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1、圆rABCdOd一、点与圆的位置关系1、点在圆内 点在圆内；2、点在圆上 点在圆上；3、点在圆外 点在圆外；二、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 无交点；2、直线与圆相切 有一个交点；3、直线与圆相交 有两个交点；rdd=rdr三、圆与圆的位置关系外离(图1) 无交点 ；外切(图2) 有一个交点 ；相交(图3) 有两个交点 ；内切(图4) 有一个交点 ；内含(图5) 无交点 ；图3dRr图2dRr图1dRr 图5dRr图4dRrABDOE四、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。C 推论1：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线
2、经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。以上共4个定理，简称2推3定理：此定理共5个结论，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：是直径 弧弧 弧弧 C ABDO中任意2个条件推出其他3个结论。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在中， 弧弧E五、圆心角定理AB C ODF圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，即：； 弧弧中任意1个条件推出其他3个结论。AB C O六、圆周角定理1、圆周角定理
3、：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即：和是弧所对的圆心角和圆周角 DAB C O2、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在中，、都是所对的圆周角AB C O 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在中，是直径 或 是直径 C ABO推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在中， 是直角三角形或注：此推论实际上是定理“在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”的逆定理。七、切线的性质与判定定理(1)切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的
4、直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可ANMO 即：且过半径外端 是的切线(2)性质定理：切线垂直于过切点的半径(如图) 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。八、切线长定理BAOP切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：、是的两条切线 ，平分九、两圆公共弦定理ABO1O2圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图：垂直平分。即：、相交于、两点 垂
5、直平分A C O2O1B十、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：(1)公切线长：中，；(2)外公切线长：是半径之差； 内公切线长：是半径之和 。A C DOB十一、圆内正多边形的计算(1)正三角形 在中是正三角形，有关计算在中进行：；A C DEOB(2)正四边形同理，四边形的有关计算在中进行，：(3)正六边形ABO同理，六边形的有关计算在中进行，.ABlS十二、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式O1、扇形：(1)弧长公式：；(2)扇形面积公式： ：圆心角 ：扇形所对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积DA C C1 底面圆周长 母线长 D12、圆柱： (1)圆柱侧面展开图B =AB C OB1r
6、(2)圆柱的体积：(2)圆锥侧面展开图(1)=(2)圆锥的体积：【应用】1如图，将边长为的正六边形A1 A2 A3 A4 A5 A6在直线上由图1的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动，当A1第一次滚动到图2位置时，顶点A1所经过的路径的长为( )A. B C D 2. 如图，AC是O的直径，弦BD交AC于点E（1）求证：ADEBCE；（2）如果AD2=AEAC，求证：CD=CB3. 如图，已知点E在直角ABC的斜边AB上，以AE为直径的O与直角边BC相切于点D（1）求证：AD平分BAC；（2）若BE=2，BD=4，求O的半径4. 如图，在ABC中，AB=AC，以AB为直径的O交AC于点E，交BC
7、于点D，连结BE、AD交于点P. 求证：（1）D是BC的中点；（2）BEC ADC；（3）AB CE=2DPAD5如图，在锐角ABC中，AC是最短边；以AC中点O为圆心，AC长为半径作O，交BC于E，过O作ODBC交O于D，连结AE、AD、DC(1)求证：D是的中点；(2)求证：DAO =B +BAD；(3)若，且AC=4，求CF的长6. 已知，AB是O的直径，点P在弧AB上（不含点A、B），把AOP沿OP对折，点A的对应点C恰好落在O上（1）当P、C都在AB上方时（如图1），判断PO与BC的位置关系（只回答结果）；（2）当P在AB上方而C在AB下方时（如图2），（1）中结论还成立吗? 证明你
8、的结论；（3）当P、C都在AB上方时（如图3），过C点作CD直线AP于D，且CD是O的切线，证明：AB=4PD7己知：如图，ABC内接于O，AB为直径，CBA的平分线交AC干点F，交O于点D，DFAB于点E，且交AC于点P，连结AD。(1)求证：DAC=DBA；(2)求证：P处线段AF的中点；(3)若O的半径为5，AF=，求tanABF的值。8、如图，O是RtABC的外接圆，AB为直径，ABC=30，CD是O的切线，EDAB于F，(1)判断DCE的形状；(2)设O的半径为1，且OF=，求证DCEOCB ABDEOFC 9、如图，AB是O的切线，切点为A，OB交O于C且C为OB中点，过C点的弦C
9、D使ACD45，的长为，求弦AD、AC的长10、如图14，直线经过上的点，并且，交直线于，连接（1）求证：直线是的切线；（2）试猜想三者之间的等量关系，并加以证明；（3）若，的半径为3，求的长11、O的半径OD经过弦AB(不是直径)的中点C，过AB的延长线上一点P作O的切线PE，E为切点，PEOD；延长直径AG交PE于点H；直线DG交OE于点F，交PE于点K（1）求证：四边形OCPE是矩形；（2）求证：HKHG； （3）若EF2，FO1，求KE的长12、如图，内接于，点是的中点边上的高相交于点试证明：（1）；（2） 四边形是菱形EADGBFCOM13、如图，在中，是的中点，以为直径的交的三边，交点分别是点的交点为，且，（1）求证：（2）求的直径的长（3）若，以为坐标原点，所在的直线分别为轴和轴，建立平面直角坐标系，求直线的函数表达式
中考数学圆提高练习题压轴题训练
