洛伦兹变换地详细推导

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1、第三节 洛伦兹变换式教学内容：1. 洛伦兹变换式的推导；2. 狭义相对论的时空观：同时性的相对性、长度的收缩和时间的延缓; 重点难点：狭义相对论时空观的主要结论。基本要求：1. 了解洛伦兹坐标变换和速度变换的推导；2. 了解狭义相对论中同时性的相对性以及长度收缩和时间延缓概念；3. 理解牛顿力学中的时空观和狭义相对论中的时空观以及两者的差异。三、洛伦兹坐标变换的推导X vtX vty、yz，zt - vx/c2y = y厂zt + vx/c2 t 2 Ji-(v/c)据狭义相对论的 两个基本假设 来推导洛仑兹变换式。1.时空坐标间的变换关系作为一条公设，我们认为 时间和空间都是均匀的，因此 时

2、空坐标间的变换必须是线性 的。对于任意事件P在S系和 S系中的时空坐标(x，y，z, t)、 (x，y，z，t)，因 S相对于 S 以平行于X轴的速度v作匀速 运动，显然有y=y,z=z。在S系中观察S系的原点， x=0 ；在S系中观察该点， x= -vt，即 x+vt=O。因此 x=x +vt。在任意的一个空间点上，可以设：x=k( x + vt) ， k是一比例常数。同样地可得到：x= k ( x-vt)= k (x+ (-v)t)根据相对性原理，惯性系S系和S系等价，上面两个等式的形式就应该相同(除正、负 号)，所以k=k。2由光速不变原理可求出常数k设光信号在S系和S系的原点重合的瞬时

3、从重合点沿x轴前进，那么在任一瞬时t(或t)， 光信号到达点在S系和S系中的坐标分别是：X=ct, x=ct，贝,xx 二 c2tt 二 k2 x- vt x vt 二 k2 ct- vt ct vt=k2tt(c2由上面二式，消去XOvx c2t vx c得到(v/ c)2;若消去x得到c2,综合以上结果,就得到洛仑兹变换， 或洛仑兹反变换X 一 vtvtt - vx c2t vx c2Jl-(yc)2可见洛仑兹变换是两条基本原理的直接结果。3. 讨论(1) 可以证明，在洛仑兹变换下，麦克斯韦方程组是不变的，而牛顿力学定律则要改 变。故麦克斯韦方程组能够用来描述高速运动的电磁现象，而牛顿力学

4、不适用描述高速现象, 故它有一定的适用范围。(2) 当|v/c|1时，洛仑兹变换就成为伽利略变换，亦即后者是前者在低速下的极限情 形。故牛顿力学仅是相对论力学的特殊情形一低速极限。四、相对论速度变换公式ux,uy,uz ，根据洛仑兹变洛仑兹变换是事件的时空坐标在不同惯性系之间的关系，根据洛仑兹变换可以得到狭义 相对论的速度变换公式。设物体在S、S系中的的速度分别为ux,uy,uz 换式可得：dx - vdtdx dt - v dtux - v dt1- VC2-(V c)21 - W/c)2dt - vdx c2idt 1 - vux c22dxux - v dtdt1 - vux cdt因此

5、：ux 一 v1 - vux c2因 y=y, z=z， 有 dy= dy, d” u-(v/c)2 uy -21 一 vux/c。同理:因此得相对论的速度变换公式：z= dz 贝UUz 二，即x，即:ux 一 v21 - vux c其逆变换为：Uxuy1 - vux c2UzUxux v1 vux c2uy1 vux c2uzU；Jl - (v C)21 vux c2讨论(1) 当速度u、v远小于光速c时，即在非相对论极限下，相对论的速度变换公式即转 化为伽利略速度变换式ux ux v。(2) 利用速度变换公式，可证明光速在任何惯性系中都是c。证明：设S系中观察者测得沿x方向传播的一光信号的

6、光速为c,在S系中的观察者ux测得该光信号的速度为：c v2 = c1 vc c2,即光信号在S系和S系中都相同。第四节狭义相对论的时空观一、一、同时的相对性1.概念狭义相对论的时空观认为：同时是相对的。即在一个惯性系中不同地点同时 发生的两个事件，在另一个惯性系中不一定是同时的。例如：在地球上不同地方同时出生的两个婴儿， 在一个相对地球高速飞行的 飞船上来看，他们不一定是同时出生的。如图设s系为一列长高速列车，速度向右，在车厢正中放置一灯p。当灯 发出闪光时：A、B两s系的观察者认为，闪光相对他以相同速率传播，因此同时到达 端；S系（地面上）的观察者认为，A与光相向运动（v、c反向），B与光

7、同向运动，所 以光先到达A再到达B，不同时到达。P中间）o结论：同时性与参考系有关一这就是同时的相对性。假设两个事件Pi和P2,在S系和S 系中测得其时空坐标为:s：Xi,yi,Zi,ti , X2,y2，Z2，t2S :Xi,yi,Zi,ti , X2,y2,Z2, t2由洛伦兹变换得：t.二ti -vxi c2tt2 - vx2 c2在S系和 S系中测得的时间间隔为，七2 ti）和（t2-ti），它们之间的关系为: -（t2 -匕）-v（x2 - 洛）/c2 t tc, uc,所以At与At同号。即事件的因果关系，相互顺序不会颠倒。(4) 上述情况是相对的。同理在S系中不同地点同时发生的两

8、个事件，在s 系看来同样也是不同时的。(5) 当v 5寸tt，回到牛顿力学。二、长度收缩（洛伦兹收缩）假设一刚性棒AB静止于S系中1= x2 X1，在S系中同时ti = t2 = t测量=x X1 。由洛伦兹坐标变换式:”X1 - vt1”X2 - vt2片 ，x2 =c)2Ji (v/c)2得:X2 一 x1x2 - x1 - V t2 - t|X2 - X11.固有长度观察者与被测物体相对静止时，长度的测量值最大，称为该物体的固有长度 （或原长），用Io表示。即C2I = Io Ji - （v/2.洛伦兹收缩（长度缩短）观察者与被测物体有相对运动时，长度的测量值等于其原长的-VC 倍，即物

9、体沿运动方向缩短了，这就是洛伦兹收缩（长度缩短）。 讨论：（1）长度缩短效应具有相对性。若在s系中有一静止物体，那么在S 系中观察者将 同时测量得该物体的长度沿运动方向缩短，同理有= I Ji _ （v/c）2即看人家运动着的尺子变短了。（2）当 vc 时，有 I It2三、时间膨胀（时间延缓）t? - t1由洛伦兹变换得中的时间间隔为t = t2 一 ti ,事件P!、P2在S系中的时间间隔为t二t2 一 ti。 如果在S系中两事件 同地点 发生，即X2 = Xi，则有：t = t2-tit2 一 ti-（v/c）21. 固有时间(原时)的概念在某一惯性系中同一地点先后发生的两事件之间的时间

10、间隔，叫固有时间(原时)。用T0表示，且:2. 时间膨胀二 t在S系看来：0 ,称为时间膨胀。3.讨论(1)时间膨胀效应具有相对性。若在S系中同一地点先后发生两事件的时间间隔为At (称为原时)，则同理有即看人家运动着的钟变慢了。(2) 当vv v c时，有八tt(3) 实验已证实卩子，n介子等基本粒子的衰变，当它们相对实验室静止和高速运动时，其寿命完全不 同。例1： 在惯性系S中，有两个事件同时发生，在XX 轴上相距33JO 10 m处，从另一惯性系S中观察到这两个事件相距2.010 m。冋由s系测得此两事件的时间间隔为多少？解：由题意知，在S系中，t t1，,即t = t? 一 = 0 ,

11、3x2人-1.汉10 m。而在s係看来，时间间隔为去t = t? 一 1，空间间 隔为 x2-x；| = 2i103m。由洛伦兹坐标变换式得：X2 -x x1 v t t11-（v/c）2由（1）式得牡代入（2）式得v七2 - 12 X Xi1 22 1 2x2 -捲Xi1一14J3 c2X2c32 103 1033 103二 5.77 10 6 s例2:半人马星座a星是离太阳系最近的恒星，它距地球为4.3 10 m。 设有一宇宙飞船自地球往返于人马星座a星之间。若宇宙飞船的速度为 0.999c，按地球上的时钟计算，飞船往返一次需多少时间？如以飞船上的时钟计算， 往返一次的时间又为多少？s2X4.3X1016-t8解：以地球上的时钟计算：v 0.999 3 108-2.87 1089a （a 为 annual之首字母）；若以飞船上的时钟计算：（原时），因为t所以得 tt1 一 v c 2 = 2.87 1081 - 0.9992二 1.28 107 s 二 0.4a