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1、第五章【1】例6.3.11设A为m阶实对称矩阵且正定，B为mx n实矩阵，BT为B的转置矩阵,试证：BT AB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r B二n。【2】(99130)设n阶矩阵A的元素全为1，则A得n各特征值是 。2 2【3】(95410)5B 已知二次型 f (xx2, x3) = 4x2 - 3x34x1x 4x1x3 8x2x3(1)写出二次型f的矩阵表达式；(2)用正交变换把二次型 f化为标准形，写出相应的正交矩阵答案与提示:(1) f的矩阵表达式为f(X1, X2, X3) =(X1, X2, X3)-2X1X23X3(2) P 二、305、302.30丄v'6-17
2、62二次型f作正交变换二次型f可以化为如下标准形f (X1,X2,X3)二2 2 2y6y2 -6y3【4】(01308)5B 设A为n阶实对称矩阵，r(A)二n, Ajj是A = (ajj)n n中兀素aj的代数余子式(i,j =1,2/ ,n),二次型n Af(X1，X2,，Xn)：ldetAXiXj(1) 记X =(X1，X2/ ,Xn)T，把f(X1，X2/ ,Xn)写成矩阵形式，并证明二次型f (X)的矩阵为A ;(2) (2) 二次型g(X) =XtAX与f (X)的规范形是否相同？说明理由。【5】(99307) 5B 设A为m n实矩阵，E为n阶单位矩阵，已知矩阵BVE，ATA
3、,试证：当，0时，矩阵B为正定矩阵【6】(00309)设有n元实二次型2 2 2 2 f (Xi,X2,Xn)=(XiaiX2)(X2a2X2)(Xn-anjXn)(x.anXj其中ai =(i =1,2，n)为实数，试问：当aa2,，a.满足何种条件时，二次型f(Xi,X2, ,Xn)为正定二次型答案与提示：当aia?a* =(-1)n时，二次型f (捲，x?，)为正定二次型【7】(05313)5B 设 D 二为m n矩阵(1) 计算PtDP，其中P为正定矩阵，其中代B分别为m阶，n阶对称矩阵，CB丿'Em -AC I °En 丿(2) 利用(1)的结果判断矩阵 B _CtA，C是否为正定矩阵，并证明你的结论°B _CTA-*C答案与提示：(1)PtDP= aQT _1(2)B -C A C为正定矩阵
1例6311设A为m阶实对称矩阵且正定重点
