初二数学期末专题复习之几何部分——菱形(学生版)(共19页)

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1、精选优质文档-倾情为你奉上初二数学期末专题复习之菱形一、知识点梳理（一）四边形的相关概念1、四边形在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接的图形叫做四边形。2、凸四边形把四边形的任一边向两方延长，如果其他个边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形。3、对角线在四边形中，连接不相邻两个顶点的线段叫做四边形的对角线。4、四边形的不稳定性三角形的三边如果确定后，它的形状、大小就确定了，这是三角形的稳定性。但是四边形的四边确定后，它的形状不能确定，这就是四边形所具有的不稳定性，它在生产、生活方面有着广泛的应用。5、四边形的内角和定理及外角和定理四边形的内角和定理：四边形的内角和

2、等于360。四边形的外角和定理：四边形的外角和等于360。推论：多边形的内角和定理：n边形的内角和等于180； 多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360。6、多边形的对角线条数的计算公式设多边形的边数为n，则多边形的对角线条数为。（二）平行四边形 1、平行四边形的概念两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形用符号“ABCD”表示，如平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。2、平行四边形的性质（1）平行四边形的邻角互补，对角相等。（2）平行四边形的对边平行且相等。推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。（3）平行四边形的对角线互相平分。（4）若一直线过平行

3、四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积。 （5）中心对称图形，对称中心是对角线的交点。3、平行四边形的判定（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形（2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形（3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形（4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形（5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4、两条平行线的距离两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。平行线间的距离处处相等。（4）两条平行线之间的距离两条平行线中，一条直线上

4、的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离平行线间的距离处处相等注意：(1)距离是指垂线段的长度，是正值5、平行四边形的面积：S平行四边形=底边长高=ah（三）矩形 1、矩形的概念有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。2、矩形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）矩形的四个角都是直角（3）矩形的对角线相等（4）矩形是轴对称图形注：用矩形的性质可以证明线段相等或倍分、直线平行、角相等等 3、矩形的判定（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形结论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。注意：用定义判

5、定一个四边形是矩形必须同时满足两个条件：一是有一个角是直角；二是平行四边形也就是说有一角是直角的四边形，不一定是矩形，必须加上平行四边形这个条件，它才是矩形用定理2证明一个四边形是矩形，也必须满足两个条件：一是对角线相等；二是平行四边形也就说明：两条对角线相等的四边形不一定是矩形，必须加上平行四边形这个条件，它才是矩形4、矩形的面积：S矩形=长宽=ab（四）菱形 1、菱形的概念有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）菱形的四条边相等（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（4）菱形是轴对称图形3、菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的

6、平行四边形是菱形（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形注意：对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，必须加上平行四边形这个条件它才是菱形利用菱形的性质及判定可以证明线段相等及倍分、角相等及倍分、直线平行、垂直，以及证明一个四边形是菱形和有关计算4、菱形的面积S菱形=底边长高=两条对角线乘积的一半菱形的计算转化为_三角形 （五）正方形 1、正方形的概念有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们的包含关系如图：2、正方形的性质（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质（2）正方形的四个角都是直角，四

7、条边都相等（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。 3、正方形的判定判定一： 一组邻边相等的矩形是正方形；判定二：一个角是直角的菱形是正方形判定三：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形；判定四：即是矩形又是菱形的四边形是正方形。（1）判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：先证它是矩形，再证有一组邻边相等。先证它是菱形，再证

8、有一个角是直角。（2）判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：先证明它是平行四边形；再证明它是菱形（或矩形）；最后证明它是矩形（或菱形）4、正方形的面积设正方形边长为a，对角线长为bS正方形=（六）梯形 1、梯形的相关概念一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。梯形中平行的两边叫做梯形的底，通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底。梯形中不平行的两边叫做梯形的腰。梯形的两底的距离叫做梯形的高。两腰相等的梯形叫做等腰梯形。一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。一般地，梯形的分类如下： 一般梯形梯形 直角梯形 特殊梯形 等腰梯形2、梯形的判定（1）定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形

9、。（2）一组对边平行且不相等的四边形是梯形。3、等腰梯形的性质（1）等腰梯形的两腰相等，两底平行。（3）等腰梯形的对角线相等。（4）等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，即两底的垂直平分线。4、等腰梯形的判定（1）定义：两腰相等的梯形是等腰梯形（2）定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形（3）对角线相等的梯形是等腰梯形。5、梯形的面积（1）（上底+下底）高 （2） 梯形中位线高（3）一腰中点到对腰的距离乘以此对腰的长=（如图）（4）如右图（现记住结论就行了）（5）梯形中有关图形的面积：； 6、梯形中位线定理梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。7、解决梯形问题的常用方法（如下图所

10、示）：梯形的常见辅助线的添加方法：作高、平移腰、延腰、平移对角线、等积变化（当然不要忘了根据条件灵活添加辅助线）。通过添加辅助线，把梯形转化成平行四边形和三角形 “作高”：使两腰在两个直角三角形中“移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中“廷腰”：构造具有公共角的两个三角形“等积变形”：连接梯形上底一端点和另一腰中点，并延长交下底的延长线于一点，构成三角形综上，解决梯形问题的基本思路： 梯形问题三角形或平行四边形问题，这种思路常通过平移或旋转来实现 （七）各个四边形之间的关系（1）知识框架 8、中心对称图形（2）几种特殊四边形的性质边角对角线平行四边形对边平行且相等对角相等两条对角线互相平分矩

11、形对边平行且相等四个角都是直角两条对角线互相平分且相等菱形对边平行四边相等对角相等两条对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角正方形对边平行四边相等四个角都是直角两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角（3）几种特殊四边形的常用判定方法平行四边形（1）两组对边分别平行；（2）两组对边分别相等；（3）一组对边平行且相等；（4）两条对角线互相平分；（5）两组对角分别相等。矩形（1）有三个是直角；（2）是平行四边形且有一个角是直角；（3）是平行四边形且两条对角线相等。菱形（1）四条边都相等；（2）是平行四边形且有一组邻边相等；（3）是平行四边形且两条对角线互相垂直。正方形（1）是矩形，

12、且有一组邻边相等；（2）是菱形，且有一个角是直角。 （八）中心对称图形(1）把一个图形绕着某一个点旋转180，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称（中心对称）； (2)把一个图形绕它的某一个点旋转180，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。 性质： (1)关于中心对称的两个图形是全等形； (2)关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分； (3)如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。 注： (1)以下图形是中心对称图形：直线、线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形

13、等。 (2)以下图形不是中心对称图形：射线、角、三角形、等边三角形、等腰三角形等。 (3)特别注意：平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形。对比轴对称图形与中心对称图形：轴对称图形中心对称图形有一条对称轴直线有一个对称中心点沿对称轴对折绕对称中心旋转180O对折后与原图形重合旋转后与原图形重合（九）主要思想方法小结1、转化思想（又叫化归思想）转化思想就是将复杂的问题转化为简单的问题，或将陌生的问题转化为熟悉的问题来处理的一种思想，本章应用化归思想的内容主要有两个方面： （1） 四边形问题转化为三角形问题来处理（2） 梯形问题转化为三角形和平行四边形来处理2、代数法（计算法） 代数法是用代数知

14、识来解决几何问题的方法，也就是说运用几何定理、法则，通过列方程、方程组或不等式及解方程、方程组、恒等变形等代数方法，把几何问题转化成代数问题来解决的方法3、变换思想 即运用平移变换、旋转变换、对称变换等方法来构造图形解决几何问题（十）应注意的几个问题1、不能把判定方法与性质混淆，应加深对判定方法中条件的理解，重视判定方法中的基本图形，不要用性质代替了判别解题时不能想当然，更不要忽视重要步骤2、在判别一个四边形是正方形时，容易忽视某个条件，致使判断失误，要避免这种错误的产生就必须认真熟记正方形的定义、特征和识别方法，认真区别各个特征、识别方法的条件，不要忽略隐含条件，避免错误的产生3、判别一个四

15、边形是等腰梯形时，不要忽略了先判别四边形是梯形，对梯形的概念、性质、判定认识要清4、纵横对比，分清各种四边形的从属关系，抓住其概念的内涵5、复习时，依然从边、角、对角线、对称性等角度来理解和应用平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定方法，注意对问题的观察、分析与总结（十一）几何证明思路。（十三）做辅助线法则二、考点及题型考点1 与菱形有关的计算问题1、如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边上的中点，连结EF.若EF，BD4，则菱形ABCD的周长为()A4 B4 C4 D282如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DHAB于H，则DH=（）ABC1

16、2D243、如图，矩形ABCD中，AB8，BC4.点E在边AB上，点F在边CD上，点G，H在对角线AC上若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（ ）A2 B3 C5 D64、如图，矩形ABCD中，AB8，点E是AD上的一点，有AE4，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连结EF交CD于点G，若G是CD的中点，则BC的长是_训练1 训练2 如图，在菱形ABCD中，过点B作BEAD，BFCD，垂足分别为E，F，延长BD至G，使得DG=BD，连接EG，FG，若AE=DE，则=_ 训练2 如图，四边形ABCD与四边形AEFG都是菱形，其中点C在AF上，点E，G分别在BC，CD上，若BAD135，EAG

17、75，则_ （训练2图） （5题图）5、如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，A=120，则阴影部分的面积是（ ）A B2 C3 D考点2 线段的最值问题 1、如图，菱形ABCD中，AB=2，A=120，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为( )A1 B C 2 D1 （1题图） （训练1图）训练1 如图，边长为4的正方形ABCD，点P是对角线BD上一动点，点E在边CD上，EC1，则PCPE的最小值是 训练2 在菱形ABCD中，AB=2，ADC=120，M是AB的中点，P为对角线BD上的一动点，在运动过程中，记AP+MP的最大值为S,最小值为

18、T，则的值为 训练3 如图，在边长为2的菱形中，=60，是边的中点，是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接,则长度的最小值是_. 2、如图，在RtABC中，C90，AC6，BC8点E是BC边上的点，连结AE，过点E作AE的垂线交AB边于点F，求AF的最小值方法小结：两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流”（如图1）三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题，关键是指出两条对称轴“反射镜面”（如图2）两条线段差的最大值问题，一般根据三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时，两条线段差的最大值就是第三边的长如图

19、3，PA与PB的差的最大值就是AB，此时点P在AB的延长线上，即P图1 图2 图3注：解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便考点3 菱形的证明1、已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE = AF（1）求证：BE = DF；（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM = OA，连接EM、FM判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论训练 已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，点F在边BC上，且AE=CF，作EGFH，分别与对角线BD交于点G、H，连接EH，FG（1）求证：BFHDEG；（2）连接DF，若BF=DF，则四边形EGFH是什么

20、特殊四边形？证明你的结论考点4 图形的平移和旋转（与三角形的综合） 1、如图，在菱形ABCD中，DAB=60，点E为AB边上一动点（与点A，B不重合），连接CE，将ACE的两边所在射线CE，CA以点C为中心，顺时针旋转120，分别交射线AD于点F，G.（1）依题意补全图形；（2）若ACE=，求AFC 的大小（用含的式子表示）；（3）用等式表示线段AE、AF与CG之间的数量关系，并证明训练 如图1，在菱形ABCD中，AC=2，BD=3，AC，BD相交于点O（1）求边AB的长；（2）如图2，将一个足够大的直角三角板60角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处，绕点A左右旋转，其中三角板60角的两边分别与

21、边BC，CD相交于点E，F，连接EF与AC相交于点G判断AEF是哪一种特殊三角形，并说明理由；旋转过程中，当点E为边BC的四等分点时（BECE），求CG的长考点5 与平行四边形的综合1、在平行四边形ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线EF、GH，分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点，连结EG、GF、FH、HE.（1）如图，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；（2）如图，当EFGH时，四边形EGFH的形状是 ；（3）如图，在（2）的条件下，若AC=BD，四边形EGFH的形状是 ；（4）如图，在（3）的条件下，若ACBD，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由.HGFEODCB

22、A图HGFEODCBA图ABCDOEFGH图ABCDOEFGH图 2、已知,矩形中, 的垂直平分线分别交、于点、,垂足为. (1)如图10-1,连接、.求证四边形为菱形,并求的长；(2)如图10-2,动点、分别从、两点同时出发,沿和各边匀速运动一周.即点自停止,点自停止.在运动过程中,已知点的速度为每秒5,点的速度为每秒4,运动时间为秒,当、四点为顶点的四边形是平行四边形时,求的值.若点、的运动路程分别为、(单位:,),已知、四点为顶点的四边形是平行四边形,求与满足的数量关系式.图10-1图10-2备用图三、巩固训练1、如图，在ABC中，DE分别是AB，AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F

23、，使得EF=BE，连CF（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若CE=6，BEF=120，求菱形BCFE的面积2 如图，在RtABC中，B=90，点E是AC的中点，AC=2AB，BAC的平分线AD交BC于点D，做AFBC，连接DE并延长交AF于点F，连接FC.求证：四边形ADCF是菱形。3 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作直线EFBD，分别交AD、BC于点E和点F，求证：四边形BEDF是菱形4、如图，将等腰ABC绕顶点B逆时针方向旋转度到A1BC1的位置，AB与A1C1相交于点D，AC与A1C1、BC1分别交于点E、F.(1)求证：BCFBA1D；(2)当C

24、度时，判定四边形A1BCE的形状并说明理由5 如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作MECD于点E，12.(1)若CE2，求BC的长；(2)求证：MEAMDF. 6 如图已知E、F分别是ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF(1) 求证：四边形AECF是平行四边形；(2) 若BC10，BAC90，且四边形AECF是菱形，求BE的长 7 如图，在ABCD中，E、F分别为边ABCD的中点，BD是对角线，过A点作AGDB交CB的延长线于点G（1）求证：DEBF；（2）若G90，求证四边形DEBF是菱形8 如图，矩形中，是边上一点， （为大于2的整数），连接，作的垂直平分线分别交、于点，与的交点为，连接和.（1）试判断四边形的形状，并说明理由；（2）当（为常数），时，求的长；（3）记四边形的面积为，矩形的面积为，BCAFEDGO当时，求的值.（直接写出结果，不必写出解答过程）专心-专注-专业