2020与名师对话椭圆(一)

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1、第五节椭圆 (一)高考概览： 1.掌握椭圆的定义、 几何图形、标准方程及简单性质；2.了解椭圆的简单应用； 3.理解数形结合的思想 知识梳理 1椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2 的距离的和等于常数 (大于 |F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆 这两个定点叫做椭圆的焦点， 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距集合 P M|MF1|MF2|2a ，|F1F2|2c，其中 a0，c0，且a，c 为常数(1)若 ac，则集合 P 为椭圆；(2)若 ac，则集合 P 为线段；(3)若 a0，n0，mn)表示的曲线是椭圆 ()2222(4)x2 y21(ab0)与 y2x21(ab0)的焦距相同 ()abab答案

2、 (1)(2)(3)(4)x2y22已知椭圆 25m21(m0)的左焦点为 F1(4,0)，则 m()A 2 B3 C4 D9解析 由 425m2(m0)? m3，故选 B.答案 B3(选修 11P42A 组 T1 改编 )若 F1(3,0)，F2(3,0)，点 P 到 F1，F2 距离之和为 10，则 P 点的轨迹方程是 ()x2y2x2y2A. 25161B.100 91y2x2x2y2y2x2C.25161D.25161 或25161解析由题意可知， Px2y2点轨迹为椭圆，设椭圆方程为a2b21(ab0)，则 2a10，a5，ca2b23，得 b4.所以椭圆方程为 x2 y2 1.故选

3、 A.2516答案 A4(选修 11P40例 5 改编 )设椭圆的两个焦点分别为 F1，F2，过F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若 F1PF2 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 ()3221A. 2B.2C2 2D.21解析 由题意可知， |PF2|2c，|PF1|2 2c.因为 |PF1|PF2|2a，2c22c2a，c21.故选 D.解得 a答案 D5若方程x2y2 1 表示椭圆， 则 k 的取值范围 是5kk3_5k0， 解析 由已知得k30，5kk3，解得 3k|C1C2|6，即 P 在以 C1(3,0)，x2y2C2(3,0)为焦点，长轴长为 10 的椭圆上，得点 P 的轨迹方

4、程为 25161.22(2)由16xy8 1 可得 a216，b28，c28，a4，c2 2，则 |PF1|PF2|2a8，|F1F2|4 2.在PF1F2 中，由余弦定理得 |PF1|2|PF2|2|F1F2|2cos32|PF1|PF2|PF1|PF2| 22|PF1|PF2|F1F2|22|PF1|PF2|642|PF1|PF2|3212|PF1|PF2|2.5解得 |PF1|PF2|323 ，1 83SF1PF22|PF1|PF2|sin33 .(3)如图，设椭圆的右焦点为F，连接 MF ，NF.因为 |MF|NF|MF|NF|MF|NF|MN|，所以当直线 xm 过椭圆的右焦点时，

5、FMN 的周长最大2b285a2b2此时 |MN| a 5，又 c541，所以此时1 8585 FMN 的面积 S22 5 5 .x2y28385答案 (1)25161(2)3(3)5(1)椭圆定义的应用范围确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆解决与焦点有关的距离问题(2)焦点三角形的应用椭圆上一点P 与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求 |PF1|PF2|；通过整体代入可求其面积等对点训练 6已知的顶点，21ABCC在椭圆 x y21 上，顶点 A 是椭圆B3的一个焦点， 且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则 ABC 的周长是()A

6、2 3 B6 C4 3 D12解析 由椭圆的方程得 a 3.设椭圆的另一个焦点为 F，则由椭圆的定义得 |BA| |BF| |CA| |CF| 2a，所以ABC 的周长为 |BA|BC|CA|BA|BF|CF|CA|(|BA|BF|)(|CF|CA|)2a2a4a4 3.故选 C.答案 C2设 P 是椭圆 x2y21 上一点， M，N 分别是两圆： (x4)2259y21 和(x4)2y21 上的点，则 |PM|PN|的最小值、最大值分别为()A 9,12B8,11C8,12D10,12解析 如图所示，因为两个圆心恰好是椭圆的焦点，由椭圆的定义可知|PF1|PF2|10，易知 |PM|PN|(

7、|PM|MF1|)(|PN| |NF2|)2，则其最小值为 |PF1|PF2|28，最大值为 |PF1| |PF2|212.故选C.答案C考点二椭圆的标准方程【例 2】求满足下列条件的椭圆的标准方程：7(1)过点，且与椭圆 y2 x21 有相同焦点；( 35)259(2)经过两点 (2,0)，(0,1) 思路引导 (1)作判断 设方程 找关系 定结果(2) 定焦点 设方程 求系数 得结果22 解(1)解法一：(定义法 )椭圆 yx1 的焦点为 (0，4)，(0,4)，259即 c4.由 椭 圆 的 定 义 知 ， 2a 30 2 54 2 30 2 54 2，解得 a2 5.由 c2a2b2，

8、可得 b24.所以所求椭圆的标准方程为 y2 x21.204解法二： (待定系数法 )设所求椭圆方程为y2 x21(kb0)椭圆经过两点(2,0)，(0,1)，40a2b21，a2， 01解得 b1.a2b21，8x2所求椭圆的标准方程为4 y21；y 轴上时，设所求椭圆的方程为y2x2当椭圆的焦点在a2 b21(ab0)椭圆经过两点(2,0)，(0,1)，04a2b21，a1， 10解得b2，a2b21，与 ab 矛盾，故舍去x2综上可知，所求椭圆的标准方程为4 y21.解法二：设椭圆方程为mx2ny21(m0，n0， mn)14m1，m4，解得n1，n1.x2综上可知，所求椭圆的标准方程为

9、4 y21.求椭圆标准方程的2 种常用方法根据椭圆的定义，确定a2，b2 的值，结合焦点位置可写定义法出椭圆方程待定系若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知9数法条件求出 a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和 y 轴上的两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2By21(A0，B0，AB)对点训练 1椭圆以 x 轴和 y 轴为对称轴，经过点 (2,0)，长轴长是短轴长的 2 倍，则椭圆的方程为 ()x2y2x2A.4 y21B.16 4 1x2y2x2x2y2C.4 y21 或164 1D.4 y21 或4 x21解析 由于椭圆长轴长是短轴长的2倍，即有 a2b，又椭圆2经过

10、点 (2,0)，则若焦点在 x 轴上，则 a2，b1，椭圆方程为 x y2 4221；若焦点在 y 轴上，则 a4，b2，椭圆方程为 y x 1，故选164C.答案 C2(2019 长沙市高三一模 )椭圆 E 的焦点在 x 轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2 的正方形的顶点，则椭圆 E 的标准方程为 ()A.x2 y2 1B.x2y21222x2y2y2x2C.4 2 1D.421解析 由题意易知， bc2，故 a2b2c24，从而椭圆 Ex2y2的标准方程为 4 2 1.故选 C.答案 C10考点三椭圆的几何性质椭圆的几何性质是高考的热点， 高考中多以小题出现， 试题

11、难度一般较大高考对椭圆几何性质的考查主要有以下三个命题角度：(1)由椭圆的方程研究其性质；(2)由椭圆的性质求参数的值或范围；(3)求离心率的值或范围角度 1：由椭圆的方程研究其性质x2y2【例 31】(2018 全国卷 )已知椭圆 C：a2 4 1 的一个焦点为 (2,0)，则 C 的离心率为 ()11222A.3B.2C. 2D. 3 解析 不妨设 a0，因为椭圆 C 的一个焦点为 (2,0)，所以 c2，所以 a2448，所以 a22，所以椭圆C 的离心率eca 22.故选 C.答案C角度 2：由椭圆的性质求参数的值或范围x2y2【例 32】 (1)(2019 贵州质检 )已知椭圆 m2

12、10m1 的长轴在 x 轴上，焦距为 4，则 m 等于 ()A 8 B7 C6 D5如图，焦点在轴上的椭圆 x22的离心率1，F，A(2)x y214be211分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，则 的最PFPA大值为()A 1B23C4D43 思路引导 列出方程表示结合已知(1) 得解椭圆的条件条件列式(2) 设P x0，y0根据 x0的 根据 PF，PA列式 范围求解解析 (1)椭圆 x2y21 的长轴在 x 轴上，m2 10mm20， 10m0，解得 6m10m，焦距为 4，c2m210m4，解得 m8.故选 A.(2)设 P 点坐标为 (x0，y0)c 1由题意知 a2，

13、ea2，c1，b2a2c23.22所求椭圆方程为 x y 2，3y 3.又 F(431. 2x001,0)，A(2,0)，PF(1x0， y0)，PA(2x0， y0)， 221 212PFPAx0x02y04x0 x014(x02) . 当 x0 2 时， PFPA取得最大值 4.故选 C.答案 (1)A(2)C12角度 3：求离心率的值或范围22【例 33】(2018全国卷 )已知 F ，F 是椭圆 C：x2 y212ab1(ab0)的左、右焦点，A 是 C 的左顶点，点 P 在过 A 且斜率为3的6直线上， PF1F2为等腰三角形， F1F2P120，则 C 的离心率为()2111A.

14、3B. 2C.3D.4x2y2(2)(2019 安徽皖南八校联考 )已知椭圆 a2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2.若在直线 x2a 上存在点 P 使得线段 PF1 的垂直平分线过点 F2，则椭圆的离心率的取值范围是 ()22A. 0，3B. 3，111C. 0，2D. 2，1 思路引导 (1) 表示出点 P坐标 由kPA3得a，c的关系式6 求出离心率 e(2) |PF2|F1F2| |PF2|2a c e的范围 解析 (1)由题意可得椭圆的焦点在x 轴上，如图所示，设|F1F2| 2c，PF1F2 为等腰三角形，且 F1F2P 120，|PF2|F1F2|2c.|OF2|c，

15、点P 的坐标为 (c2ccos60 ，2csin60 )，即点 P(2c， 3c)13点 P 在过点 A，且斜率为33c3c 16 的直线上，6，解得 a4，e2ca1 4，故选 D.(2)直线x2a 上存在点 P 使线段 PF1 的垂直平分线过点F2，根据垂直平分线的性质以及直角三角形的性质可得，|PF2| |F1F2|，2 又，椭圆离心率的取值范围是2，12c2a c 2a3c e 3. e13.故选 B. 答案 (1)D(2)B(1)求椭圆离心率的3 种方法直接求出 a， c 的值，利用离心率公式直接求解列出含有 a，b，c 的齐次方程 (或不等式 )，借助于 b2a2c2消去 b，转化

16、为含有 e 的方程 (或不等式 )求解数形结合， 根据图形观察， 通过取特殊值或特殊位置求出离心率(2)椭圆中有关范围或最值问题常常涉及一些不等式例如，axa，byb,0e0 且 m4，当 0m4 时，椭圆长轴在 ym114m2轴上，则1 2，解得 m8.故选 D.4答案 D广州市高三毕业班综合测试已知，F分别是椭圆 C：2(2019)F1 2x2y2a2b21(ab0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点 P 使F1PF2 为钝角，则椭圆 C 的离心率的取值范围是 ()21A.2 ，1B.2，1C.， 2D. 0，1022解析 解法一：设 P(x0，y0)，由题易知 |x0|a，因为F1PF2

17、为 222222钝角，所以 PF1PF2x0y0有解，即 c (x0y0)min ，又22b2222222c222222y0b a2x0，x0b ，又 ba c ，所以 ea22，解得 e2 ，又 0e1，故椭圆 C 的离心率的取值范围是2，故选 A.2，1解法二：椭圆上存在点P 使F1PF2 为钝角 ? 以原点 O 为圆心，15以 c 为半径的圆与椭圆有四个不同的交点? bc，如图，由bc，得c2a2c2c2，即 a22 ，又 0e1，故椭圆 C 的离心率的取值范围是2，1，故选 A.2答案 A课后跟踪训练 (五十四 )基础巩固练一、选择题1“ 3m0，m30， 解得 3m5 且 m1，因此

18、， “3mb0)的左、右顶点分别为 A1，A2，且以线段 A1A2 为直径的圆与直线bxay2ab0 相切，则 C 的离心率为 ()6321A.3B.3C.3D.3 解析 以线段 A1A2 为直径的圆的圆心为坐标原点(0,0)，半径为ra，圆的方程为 x2y2a2，直线 bxay2ab0 与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即：2aba，da2b2整理可得 a23b2，即 a23(a2c2)，2a23c2，2c22c26从而 ea23，椭圆的离心率ea33 ，故选 A.17答案A5(2019 上海崇明一模 )如图，已知椭圆 C 的中心为原点 O，F(2 5，0)为 C 的左焦点， P 为

19、C 上一点，满足 |OP|OF|且|PF|4，则椭圆 C 的方程为 ()x2y2x2y2A. 255 1B.30101x2y2x2y2C.36161D.45251解析 x2y21(ab0)，右焦点为 F，依题意，设椭圆方程为 a2b2连接 PF.由已知，半焦距c2 5.又由 |OP|OF|OF|，知FPF 90.在 RtPFF中， |PF|FF|2|PF|24 5 2428.由椭圆的定义可知2a|PF|PF|4812，所以 a6，于是 b222a2c262(2 5)216，故所求椭圆方程为 36x16y1，故选 C.答案C二、填空题226(2019 安徽黄山一模 )已知圆 (x2)2y21 经

20、过椭圆 x2 y2ab1(ab0)的一个顶点和一个焦点，则此椭圆的离心率e_.22x2y2 解析 圆(x2) y 1 经过椭圆 a2b21(ab0)的一个顶点18和一个焦点，故椭圆的一个焦点为F(1,0)，一个顶点为A(3,0)，所以1c1，a3，因此椭圆的离心率为 3.答案 13x2y27(2018 北京朝阳模拟 )已知椭圆 a2b21(ab0)的一个焦点是F(1,0)，若椭圆短轴的两个三等分点M ，N 与 F 构成正三角形，则此椭圆的方程为 _332解析 由FMN 为正三角形，得c|OF|2 |MN|23bx2y21.解得 b3，a2b2c24.故椭圆的方程为 4 3 1.x2y2答案 4

21、31x2y28从椭圆 a2b21(ab0)上一点 P 向 x 轴作垂线，垂足恰为左焦点 F1，A 是椭圆与 x 轴正半轴的交点， B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点，且 AB OP(O 是坐标原点 )，则该椭圆的离心率是 _解析 由已知，点P( c，y)在椭圆上，代入椭圆方程，得Pc，b2，kOPbb2 ，22a，即 ，则. AB OP kABaacb c a bc22c22c2，则 a2 ，即该椭圆的离心率是2 . 答案22三、解答题229F1、F2 分别是椭圆 x2y21(ab0)的左、右焦点，椭圆上的ab点到 F2 的最近距离为 4，最远距离为 16.(1)求椭圆方程；(2)P 为该椭圆上

22、一点，且F1PF260，求 F1PF2 的面积19ac4解(1)依题意知，ac16a10，c6.b8.x2y2所求椭圆方程为： 100641.(2)F1PF260，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos60 ，即 |PF1|2|PF2|2|PF1| |PF2|144.(|PF1|PF2|)23|PF1| |PF2|144.又 |PF1|PF2|20，256|PF1| |PF2| 3 .1SF1PF22|PF1| |PF2| sin60125636432323.10(2019湖南长沙望城一中第三次调研)P为圆： 1)2y2A (x8 上的动点，点 B(1,0)线段 PB

23、 的垂直平分线与半径 PA 相交于点M，记点 M 的轨迹为 .(1)求曲线 的方程；(2)当点P在第一象限，且22时，求点 M 的坐标cos BAP3 解(1)圆 A 的圆心为 A(1,0)，半径等于 2 2.由已知得 |MB|MP|，所以 |MA|MB| |MA|MP|2 2，故曲线 是以 A，B 为焦点，以 22为长轴长的椭圆，设 的方20x2y2程为a2b21(ab0)，a2，c1，b1，2所以曲线 的方程为 x2 y21.22522(2)由点 P 在第一象限，cosBAP 3，|AP|22，得 P3，3 .2于是直线AP 的方程为 y 4 (x1)代入椭圆方程，消去 y，可得5x22x

24、70，即 (5x7)(x1)0.7所以 x11，x25.因为点 M 在线段 AP 上，所以点 M 的坐标为，2 .12能力提升练2211(2018 辽宁大连二模 )焦点在 x 轴上的椭圆方程为x2 y2ab1(ab0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角b形内切圆的半径为 3，则椭圆的离心率为 ()1112A. 4B. 3C.2 D.3 解析 由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，又由三角形面积公式得11b，即c1，2cb2c)，得 22(2a3a2cea2故选 C.答案 C2212(2019 广西桂林期末 )若点 O 和点 F 分别为椭圆x y 1 的43 的最大值为

25、 ()中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，则OPFPA 2B3C6D821x02y023x02 解析 设点 P(x0，y0)，则4 31，即 y0234 .又因为点 F( 212121,0)，所以 OPFPx0(x01)y04x0x034(x02) 2.又 x0 2,2，所以 (OPFP)max6.故选 C.答案 C2213(2019 云南昆明质检 )椭圆 x y 1 上的一点 P 到两焦点的925距离的乘积为 m，当 m 取最大值时，点P 的坐标是 _ 解析 记椭圆的两个焦点分别为F1，F2，有 |PF1|PF2| 2a|PF1|PF2| 225，当且仅当 |PF1|PF2|5，10.

26、则 m|PF1| |PF2|2即点 P 位于椭圆的短轴的顶点处时，m 取得最大值 25.所以点 P 的坐标为 (3,0)或(3,0)答案 (3,0)或(3,0)x2y214已知椭圆 a2b21(ab0)，F1，F2 分别为椭圆的左、右焦点， A 为椭圆的上顶点，直线 AF2 交椭圆于另一点 B.(1)若 F1AB90，求椭圆的离心率 ， 3，求椭圆的方程(2)若AF22F2BAF1AB2 解(1)若F1AB90，则AOF2 为等腰直角三角形，所以有OAOF2，即 bc.c 2 所以 a 2c，ea 2 .(2)由题知 A(0，b)，F1(c,0)，F2(c,0)，其中 ca2b2，设 B(x，

27、y)22由 AF22F2B，得 (c， b)2(x c，y)，3cb3cb解得 x 2，y2，即B2，2 .x2y292b29c24c41将 B 点坐标代入 a b 1，得 a2b 1，即4a241，解得222a23c2. 3c3b3又由 AF1AB(c， b)2 ，2 2，得 b2c21，即有 a22c21由解得 c21，a23，从而有 b22.x2y2所以椭圆的方程为3 2 1.拓展延伸练x2y215(2019 广东中山一模 )设椭圆： a2b21(ab0)的右顶点为A，右焦点为 F，B 为椭圆在第二象限内的点， 直线 BO 交椭圆于点 C，O 为原点，若直线 BF 平分线段 AC，则椭圆

28、的离心率为 ()1111A. 2B. 3C.4D.5 解析 如图，设点 M 为 AC 的中点，连接 OM，则 OM 为ABC|OF|OM|1c1的中位线，于是 OFMAFB，且 ，即 ，解得|FA|AB|2ac2c1ea3.故选 B.答案B23x216(2019 浙江温州模拟 )正方形 ABCD 的四个顶点都在椭圆 a2y2b21(ab0)上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是 ()A.51，1B.， 51202C.311D.31，202解析 设正方形的边长为 2m，椭圆的焦点在正方形的内部，x2y2m2mc.又正方形 ABCD 的四个顶点都在椭圆 a2b21(ab0)上，a2m2c2c2e23 5 b2 1a2 b2 e22 ，整理得e4 3e2 10， e221e51 24 ，510e.故选 B.2答案B24