山川 人，

22、一人.，一如果交错级数满足那么级数收敛且其和sAu-其余项rn的绝对值rA Un 1limun=0， j -人，n匚绝对收敛与条件收敛:（1） U1 U2 - Un?，其中Un为任意实数；（2） 5 + 吐|+| 出| + +Un + 如果 （ 2） 收敛，则 （ 1 ） 肯定收敛，且称为绝对收敛级数 ;如果 （ 2） 发散，而 （ 1 ） 收敛，则称（ 1 ） 为条件收敛级数。调和级数：a i发散，而匕，收敛；nnp R时发散，其中R称为收敛半径。 x = R时不定0时，RP求收敛半径的方法：设|而3 =，毋1r a. an .1是(3)的系数，则(一0时，Rz:Hl a/- ?:时，R =

23、 0函数展开成幕级数函数展开成泰勒级数：f(X) = f(X 0)(X-X0)? 0)2L。)一。八2!n!(n 1)(余项：R (n 1)!()( X-Xo)n1, f(X)可以展开成泰勒级数的充要条件是：lim Rn =0n :.f(x) =f (0) f (0)x?X nX0 =0时即为麦克劳林公式：2!n!一些函数展开成幕级数：-、 m ,1)”(m-n+1) n 八(1 x) = 1 mxx1):!352n dsinx=x-X X(-1)n X3! 5!(2n-1)!n!(-：m(m 1) 2 m(m x( 一 1 : x :x :：)第25ix _L _ix e +e cosx =

24、欧拉公式：ixe cosx i sinxix -ix e e sinx 二三角级数： odf(t)二 A0 二 An s in(nJ =色一二(an cos nx bn si n nx) n壬2n壬其中，a = aA, an = A sin , bn = A cos -n, t = x。正交性：1,si n x,cosx,si n2x,cos2x - s inn x, cos nx任意两个不同项的乘积在L叮上的积分=0。傅立叶级数：af(x) - Hx (ancos nx bn s inn x),周期=2an兀f (x)cos nxdx一兀(n =0,1,2 )bnf (x)sinnxdx(n

25、 =1,2,3 )H -JT22421+ 一622 片冗 / 124 正弦级数：an =bn1 +?十*1 +1 12232 _4兀f (x)sin nxdx_ 2-(相力口)6_ 2(相减)12n= 1,2,3 八 f(x) =A bnsin nx 是奇函数余弦级数：bn = 0 , an兀f(x)cosnxdx0n =0,1,2 f(x) =2fJ? 7 an cosnx 是偶函数2周期为2l的周期函数的傅立叶级数f(x)二也2J(anCOS八 bn Si n 八),周期=211 jf(x)cos1n - xan 二一 I ； f (x)si n -I- ddxx(n = 0,1,2 八

26、)bnn rx(n =1,2,3 )微分方程的相关概念:一阶微分方程：ynfXy) 或 P(x, y)dx Q(x, y)dy =0可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为 g(y)dy 二 f (x)dx 的形式，解法：g(y)dy= f(x)dx 得：G(y)二 F(x), C 称为隐式通解。齐次方程：一阶微分方程可以写成也 =f (x, y) = (x, y) ，即写成的函数，解法：dxx设u =,贝U=u xAA , u = (u),鱼du一分离变量，积分后将 一代替u,x dxdx dxx (u)-ux即得齐次方程通解。一阶线性微分方程：1 、 一阶线性微分方程：- P(x)y =

27、Q(x)dx当 Q(x) =0 时 ,为齐次方程，y=Ce_Px )dxQ(x) 鼻 0 时，为非齐次方程，y =( JQ(x)eJ Pmdxdx + C)e 2、 贝努力方程：P(x)y =Q(x)yn,(n = 0,1)dx全微分方程：如果 P(x, y)dx ? Q(x, y)dy = 0 中左端是某函数的全微分方程，即：du(x, y) 二 P(x, y)dx Q(x, y)dy 二 0, 其中： - P(x, y) , Q(x, y) excy.u(x, y)=C 应该是该全微分方程的通解。二阶微分方程：乎 P(x A Q(x)y = f(x) ,f(x) 三 0 时为齐次f (x)

28、 = 0 时为非齐二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：(*) y py qy =0, 其中 p,q 为常数；求解步骤：1、 写出特征方程：()r2 pr7=0，其中r2, r的系数及常数项恰好是(*)式中y ,y ,y的系数;2、 求出 C )式的两个根几卫3、根据的不同情况，按下表写出 (*)式的通解:叫r2的形式(*)式的通解两个不相等实根(p2-4q0)yhC? +c 2e2两个相等实根(p24q_0)y =(ci +C2x)ex一对共钝复根(p2 _4q 。)A =a, r2- iB 一 p J4q-P222y =$(& cos0x + C2 sin Bx)二阶常系数非齐次线性微分方程

29、y py qy = f(x) , p,q 为常数 f(x) =e xPm(x)型,为常数f (x) =eR(x) cosox +巳(x)si nox型附录：特殊三角函数(1)特殊角三角函数值sin0=0sin 30=0.5sin45=0.7071 二分之根号 2sin60=0.8660二分之根号 3sin 90=1cos0=1cos30=0.866025404cos45=0.707106781cos60=0.5cos90=0tan0=0tan30=0.577350269tan 45=1tan60=1.732050808tan 90=无cot0=无cot30=1.732050808cot45=1cot60=0.577350269cot90=0二分之根号3二分之根号2三分之根号3根号3根号3三分之根号30。？ 90。的任意角的三角函数值，查三角函数(见下)(2)表。(3)锐角三角函数值的变化情况 (i)锐角三角函数值都是正值（ ii ）当角度在0 ? 90 间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（ iii ）当角度在0 a 90间变化时，0 COS a 0, 当角度在0 a 0, COt a 0.b2.f （t）dta