高中数学《瞬时速度与导数》同步练习2 新人教B版必修2-2

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1、瞬时速度与导数第1题. 2007海南、宁夏文)设函数（）讨论的单调性；（）求在区间的最大值和最小值答案：解：的定义域为（）当时，；当时，；当时，从而，分别在区间，单调增加，在区间单调减少（）由（）知在区间的最小值为又所以在区间的最大值为第2题. （2002海南、宁夏理）曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）答案：第3题. （2007海南、宁夏理）设函数（I）若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；（II）若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于答案：解：（），依题意有，故从而的定义域为当时，；当时，；当时，从而，分别在区间单调增加，在区间单调减少（）的定义域为，方程的判别式（

2、）若，即，在的定义域内，故无极值（）若，则或若，当时，当时，所以无极值若，也无极值（）若，即或，则有两个不同的实根，当时，从而在的定义域内没有零点，故无极值当时，在的定义域内有两个不同的零点，由极值判别方法知在取得极值综上，存在极值时，的取值范围为的极值之和为第4题. （2007湖南理）函数在区间上的最小值是 答案：第5题. (2007湖南文)已知函数在区间，内各有一个极值点（I）求的最大值；（II）当时，设函数在点处的切线为，若在点处穿过函数的图象（即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式答案：解：（I）因为函数在区间，内分别有一个极值点，所以在，内分别有一个

3、实根，设两实根为（），则，且于是，且当，即，时等号成立故的最大值是16（II）解法一：由知在点处的切线的方程是，即，因为切线在点处穿过的图象，所以在两边附近的函数值异号，则不是的极值点而，且若，则和都是的极值点所以，即又由，得故解法二：同解法一得因为切线在点处穿过的图象，所以在两边附近的函数值异号于是存在（）当时，当时，；或当时，当时，设，则当时，当时，；或当时，当时，由知是的一个极值点，则所以又由，得，故第6题. (2007江苏)已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则_答案：第7题. (2007江西理)设在内单调递增，则是的（）充分不必要条件必要不充分条件充分必要条件既不充分也不必要条件

4、答案：B第8题. （全国卷I理）设函数（）证明：的导数；（）若对所有都有，求的取值范围答案：解：（）的导数由于，故（当且仅当时，等号成立）（）令，则，（）若，当时，故在上为增函数，所以，时，即（）若，方程的正根为，此时，若，则，故在该区间为减函数所以，时，即，与题设相矛盾综上，满足条件的的取值范围是第9题. (2007全国I文)曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）答案：A第10题. (2007全国I文)设函数在及时取得极值（）求a、b的值；（）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围答案：（），因为函数在及取得极值，则有，即解得，（）由（）可知，当时，；当时，；当时，所以，当时，取得极

5、大值，又，则当时，的最大值为因为对于任意的，有恒成立，所以，解得或，因此的取值范围为第11题. (2007全国II理)已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：答案：解：（1）求函数的导数：曲线在点处的切线方程为：，即（2）如果有一条切线过点，则存在，使于是，若过点可作曲线的三条切线，则方程有三个相异的实数根记，则当变化时，变化情况如下表：000极大值极小值由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根；当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根；当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则即第1

6、2题. (2007陕西理)设函数，其中为实数（I）若的定义域为，求的取值范围；（II）当的定义域为时，求的单调减区间答案：解：（）的定义域为，恒成立，即当时的定义域为（），令，得由，得或，又，时，由得；当时，；当时，由得，即当时，的单调减区间为；当时，的单调减区间为第13题. (2007浙江理)设，对任意实数，记（I）求函数的单调区间；（II）求证：（）当时，对任意正实数成立；（）有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立答案：（I）解：由，得因为当时，当时，当时，故所求函数的单调递增区间是，单调递减区间是（II）证明：（i）方法一：令，则，当时，由，得当时，当时，所以在内的最小值是故当时，对任

7、意正实数成立方法二：对任意固定的，令，则，由，得当时，当时，所以当时，取得最大值因此当时，对任意正实数成立（ii）方法一：由（i）得，对任意正实数成立即存在正实数，使得对任意正实数成立下面证明的唯一性：当，时，由（i）得，再取，得，所以，即时，不满足对任意都成立故有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立方法二：对任意，因为关于的最大值是，所以要使对任意正实数成立的充分必要条件是：，即，又因为，不等式成立的充分必要条件是，所以有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立第14题. (2007湖北理)已知定义在正实数集上的函数，其中设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同（I）用表示，并求的最大值；（

8、II）求证：（）答案：本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力解：（）设与在公共点处的切线相同，由题意，即由得：，或（舍去）即有令，则于是当，即时，；当，即时，故在为增函数，在为减函数，于是在的最大值为（）设，则故在为减函数，在为增函数，于是函数在上的最小值是故当时，有，即当时，第15题. (2007安徽文)设函数，其中，将的最小值记为（I）求的表达式；（II）讨论在区间内的单调性并求极值答案：解：（I）我们有 由于，故当时，达到其最小值，即 （II）我们有列表如下：极大值极小值由此可见，在区间和单调增加，在区间单调减小，极小值为，极大值为第16题. 设

9、，（）令，讨论在内的单调性并求极值；（）求证：当时，恒有答案： （）解：根据求导法则有，故，于是，列表如下：20极小值故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值（）证明：由知，的极小值于是由上表知，对一切，恒有从而当时，恒有，故在内单调增加所以当时，即故当时，恒有第17题. (2007天津理)已知函数，其中（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）当时，求函数的单调区间与极值答案：（）解：当时，又，所以，曲线在点处的切线方程为，即（）解：由于，以下分两种情况讨论（1）当时，令，得到，当变化时，的变化情况如下表：00极小值极大值所以在区间，内为减函数，在区间内为增函数函数在处取得极小值，且

10、，函数在处取得极大值，且（2）当时，令，得到，当变化时，的变化情况如下表：00极大值极小值所以在区间，内为增函数，在区间内为减函数函数在处取得极大值，且函数在处取得极小值，且第18题. (2007天津理)已知函数，其中（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）当时，求函数的单调区间与极值答案：（）解：当时，又，所以，曲线在点处的切线方程为，即（）解：由于，以下分两种情况讨论（1）当时，令，得到，当变化时，的变化情况如下表：00极小值极大值所以在区间，内为减函数，在区间内为增函数函数在处取得极小值，且，函数在处取得极大值，且（2）当时，令，得到，当变化时，的变化情况如下表：00极大值极小值所以在区间

11、，内为增函数，在区间内为减函数函数在处取得极大值，且函数在处取得极小值，且第19题. (2007福建理)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交元（）的管理费，预计当每件产品的售价为元（）时，一年的销售量为万件（）求分公司一年的利润（万元）与每件产品的售价的函数关系式；（）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润最大，并求出的最大值答案： 解：（）分公司一年的利润（万元）与售价的函数关系式为：（） 令得或（不合题意，舍去），在两侧的值由正变负所以（1）当即时，（2）当即时，所以答：若，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）；若，则当每件售

12、价为元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）第20题. (2007广东文)函数的单调递增区间是答案：第21题. (2007广东文)已知函数，是方程的两个根，是的导数设，（1）求的值；（2）已知对任意的正整数有，记求数列的前项和答案：解：(1) 由 得 (2) 又 数列是一个首项为 ，公比为2的等比数列； 第22题. (2007山东理)设函数，其中（）当时，判断函数在定义域上的单调性；（）求函数的极值点；（）证明对任意的正整数，不等式都成立答案：解：（）由题意知，的定义域为，设，其图象的对称轴为，当时，即在上恒成立，当时，当时，函数在定义域上单调递增（）由（）得，当时，函数无极值点时，有两个相

13、同的解，时，时，时，函数在上无极值点当时，有两个不同解，时，即，时，随的变化情况如下表：高考资源网极小值由此表可知：时，有惟一极小值点，当时，此时，随的变化情况如下表：极大值极小值由此表可知：时，有一个极大值和一个极小值点；综上所述：时，有惟一最小值点；时，有一个极大值点和一个极小值点；时，无极值点（）当时，函数，令函数，则当时，所以函数在上单调递增，又时，恒有，即恒成立故当时，有对任意正整数取，则有所以结论成立第23题. (2007四川理)设函数（）当时，求的展开式中二项式系数最大的项；（）对任意的实数，证明（是的导函数）；（）是否存在，使得恒成立？若存在，试证明你的结论并求出的值；若不存在

14、，请说明理由答案：（）解：展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是（）证法一：因证法二：因而故只需对和进行比较。令，有由，得因为当时，单调递减；当时，单调递增，所以在处有极小值故当时，从而有，亦即故有恒成立。所以，原不等式成立。（）对，且有又因，故，从而有成立，即存在，使得恒成立第24题. (2007重庆理)已知函数在处取得极值，其中为常数（）试确定的值；（）讨论函数的单调区间；（）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围答案：解：（I）由题意知，因此，从而又对求导得由题意，因此，解得（II）由（I）知（），令，解得当时，此时为减函数；当时，此时为增函数因此的单调递减区间为，而的单调递增区间为（

15、III）由（II）知，在处取得极小值，此极小值也是最小值，要使（）恒成立，只需即，从而，解得或所以的取值范围为导数的应用第1题. 曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）答案：第2题. 设函数（I）若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；（II）若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于答案：解：每个点落入中的概率均为依题意知（）（）依题意所求概率为，第3题. （2007海南、宁夏文）曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）答案：第4题. （2007湖南理）函数在区间上的最小值是 答案：第5题. (2007江苏)已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则_答案：第6题. (

16、2007江西文)设在内单调递增，则是的（）充分不必要条件必要不充分条件充分必要条件既不充分也不必要条件答案：第7题. (2007江西文)四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半设剩余酒的高度从左到右依次为，则它们的大小关系正确的是（）答案：第8题. (2007全国II文)已知函数在处取得极大值，在处取得极小值，且（1）证明；（2）求的取值范围答案：解：求函数的导数（）由函数在处取得极大值，在处取得极小值，知是的两个根所以当时为增函数，由，得（）在题设下，等价于即化简得此不等式组表示的区域为平面

17、上三条直线：ba2124O所围成的的内部，其三个顶点分别为：在这三点的值依次为所以的取值范围为第9题. (2007山东文)设函数，其中证明：当时，函数没有极值点；当时，函数有且只有一个极值点，并求出极值答案：证明：因为，所以的定义域为当时，如果在上单调递增；如果在上单调递减所以当，函数没有极值点当时，令，将（舍去），当时，随的变化情况如下表：0极小值从上表可看出，函数有且只有一个极小值点，极小值为当时，随的变化情况如下表：0极大值从上表可看出，函数有且只有一个极大值点，极大值为综上所述，当时，函数没有极值点；当时，若时，函数有且只有一个极小值点，极小值为若时，函数有且只有一个极大值点，极大值为

18、第10题. （2007山东文)已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1（）求椭圆的标准方程；（）若直线与椭圆相交于两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点求证：直线过定点，并求出该定点的坐标答案：解：（）由题意设椭圆的标准方程为，由已知得：，椭圆的标准方程为（）设联立得，则又因为以为直径的圆过椭圆的右顶点，即解得：，且均满足当时，的方程为，直线过定点，与已知矛盾；当时，的方程为，直线过定点所以，直线过定点，定点坐标为第11题. 已知在区间上是增函数，在区间上是减函数，又（）求的解析式；（）若在区间上恒有成立，求的取值范围答案：解：（），由已知

19、，即解得，（）令，即，或又在区间上恒成立，第12题. (2007广东文)若函数，则函数在其定义域上是（ ）A单调递减的偶函数B单调递减的奇函数C单调递增的偶函数D单调递增的奇函数答案：B第13题. (2007湖北文)已知函数的图象在点处的切线方程是，则答案：3高考资源网第14题. (2007四川文)设函数为奇函数，其图象在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为（）求，的值；（）求函数的单调递增区间，并求函数在上的最大值和最小值答案：）为奇函数，即的最小值为又直线的斜率为因此，（），列表如下：极大极小所以函数的单调增区间是和，在上的最大值是，最小值是高考资源网第15题. (2007天津文)设函数

20、（），其中（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）当时，求函数的极大值和极小值；（）当时，证明存在，使得不等式对任意的恒成立答案：（）解：当时，得，且，所以，曲线在点处的切线方程是，整理得（）解：令，解得或由于，以下分两种情况讨论（1）若，当变化时，的正负如下表：因此，函数在处取得极小值，且；函数在处取得极大值，且（2）若，当变化时，的正负如下表：因此，函数在处取得极小值，且；函数在处取得极大值，且（）证明：由，得，当时，由（）知，在上是减函数，要使，只要即设，则函数在上的最大值为要使式恒成立，必须，即或所以，在区间上存在，使得对任意的恒成立第16题. (2007重庆文)用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？答案：解：设长方体的宽为，则长为，高为故长方体的体积为从而令，解得（舍去）或，因此当时，；当时，故在处取得极大值，并且这个极大值就是的最大值从而最大体积，此时长方体的长为，高为答：当长方体的长为，宽为，高为时，体积最大，最大体积为高考资源网