2020与名师对话平面向量基本定理及坐标表示

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1、第二节平面向量基本定理及坐标表示高考概览： 1.了解平面向量的基本定理及其意义； 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算； 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件知识梳理 1平面向量基本定理如果 e1、e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 、，使12a1 22 2，其中，ee不共线的向量 e1，e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，y，2y

2、2x1 1)|a|x1 1.a (2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 AB(x2x1，y2y1)，|AB|x2x1 2 y2y1 2.3平面向量共线的坐标表示设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中 b0，a、b 共线 ? x1y2x2y1 0.1辨识巧记 1一个关注点在同一基底下，向量a 与数对 (，)间建立一一对应关系；在12不同的基底下，同一向量a 所对应的数对不同2向量坐标的两个注意点(1)点的坐标和向量坐标形式相似，但意义差异很大(2)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标双基自测 1判断下列结论

3、的正误(正确的打“”，错误的打“×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底()(2)同一向量在不同基底下的表示是相同的()，满足 (3)设 a，b 是平面内的一组基底，若实数 1 1221a，1b2a2b，则 1212.()(4)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件可以表示成x1x2y1y2.()答案 (1)×(2)×(3)(4)×已知点，向量)2(4，3)，则向量 BC(A(0,1) B(3,2)ACA (7， 4)B(7,4)C(1,4)D(1,4) 解析 设 C(x，y)，A(0,1)，AC(4， 3)，x 4，x

4、4，解得C(4，2)，又 B(3,2)，y1 3，y 2，BC(7， 4)，故选 A.答案A3(必修 4P99 例 8 改编 )设 P 是线段 P1P2 上的一点，若 P1(1,3)，2P2(4,0)且 P 是线段 P1P2的一个三等分点，则点 P 的坐标为 ()A (2,2)B(3， 1)C(2,2)或(3， 1)D(2,2)或(3,1)解析 设 P 点坐标为 (x，y)，由 P 是线段 P1P2 的三等分点得 P1P2 3P1P或P2P13P2P.若P1P23P1P，得(3，3)3(x1，y3)，所3 x1 3，x2，以得所以 P(2,2)；若P2P13P2P，得(3 y3 3，y2，3,

5、3)3(x4，y)，所以3 x4 3，x3，所以 P(3,1)，3y3，得y1，故选 D.答案 D4(必修 4P108 A 组 T7 改编 )已知向量 a(2,3)，b(1,2)，若与 2b共线，则 m()ma nban11A. 2B2 C2 D2解析 由向量 a(2,3)，b(1,2)，得 manb(2mn,3m2mn 3m2n2n)，a2b(4，1)由 manb 与 a2b 共线，得4，1m1所以 n2，故选 C.答案 C同方5(2019 ·长沙模拟 )已知点 A(1,3)，B(4， 1)，则与向量 AB向的单位向量为 _32 4 2解析 AB(41，13)(3，4)，则|AB|

6、334AB15.与AB同方向的单位向量为5(3， 4) 5，5 .|AB|答案 3，455考点一平面向量基本定理的应用11【例 1】如图所示，在 ABO 中， OC4OA，OD2OB，AD与 BC 相交于点M ，设 OAa， OBb，OMa b，则 _. 思路引导 解析 由题意知 OMOAAM，又A、M、D 三点共线，存4在唯一实数 t 使得 AMtAD，OMOAtADOAt(ODOA)(11t)OAtOD(1t)a2tb； 而 OM也可被表示为 OM OBBM，又B、M、C 三点共线，存在唯一实数 m 使得 BMmBC，OMOBmBCOBm(OC OB)1mOC(1m)OB4ma(1 m)b

7、，161t4m，t7，又a 与 b 不共线， 1解得42t1m，m7， 1313OM 7a7b，即 7，7，134777.答案 47应用平面向量基本定理表示向量的方法应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算，基本方法有两种：(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止(2)将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解对点训练 51(2019 ·河南百校联盟质检 )在四边形 ABCD 中， M 为 BD 上靠近 D 的三等分点，且满足 AMxAByAD，则实数 x，y 的值分

8、别为()1 2A. 3，31 1C. 2，2解析 2 1 B.3，31 3 D.4，4 2 AMABBMAB3BD212 AB3(ADAB)3AB3AD，12所以 x3，y3.故选 A.答案A2如图所示，已知AB 是圆 O 的直径，点 C，D 是半圆弧的两个三等分点， ABa，ACb，则 AD()1A a2b1B. 2ab1Ca2b1D.2ab6 解析 (1)连接 CD，由点 C， D 是半圆弧的三等分点，得CD111AB 且CD2AB2a，所以 ADACCDb2a.故选 D.答案D考点二平面向量的坐标运算【例 2】(1)已知 A(1,4)，B(3,2)，向量 BC(2,4)，D 为 AC的中

9、点，则 BD()A (1,3)B(3,3)C(3， 3)D(1， 3)13(2)已知平面向量 a(1,1)，b(1， 1)，则向量 2a2b()A (2， 1)B(2,1)C(1,0)D(1,2) 解析 (1) 设 C(x， y)，则 BC (x 3， y 2) (2,4)，所以7x32，x 1，解得即 C( 1,6)y24，y6，由 D 为 AC 的中点可得点D 的坐标为 (0,5)，所以 BD (03,52)(3,3)故选 B.11133313(2)2a 2，2，2b 2， 2，故2a2b(1,2)故选 D.答案 (1)B(2)D平面向量坐标运算的2 个技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向

10、量加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程 (组)来进行求解对点训练 1(2018 ·贵州调研 )在平行四边形ABCD 中， AC 为一条对角线，AB(2,4)，AC(1,3)，则 DA()A (2,4)B(3,5)C(1,1)D (1， 1) 解析 在?ABCD 中， ACABAD，所以 DAABAC(2,4)(1,3)(1,1)，故选 C.答案C2设点 A(2,0)，B(4,2)，若点 P 在线段 AB 上，且 |AB|2|AP|，则P的坐标为()A (3,1)B(1， 1)C(3,1

11、)或(1， 1)D 无数多个8 解析 设 P(x，y)，由题得AB2AP，而AB(2,2)，AP(x2，y)，故(2,2)2(x2，y)，解得 x3，y1，所以 P 的坐标为 (3,1)故选 A.答案A考点三平面向量共线的坐标表示【例 3】平面内给定三个向量a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)(1)求满足 ambnc 的实数 m，n；(2)若(akc)(2ba)，求实数 k；(3)若 d 满足 (dc)(ab)，且 |dc|5，求 d 的坐标思路引导向量坐标化 由相等向量、共线向量及模得方程或方程组 求出结果 解(1)由题意得 (3,2)m(1,2)n(4,1)，5m4n3，m9，所以解得

12、2mn2，8n9.(2)akc(34k,2k)，2ba(5,2)，16由题意得 2×(34k)(5)×(2k)0，解得 k 13.(3)设 d(x，y)，则 dc(x4，y1)，又 ab(2,4)，|dc| 5，4 x4 2 y1 0，x3，x5，所以解得或x4 2 y1 25，y 1y3.9所以 d 的坐标为 (3， 1)或(5,3)(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：若a(x1，y1)，b (x2，y2)，则 ab 的充要条件是 x1y2x2y10；若 ab(b0)，则 ab.(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数当两向量的坐标均非零时，

13、 也可以利用坐标对应成比例来求解对点训练 1已知梯形 ABCD，其中 ABCD，且 DC2AB，三个顶点 A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点 D 的坐标为 _ 解析 因为在梯形ABCD 中， DC2AB，ABCD，所以 DC2AB.设点 D 的坐标为 (x，y)，则 DC(4,2)(x，y)(4x,2y)，又 AB(2,1)(1,2)(1， 1)，所以 (4x,2y)2(1， 1)，即 (4x,2 y)(2， 2)，4x2，x2，所以解得故点 D 的坐标为 (2,4)2y 2，y4， 答案 (2,4)2已知向量 a(3,1)，b(1,3)，c(k,7)，若 (ac)b，则 k_.

14、解析 依题意得 ac(3k， 6)，由 (ac)b 得 63(3k)，解得 k 5.10答案5课后跟踪训练 (二十九 )基础巩固练一、选择题1 1，e2 为不共线的两个向量，下列命题正确的个数为 ()e e1ue2(，uR)可以表示平面 内的所有向量；对于平面内任一向量，使1ue2 的实数对 (，u)有无穷多个；若向aae量 u1e2与 u共线，则有且只有一个实数 ，使得 u1 21e12e12e21e1(21u2 2)；若实数 ，u 使得 1ue20，则 u0.eeeeA 1 B2 C3 D4解析 对于、，由平面向量基本定理可知正确， 错误；对于，满足条件的有无数多个，故错误；对于，因为e1

15、 与e2 不共线， e1e20，得 0，故正确故选 B.答案 B2已知向量 a(1,2)，b(1,1)，则 2ab 的坐标为 ()A (1,5)B(1,4)C(0,3)D(2,1)解析 a(1,2)，b(1,1)，2ab(2,4)(1，1)(1,5)故选 A.答案 A3若向量 a(2,1)，b(2,3)，则以下向量中与向量 2ab 共线的是 ()A (5,2)B(4,10)C(10,4)D(1,2) 解析 因为向量 a(2,1)，b(2,3)，所以 2ab (2,5)因为 4×510×20，故向量 (4,10)与向量 2ab 共线，故选 B.11答案B4(2018 

16、3;广西柳州模拟 )已知向量 a(1,2)，b(3，2)，若 (kab)(a3b)，则实数 k 的取值为 ()11A3B.3C 3 D3解析 kabk(1,2)(3,2)(k3,2k2)a3b(1,2)3(3,2)(10， 4)，则由 (kab)(a3b)得1(k3)×(4)10×(2k2)0，所以 k 3.故选 A.答案A5在平面直角坐标系xOy 中，已知 A(1,0)，B(0,1)，C 为坐标平面内第一象限内一点且AOC4，且 |OC|2，若 OCOAOB，则 ()A2 2B.2C2D4 2 解析 因为 |OC|2，AOC4，所以 C(2， 2)，又OCOAOB，所以

17、(2，2)(1,0)(0,1) (，)，所以2， 2 2.故选 A.答案A二、填空题6已知平行四边形ABCD 的顶点坐标分别为A(4,2)，B(5,7)，C(3,4)，则顶点 D 的坐标是 _ 解析 设 D(x，y)，A(4,2)， B(5,7)， C(3,4)，12AB(1,5)，DC( 3x,4y)四边形 ABCD 为平行四边形，3x1，ABDC，得4y5.解得 x 4，y 1.点D 的坐标为 (4， 1)答案 (4， 1)7设向量 a，b 满足 |a|2 5，b(2,1)，且 a 与 b 的方向相反，则 a 的坐标为 _ 解析 b(2,1)，且 a 与 b 的方向相反，设 a(2，)(&

18、lt;0)|a|25，222420，4， 2.a(4， 2)答案 (4， 2)8已知 A(1,2)，B(a1,3)，C(2，a1)，D(2,2a1)，若向 量AB与CD平行且同向，则实数 a 的值为 _ 解析 解法一：由已知得 AB(a,1)，CD(4，a)，因为 AB与CDa4，平行且同向，故可设 ABCD(>0)，则(a,1)(4，a)，所以1a，a2，解得1故所求实数 a2.2.13解法二：由已知得 AB(a,1)，CD (4，a)，由ABCD，得 a240，解得 a±2.又向量 AB与CD同向，易知 a 2 不符合题意故所求实数 a2.答案2三、解答题9已知 A(2,4

19、)，B(3， 1)，C(3，4)设ABa，BCb，CAc，且 CM3c，CN 2b，(1)求 3ab3c；(2)求满足 ambnc 的实数 m，n；(3)求 M，N 的坐标及向量 MN 的坐标 解由已知得 a(5， 5)，b(6， 3)，c(1,8)(1)3ab3c3(5， 5)(6， 3)3(1,8) (1563， 15 324)(6， 42)(2)mbnc(6mn， 3m8n)， 6mn5，m 1，解得3m8n 5，n 1.(3)设 O 为坐标原点，CMOM OC3c，OM 3cOC(3,24)(3， 4)(0,20)，M(0,20)又CNONOC 2b，14ON 2bOC(12,6)(3

20、， 4)(9,2)，N(9,2)MN(9，18)10已知 a(1,0)，b(2,1)，(1)当 k 为何值时， kab 与 a2b 共线；(2)若AB2a3b，BCamb 且 A、B、C 三点共线，求m 的值 解(1)k abk(1,0)(2,1)(k2，1)，a2b(1,0)2(2,1) (5,2)k ab 与 a2b 共线，2(k2)(1)×50，1即 2k450，得 k 2.(2)解法一：A、B、C 三点共线，ABBC，2，3即 2a3b(a mb)，解得 m2.3m，解法二： AB2a3b2(1,0)3(2,1)(8,3)，BCamb(1,0)m(2,1)(2m1，m)，A、

21、B、C 三点共线，ABBC，38m3(2m1)0，即 2m30，m2.能力提升练11(2019 ·江西南昌十校二模 )已知向量 a(1，2)，b(x,3y5)，且 ab，若 x，y 均为正数，则 xy 的最大值是 ()1525A2 6B.122525C.24D. 6解析 ab，(3y5)×12x0，即 2x3y5.x>0，y>0，52x3y26xy，25xy24，当且仅当 3y2x 时取等号故选 C.答案 C12(2019 ·湖南长沙模拟 )在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(3，动点满足0)POAOB，其中 ，0,1 ，B(1,2)OP1,2，

22、则所有点 P 构成的图形的面积为 ()A1 B2 C. 3D2 3 解析 以 OA，OB 为邻边作平行四边形OACB，如图所示，OPOAOB，且 ，0,1 ，1,2 ，点P 位于ABC 内部 (包含边界 )1所有点 P 构成的图形的面积为 2×3×23.故选 C.答案C13(2019 ·九江模拟 )P a|a(1,1)m(1,2)，mR ，Q b|b (1，2)n(2,3)，nR 是两个向量集合， 则 PQ 等于 _ 解析 P 中，a(1m,12m)，Q 中，b(12n，23n)161m12n，m 12，则得12m 23n.n7.此时 ab(13， 23) 答案

23、( 13， 23)已知点，且 14OAtABO(0,0)A(1,2)B(4,5)OP.(1)求点 P 在第二象限时，实数 t 的取值范围；(2)四边形 OABP 能否为平行四边形？若能，求出相应的实数t；若不能，请说明理由 解O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，OA(1,2)，AB(41,52)(3,3)(1)设 P(x，y)，则 OP(x，y)，若点 P 在第二象限，x<0，则且(x，y)(1,2)t(3,3)，y>0，x13t，13t<0，21 <t< .y23t，23t>0，33(2)因为 OA(1,2)，PBOBOP(33t,33t)，若四边形

24、 OABP 为平行四边形，则 OAPB.33t1，由得此方程组无解，33t2，四边形 OABP 不可能为平行四边形拓展延伸练1715 (2018 ·广东化州二模 )在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(2,3)，B(3,2)，C(1,1)，点 P(x，y)在 ABC 三边围成的区域 (含边界 )，则的最大值为内，设 OPmABnCA ，R)()(m n2m nA 1 B1 C2 D3 解析 由已知得 AB(1， 1)，CA(1,2)，设 OP (x，y)，xmn，OPmABnCA，2mnxy.y m2n，作出平面区域如图所示， 令 zxy，则 yxz，由图象可知当直线 yxz 经过点 B(3,2)时，截距最小，即 z 最大z 的最大值为 321，即 2mn 的最大值为 1.故选 B.答案 B设16(1， 2)，OB(a，1)，OC(b,0)，a>0，b>0，OAO为坐标原点，若A， ，C三点共线，则12的最小值是 _Bab 解析 据已知可知 ABAC，又AB(a1,1)，AC(b1,2)，2(a1)(b1)0， 122ab4a2bb4ab 4a， 42· 2a b1abab4aba b18b4a11128，当且仅当 a b ，即 a4，b2时取等号，ab的最小值是 8.答案819