泰勒公式及其应用88497资料

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1、泰勒公式及其应用许文锋 华南师范大学 数学科学学院 信息与计算科学专业 2007 级 6 班 指导老师：谢骊玲 中文摘要 文章简要介绍了泰勒公式的证明及其推导过程， 详细讨论了泰勒公式在高等 数学、数值分析、数值最优化理论、其他非数学领域等应用 , 其中包括利用泰勒 公式求近似值、证明积分、不等式、求行列式等高等数学问题；在数值分析问题 上面主要讨论了泰勒公式在数值微积分及微分方程数值解上的应用； 在最优化问 题上面，分别讨论了泰勒公式在理论证明和算法设计上面的应用 . 关键词 ：泰勒公式，高等数学，数值分析，数值最优化，应用Taylor Formula and its Application

2、Xu WenFeng( Grade 07,Class 6, Major inInformation and Computing Science,School ofMathematics,South China Normal University)Tutor:Xie LiLingAbstractThis paper briefly introduces the proof of Taylor and its derivation.Andwe discuss the application of Taylor formula in detail in somefields such as adva

3、nced mathematics, numerical analysis, numerical optimization theory and other applications in somenon mathematical fields ,including using Taylor formula to solve some advanced mathematical problems such as approximation, proof of integral, inequality, solution of determinant etc. In numerical analy

4、sis we mainly discuss the applications of Taylor formula in numerical differentiation and numerical integration.As for numerical optimization ， we discuss the applications of Taylor formula in theoretical proof and algorithm design.Keyword ： Taylor formula, advanced mathematics, numerical analysis,

5、numerical optimization, applications一、前言对于某些函数，如果我们要求其在某一点上的值，有时是无法通过直接计算 得到的.在学习了导数和微分概念时我们已经知道，如果函数f在X。点可导，则f(x)二 f(X。) f(X0)(X -X0) ：(x -X0)，即在点 X。附近，用一次多项式f(Xo) f(Xo)(x-X。)逼近函数f (x)时，其误差为(X-X。)的高阶无穷小.然而在通常的场合中，取一次的多项式逼近是不够的，往往需要用二次或高于二次的多 项式去逼近，因此我们提出了用一个多项式去逼近一个函数，泰勒公式就是满足上述逼近性质的多项式.泰勒公式尤其在一些近似

6、计算和数值方法上发挥着举足 轻重的作用.本文分为三部分，第一部分是给出了本文所需要用的定理和推论； 第二部分是一元泰勒公式的推导和证明以及多元泰勒公式的介绍；第三部分是通过多个实例介绍泰勒公式的应用，包括在高等数学和数值计算方面的应用。二、预备知识及定理1. 柯西中值定理f(b) - f(a)g(b) -g(a)设1函数f (x),g(x)满足是在a,b 1上连续，在a,b内可导，gx) = Of 7t) (x(a, b)则至少存在一点 (a,b)，使 - g (-)2. 拉格朗日中值定理取g(x) =x时候，就有f( J二丄辺血b-a于是就得到了拉格朗日中值定理.3. 连续函数介值定理函数f

7、(x)在闭区间a,b上连续，则在该闭区间必有最大值和最小值fmax , f min，且 fm ax - f m in .那么，对于：f min , f max 在开区间(a,b)内至少存 在一点，使得 f ( J (a： b)特别地，当fmin - 0, fmax0时，在开区间(a,b)内至少存在一点，使得f)= 04. 比较原则设V Un和V Vn是两个正项级数，如果存在某整数N，对于一切n N都 有则(i) 若级数v Vn收敛，则级数v Un也收敛;(ii) 若级数7 Un发散，则级数a Vn也发散.三、一元泰勒公式若函数f(x)在含有x的开区间(a, b)内有直到n 1阶的导数，则当函数

8、在此区间内时，可展开为一个关于(X-X。)的多项式和一个余项的和：,f(X0)2f(n)(X0)n f(n刊(E)计f (x) = f (Xo) + f (Xo)(X Xo) +(X Xo) +十(X Xo) +(X X。)2!n!(n +1)!f(n启岸、其中Rn(X)= f LJ(xX)n1在X和Xo之间的一个数，该余项Rn(X)为拉格(n +1)!朗日余项。1.泰勒公式的推导过程我们知道f(X)= f(Xo)* f(Xo)(x-Xo) :-，根据拉格朗日中值定理导出的有 限增量定理有lim f (xo AX) f (xo) = f (xo).)x，其中误差:-是在x o即 X Xo的前提

9、下才趋于0,所以在近似计算中往往不够精确，于是我们需要一个 能够精确计算的而且能估计出误差的多项式：p(x) =ao a,x - Xo) *2(x - Xo)2an(x -Xo)n来近似表达函数f (x)并且误差为Rn(x)二f(x) p(x)；设多项式 p(x)满足 p(Xo) = f(Xo), p(Xo) = f(Xo厂 p(n)(XoH: f (n)(Xo)因此可以得出a,a1an .显然，p(x)，所以a。= f (x) ；p(x)=a1，所以arf(xo)；p“(xo)=2!a2，所以 a”拶畀(era，所以有n!因此，多项式p(x)的各项系数已经全部求出了，多项式p(x)为:p(x

10、)二 f(Xo)f (Xo)(X-Xo) (X-Xo)2!(n) /n!其实要推出泰勒公式的表达式并不难，关键就是要推出其误差表达式，即余项。2.泰勒公式余项的证明我们利用柯西中值定理来推出泰勒公式的余项(拉格朗日余项)：设 Rn(X)二 f(X)一 p(X)于是有 Rn(Xo)= f(Xo)- P(Xo)=0所以有 Rn(Xo ) = Rn(Xo ) = Rn(Xo )=RnXo ) = 0Rn(X)_ Rn(X)- Rn(Xo)(x _Xo)(nH1)_o (n +1)( J -Xo)nRn( 1)(X-Xo)(n1)1是在X和Xo之间的一个数;对上式再次使用柯西中值定理，可得：Rn( J

11、Rn( J -Rn(Xo)(n 1)( 1 -Xo)n(n 1)( 1 -Xo)n -o)Rn(2)n(n -1)(2-Xo)(nJ)2 是在 1 和 Xo 之根据柯西中值定理可得:间的一个数；连续使用柯西中值定理n 1次后得到:Rn (x)R,(n 1) n(x - Xo)(n 1)()这里是介于X和xo之间的一个数。 (n 1)!由于p(n)(x) = n!an， n!an是一个常数，故pn1)(x)=o,于是得到:(n 1)尺小=f(n1)(x)，综上可得，余项:“4(n 1)!(X -Xo)n 1介于X和Xo之间此余项又称为拉格朗日余项。到此为止，我们知道了泰勒公式的一般形式可以表示为

12、:f(x)二 f(Xo) f (xo)(x -Xo)To)2(n)-严(X-Xo)nRn(x)n!其中Rn(X)为泰勒公式的余项，它可以有一下几种形式:(1)佩亚诺(Pea no)余项Rn(x) = ：(x -Xo)n)施勒米尔希-罗什(Schlomilch-Roche) 余项f (n 1)()Rn(X)(X )7(XXo)q q n!(0 : q乞n 1),介于x和xo之间 拉格朗日(Lagrange)余项Rn(x) 口f ( n 1)(-(n 1)!(x -x)n*介于x和Xo之间 柯西(Cauchy)余项f(n d) ()Rn(X)= (X -(X - Xo)n!介于X和Xo之间(5)积

13、分余项Rn(X):f(n1)(t)(xt)ndt0n!泰勒公式的特殊形式:当取Xo =0的时候此时泰勒公式为：2Xf(x) = f(0) f (0)x f (0)石 2!n(0) Rn(x) n!Rn(x)为相应的余项，该式叫做泰勒公式的麦克劳林展开，也叫做麦克劳林公式； 麦克劳林公式主要应用在一些比较特殊的函数，如三角函数，对数函数等.如：对y =si n x或y = cosx的麦克劳林展开进行求值计算；欧拉公式eiX二cosx i sinx 的证明与应用等等 .运用麦克劳林展开可以得到一些常用的泰勒展开式:2nX彳XXe =1 x2!n!(n 1)!35sin x=x -(-1)n3!5!

14、x2-1(2n 1)!o(x2n 2).62n話川(-1)盒 o(x2n).4!24 x x cosx = 1 -2!In(1 x)二x(1)23+o(xn).=1 X X2 恥7 xn o(xn)1 X四、多元泰勒公式除了上面的一元泰勒公式外，多元泰勒公式的应用也非常的广泛；特别是在微 分方程数值解和最优化上面，有着很大的作用。1.二元泰勒展开引人记号：h=x-x0， t = y-y0则二元函数f（x,y）在（xo,y。）处的泰勒展开为:2- mf(x, y) = f (Xo,yo)(ht )f (x, y)(ht)f(x, y)t ) f(x,y)Rmx : y(h 三+t)f(X0,y)

15、=? ex&yex(xo,yo)2f(h t ) f(Xo, y。)=2:x:y:x(xo, y)t(xo ,yo)h-?2f:x.yht Jt2(xo，yo)(xo ,y)m m rk c fm - k - m-k k=o:x ryk , m-k h t(勺0)CC m(h+t丁)f(xo, yoS C exoyRm是二元泰勒公式的余项由于二元泰勒展开比较复杂，所以在一般的应用之中，只作二阶泰勒展开2.二元泰勒展开的余项与一元泰勒公式类似，二元泰勒公式的余项分别有：（1）佩亚诺（Peanc）余项Rm 二：(x -Xo)m (y - yo)m 拉格朗日（Lagrange）余项taa际市忙 F）

16、m1f（，）（，）是（x，y）和（“）线段上的一点3.多元函数泰勒展开(1) 多元函数一阶泰勒展开多元函数f (X) R；X,X： Rn，则f (X)在X*的一阶泰勒展开为：If(X)二 f(X )f(X ) (X -X ) (X -X )- f(X 班X -X )(X - X )(0 :： V 1)或对于任意的，.0及任意的p Rn，有：f (x + 扎p) = f (x ) +、Nf (x )Tp +o(Ap|)(2) f(X)在X*的二阶泰勒展开式*T1*1* T1 2*Il*2f(X2f(X )+Vf(X )T(X_X 匕(X X 严 f(x )(XX)Wx | )或对于任意的0及任意

17、的p Rn，有f (x r.p) = f (x ) r f (x ) - p g ( p) 一 l 2 f (x )( p) ： ( p 2)多元泰勒公式主要应用在微分方程数值解和最优化上面.五、泰勒公式的应用1.泰勒公式在高等数学中的应用(1)利用泰勒公式求极限cosx - e 2例行求 limx_.x4解：由泰勒公式x224一2x x4、e 2 =1(x )2 824彳 X 4 X 亠/ 4、 cosx =1(x )224因此有2cosx e 2ijm：1144( )x ：(x )824ljmx4112(2)利用泰勒公式求高阶导数例1.2求函数f(x)=x2ex在x=1处的高阶导数f(10

18、0)(1).解：设X二u 1贝U f (x) = g(u) =(u +1)2e(u+)=e (u +1)2euf(n)(1) =g(n)(0)而且eu在u = 0的泰勒展开为：9899100u ,U U U100、e =1 u(u )98!99!100!98991002u u u/ 100从而 g(u) =e (u 2u 1)(1 u(u )98!99!100!故 g(100)(0) = 100!e(丄)98!99!100!=e 10101所以 f(100) (1)二 g(100)(0) =10101 e(3) 泰勒公式在定积分上的应用可利用泰勒展开证明些定积分问题b例 1.3 在a,b上 f

19、(x) 0，且 f (x) :：: 0，试证明 max f (x f(x)dx证明：任取-p,q a,b,-x p,q，利用泰勒公式及条件f ”(x) ： 0，可得f 仁)f(p) = f(x) f (x)(p x)3(p x)2 ： f(x) f (x)( p x)2!f 讯(E )f (q) = f (x) f (x)(q -x) (q -x)2 ： f (x) f (x)(q - x) 2!其中 1, 2p,q则 f(p)(q -x) f(q)(x-p)订f(x) f (x)(p -x)(q -x) f(x) f (x)(q -x)(x- p)=f (x)(q - p)亠 qq所以有 p

20、f(P)(q x) f (q)(x - p)dx ： (q - p) p f (x)dx即f(P)+ f (q)(q 卩) f f (x)dx ( 心)2 p设c a,b,使 f(c) = max f (x)，根据厶及条件 f (x)0a Ixlbbcba f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx严)7C)(f(C)7b)(b c) 2 2 罟(eV 晋(bc)簣(222 bmaxf(x)匸 af(x)dx(4) 利用泰勒公式证明根的存在唯一性例 1.4 设 f (x)在a, 二)上二阶可导，且 f (a) 0, f (a) ： 0 ,对 x (a, ：), f - 0 ,证明：方程f

21、(x)=0在(a,=)内存在唯一实根.证明：因为f(x)_0,所以f (x)单调减少，又f(a)：0,因此x a时，f(x) ： f(a) ： 0 ,故f (x)在(a, ：)上严格单调减少.在a点展开一阶泰勒公式有f()2卞f (x) = f (a) f (a)(x a)(x - a) (a ：: x)2由题设f(a) 0, f( V R连续可微，x*是无约束问题min f(x),(xRn)的一个局部最优解，则x*满足i f(x*) = 0证明：任给p Rn，由局部最优解的定义和多元泰勒展开，对任意充分小的数t 0，有f (x*) 一 f (x* tp)二 f (x*) C f (x*) p

22、 ： (t)不等式的两端同时减去f(x*)后除以t，并令t 0 可得 f(x*)-p _0,-pRn . 特别令p =、f(x*)得pf(x*)一可 f(x*)Wf(x*)30从而，if(x*)=0(ii)定理4.2(无约束问题解的二阶必要条件)设f: Rn R二次连续可微，*. n、.*、,*x是无约束问题min f (x), (x R )的一个局部最优解，则x满足 f (x ) = 0且 2f(x*)半正定.证明：由定理4.1，只需证明l 2f(x*)半正定.任给pRn，由最优解的定义和 二阶泰勒展开，对任意充分小的数t，有*122*2f (x ) - f (x tp)二 f (x ) t

23、 p 讥 f (x )p ： (t )2由t和p的任意性得p f(x*)p_0即 2 f (x )半正定.(iii) 定理4.3(无约束问题解的二阶充分条件)f： RnT R二次连续可微.若x*满 足 f (x ) = 0且f(x )正定，贝U x是无约束问题min f (x), (x R )的一个严格 局部最优解.证明：由于I 2f (x*)正定，故存在常数0，使得对所有的厂 U；(x*)=y Rn | y-x*，：；， 2f(y)正定.由此，对任意 y U；.(x*)，*y = x .由泰勒展开知，存在(0,1)使得*If (y)二 f(X ) 2 (y - X ) 7 f x珂y - X

24、 )(y - X ) f (x )即x*是问题min f (x), (x Rn)的一个严格局部最优解.(2) 泰勒公式在数值最优化算法设计中的应用我们知道最优化算法中我们需要知道两个重要的条件，一个的算法迭代步长，而另外一个就是算法的下降方向d，利用泰勒公式展开，能帮助我们 确定下降算法的方向.例4.1求最速下降法的下降方向.解：f在x(k)的一阶泰勒展开为f(x(k)：d(k)=：f(x(k)：ryf(x(k)-d(k) f)若设v f (x(k) -d(k) : 0则可以知道d(k)为f在x(k)的下降方向.对任意d Rn，由Cauchy-Schwarz不等式，得vf(x(k) |7f(x

25、(k |d当d二d(k)-、f(x(k)是上式不等式成立，这时我们称d(k)为f在x(k)处的最速下降方向5泰勒公式在其他领域的应用分子动力学数值方法广泛应用于计算化学、计算物理、材料科学以及生物科学.等领域中一个经典体系的Hamilton量等于它的总能量2H 二 H(r,p)二 K(P)U(r)八牛 U(r)i 2mi这里K(p)是动能，U(r)为势能，pi是粒子i的动量，mi是粒子i的质量，ri的 粒子i的位置.由Newton第二定律有Fi= miaid2r(5.1)这里Fi是作用于粒子i上的力Fi jiU(r)由H (r, p)的定义，更加一般的运动方程式是dr _ H (r, p)(5

26、.2)* dt 菊 dPi _ 汨(r, p) dtri求解方程组(5.1 )或(5.2)的方法就是分子动力学方法.对此我们仅考虑分子动力学数值方法，其中不考虑分子动力学其他方面Verlet方法Verlet方法是利用泰勒展开的一种求解方法.由泰勒展开式有这里.：t是时间步长，rn =r（nut）,上面两式相加，可得rn 1 二 2rn -算0（-：t4）m然后应用中心差商可得到芍t2)6总结本文主要介绍了泰勒公式在高等数学和数值分析上面的应用，通过列举大量的例题证明，说明了从泰勒公式的推导及其到在各领域上的应用，让我们了解到泰勒公式的重要性，只要我们细心观察，认真去总结，我们就会发现我们的学习

27、 和生活处处都可以找到泰勒公式的影子.参考文献1 张平文、李铁军，数值分析 M ，北京大学出版社， 20072 李荣华、刘播，微分方程数值解法 M ，高等教育出版社， 20083 东北师范大学数学系，数学分析 :第三版 M 高等教育出版社， 20074 赵建，泰勒公式在解题中的若干应用 J ，天中学刊， 2004(02)，54-565 孙燮华，关于泰勒公式的推广及其应用 J ，数学的实践与认识 ，1995(04)， 86-896 陈小春、刘学飞，利用积分证明Taylor公式J,数学的实践与认识，2003(02), 117-1187 数学辞海：第一版M，中国科学技术大学出版社，20028 同济大

28、学应用数学系，高等数学：第五版M，高等教育出版社，20069 周脉东、王金柱，Taylor公式在最优化中的应用J，陕西教育学院学报，2010(04)， 75-7710 耿晓哲，Taylor公式及其应用J，潍坊高等职业教育，2009(03)，45-4611 李董辉、童小娇，数值最优化算法与理论：第二版M，科学出版社，201012 腾家俊、罗剑，数值分析辅导与习题精解 M ，陕西师范大学出版， 200613 美F.施依德，数值分析M，科学出版社，2002致谢本文是在谢骊玲老师是认真指导和修改下完成的，同时这篇文章总结了我四 年学习的一些成果 . 在文章的完成过程之中，谢骊玲老师从开题报告到最后提交 初稿过程之中都给我指正了很多的错误， 才能使我的论文能很好顺利地完成， 同 时也感谢陈兆伦同学帮我纠正了英文摘要的一些语法错误， 在此，我对他们表示 由衷的感谢！许文锋