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1、运用向量法求解立体几何探索性问题立体几何探索性问题是近年高考或各地模拟考试中的热点题型向量作为一种工具，在解决立体几何探索性问题中有着无比的优越性运用向量法解题，可使几何问题代数化，大大简化思维程序，使解题思路直观明了下面举例说明向量法在求解两类立体几何探索性问题中的运用一、条件探索型所谓“条件探索型”是指给出了问题的明确结论，但条件不足或未知，需要解题者探求、寻找使结论成立的条件的一类问题，这类问题的常用解法是逆推法，利用结论探求条件例1如图1，棱长为的正方体，E是BC的中点，F是棱CD上的动点（非C、D两点），设二面角的大小为试确定F点的位置，使得解析：以A为坐标原点，建立如图1所示的直角
2、坐标系，则设，易知设是平面的一个法向量，则令，则又是平面的一个法向量，结合条件知可取，故，解得或（舍）故当是CD的中点时，二、存在型所谓“存在型”是指结论不确定的问题，即在数学命题中，结论常以“是否存在”的形式出现，其结果可能存在，需要找出来；可能不存在，则需要说明理由解答这一类问题时，先假设结论存在，若推证无矛盾，则结论存在；若推证出矛盾，则结论不存在例2已知正三棱柱的侧棱长为2，底面边长为1，M是BC的中点在直线上是否存在一点，使得？若存在，请你求出它的位置；若不存在，请说明理由解：假设在直线上存在一点，使得如图2，建立空间直角坐标系，有，解得，即时，用法向量求距离一、求异面直线间的距离如
3、图1，若是异面直线的公垂线段，分别为上的任决两点令向量，则分析：，两异面直线间的距离为（其中与垂直，分别为两异面直线上的任意两点）例1 如图2，在正方体中，为的中点且正方体棱长为2求异面直线和间的距离解析：以为原点，建立如图2所示的空间直角坐标系，则设和公垂线段上的向量为，则即又，所以异面直线和间的距离为二、求点到平面的距离如图3，已知为平面的一条斜线段，为平面的法向量求证：点到平面的距离分析：，例2 如图4，已知是各条棱长均等于的正三棱柱，是侧棱的中点求点到平面的距离解析：为正方形，易得平面平面，面，是平面的一个法向量设点到平面的距离为，则三、求直线到平面的距离例3 如图5，已知边长为的正三角形中，分别为和的中点，面，且，设平面过且与平行求与平面间的距离解析：设的单位向量分别为，选取作为空间向量的一个基底易知，设是平面的一个法向量，则，即解得直线与平面间的距离四、求两平行平面间的距离例4 如图6，在棱长为1的正方体中求平面与平面间的距离解析：建立如图所示的空间直角坐标系，易知平面与平面平行设平面的一个法向量，则即平面与平面间的距离
高中数学 3.2《运用向量法求解立体几何探索性问题》素材 苏教版选修2-1
