行列式的计算

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1、0i行列式的计算方法摘要：行列式计算的技巧性很强理论上，任何一个行列式都可以按照定义进行计算，但是直接按 照定义计算而不借助于计算机有时是不可能的本文在总结已有常规行列式计算方法的基础上，对 行列式的计算方法和一些技巧进行了更深入的探讨总结出“定义法”、“化三角形法”、“滚动消去法”、“拆分法”、“加边法”、“归纳法”、“降级法”、“特征值法”等十几种计算技巧和途径.关键词：行列式计算方法行列式是研究某些数的 “有规”乘积的代数和的性质及其计算方法 它起源于解线性方程，以后 逐步地应用到数学的其它领域 行列式的计算通常要根据行列式的具体特点，采用相应的计算方法 这里介绍几种常见的，也是行之有效

2、的计算方法 1. 对角线法则对角线法则是行列式计算方法中最为简单的一种，记忆起来很方便，但它只适用于二阶和三阶 行列式，四阶及以上的行列式就不能采用此方法.2. 定义法根据行列式定义可知，如果所求的行列式中含的非零元素特别少（一般不多于2n个），可以直接利用行列式的定义求解，或者行列式的阶数比较低（一般是2阶或者3阶）如果对于一些行列式的零元素（若有）分布比较有规律，如上（下）三角形行列式以及含零块形式的行列式可以考虑用定义 法求解.例1计算行列式0 0 0 10 0 2 00 3004 000这是一个四级行列式，在展开式中应该有4=24项但是由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少了我

3、们具体地来看一下展开式中项的一般形式是aijia2j2a3j3a4j4 显然，如果ji =4，那么3ih = 0，从而这个项就等于零因此只须考虑ji =4的那些项；同理，只需考虑j2 3 ,-2 , j4 i这些列指标的项.这就是说，行列式中不为零的项只有ai4a23a32a4i这一项，而（432i）6，这一项前面的符号应该是正的.所以0 0 0原式=0 020 3 04 0 0i0=i 2 3 4 = 2403.化为三角形计算法 例2计算行列式1-91371-91371-9137-25-130-1325170-1325173-15-5026-34-260016828-7-10026-39-2

4、4001710解:1-9137-25-133-15-5287-101-91371-91370-1325170-13251700-1-200-1-2001710000-24二-312但化三角形这一方法F面介绍的1、2、3、这个例子尽管简单 形的方法又有很多种 化为三角形外，还有其它的作用.3.1各行（或列）加减同一行（或列）的倍数适用于加减后某一行（列）诸元素有公共因子或者三角形的情形 例3计算行列式,在计算行列式中占有十分重要的地位4这三种都可以作为化三角形的几种手段,而化为三角,当然它们除231 xy1X21Xn1 X21a1X22a1X2 yna1 Xny11Xny21 Xnynd =解：

5、当n _ 3时，各列减去第一列得：xyxg-yj人仏-yjX21aX2(y2-yjX2(yn -yjXnWXnSyJXn(yn yJ=0之所以等于零，是因为有两列成比例. 另外，当n =2时，1X2%1 X21 X22=(X2 -xj(y2 - yj这个例子还附带说明，有时题目并没有指定级数，而行列式之值与级数有关时，还需进行讨论说明.3.2各行（或列）加到同一行（或列）上去适用于各列（行）诸元素之和相等的情况例4计算行列式解：把所有各列都加到第一列上去,得：=a (n -1)ba b=a (n - 1)b(a-b)a+ (n 1)bbbb1bbba+ (n 1)babb=a +(n 1)b1

6、abbaaaaaa-a+ (n 1)bbba1bba1bbb3.3逐行（或列）相加减 有一些行列式能通过逐行相加、减得到很多的零。这样就使得行列式计算变得简便的多 例5计算行列式1 -320001-3200 0 00 0 00 0 00 0 00000000033331-32001-3201100 0 111-100 000001-10 00000a0919-1900S0S0Dn七=0000 1-1000000 01-1012222? 2心2心+1_ n 丄-2 +32 +60122? 2心2心2 +12 +32加到后一列,再将最后一行乘以（-2），加到倒数第二行，其余行都不变，得:解：从第一

7、列开始，每列乘以得：100-11 -010-1100-1Dn 42 =00000000100001222按取后列展开，得100100Dn -B= (2n +3)30000113.4行（列）归一法先把某一行（列）全部化为1,再利用该行从而求出行列式的值.例6计算n阶行列式D = 0000 0000 00a00a1-100 01-10 0110n_3n _2n_1n222+12 +300 -000000 -000010 -00001;a9= 3(2n +3)00 -010000 -001011 -1123（列）以及行列式的性质将原行列式化为三角形行列式,xaaax aiaaaax解：它的特点是各列

8、元素之和为（n- 1）a x，因此把各行都加到第一行，然后第一行再提出（n -1）a x，得111D =( n_ 1)a+xaaxaaax将第一行乘-a分别加到其余各行，化为三角形行列式，则1 1=(n _ 1)a x(x _ a)n斗0 x aD=( n- 1)a+x:0 04.特殊行列式4.1爪型行列式形如：a。b1b2bnCa1C2aa2+Cnantnanbnana2的行列式，化为三角形行列式再计算.例7计算行列式称为爪型行列式.这种形式的行列式主要是利用对角线上的元素消去“横线”bnab2a1 b1G a。或“竖线”，a0b1b2Ga1C2a2bn(a 7(i =1,2,n)an解当a

9、j =0（i =1,2，n）时，将第i+1列乘以-(9)(i =1,2,n)后都加到第 ai1列,得三角型行列式:aonJaii吕0bibn例8计算行列式a2an2 xnnT aj(a 八罟) j吕i=12-y分析：一般除主对角线上的元素，其余元素全部相同的行列式都可以化为爪型行列式，利用例 6结论计算其值.解Ci(-1)0D 2 x -x2-x2020-x -x00y00y（2心弋2亍+2昌 mdy24.2三对角线型行列式形如:biab2a2的n阶行列式，是指主对角线上元素与主对角线上方和下方第cn Jan Jbn条次对角线上元素不全为零而其余元素全为零的行列式， 算可以直接展开得到两项递推

10、关系式，然后变形进行两次递推,例9计算n阶行列式称为三对角线型行列式.这类行列式的计或利用第二数学归纳法证明.解按第一行展开得ababDnababab(a = b)Dn =(a b)Dnab1)1 2二(a b)Dnj - abDn/ab变形 Dn aDn=b( Dn4 -aDn J,由于Dr = a b, D2=(a b) ab2ab b ，从而利用上述递推公式得Dn -aDnb(Dn4 -aDn=b2(Dn/ -aDn J h =b2(D2 -aDJu bn故有Dnbnabn，bn= aDn 4 bn =a(aDn / bn j bn =a2D=an JD1 anb2abn，bn _n10

11、证明cosa2cosa 11 2cosa 1二 cosna2cosa 11 2cosa按第n行展开得cos a 112 cos aDn =2cosaDn二+(1)n*z匕1= 2cosaDnJ1 - Dn/2cosa 01 1采用第二数学归纳法证明n =1时，D1 =cosa，结论成立.设 n _ k时，结论成立.则当n = k 1时，有Dk 4 = 2cosaDk-Dk=2cosacoska-cos(k-1)a = cos(k 1)a,故有归纳假设知Dn二 cosna4.3 Hesse nberg形如：型行列式aoc1b1a1b2a2bnC2a2ab2Gbnan的行列式，的三线型行列式，称为

12、 行列式性质化简并降阶.11计算n阶行列式anan J.a2x a1即除一对角线及其相邻的一直线和最边上的一行或一列这三条直线外其余元素全为零 Hessenberg型行列式这一类行列式可以直接展开得到递推公式，也可利用-1-1Dn-1按第一列展开得-1二 XDn：1(-1严二 XDnx -1Dn 二 xDn4 an 二 二 x D,二(xDn,n-2a2x2an Jan 二 X Dn,a.anan4xan =Xn寂，a.x an12计算n阶行列式Dn1231 -12 -2n -1nn - 2-(n - 2)n _1_(n _1)解将第1,2, ,n-1列加到第n列，得123n -1n(n 1)

13、21-12-2+ +n -2-(n -2)n -101-12匕+2J- _(n_2)n 14.4= (-1)1n(n 1)!2两线形行列式例13计算行列式印0bi a20 b200Dn =-a-000 bn_1bn00 an解：按第1列展开得a2b2a0Dn = a100 bn00 an结论对于形如:b10 0na2b20+ bn(-1)a00 bn4n -*1二时2an (-1)n bdbna1b000aa2-b20a000bn00ana100bnbaa2 a0-0a00an a000bn aana100b10a200aaaa00an1 0b00an00bia100a20aaaabn 4昭0

14、0an00bn等的“两线形的行列式”可以直接展开降阶.4.5利用范德蒙行列式计算范德蒙行列式是一类特殊的行列式，利用范德蒙行列式公式计算某些行列式时，要求行列式必 须具有范德蒙行列式的特点，或类似于范德蒙行列式的特点，这样也可以将所给的行列式化为范德 蒙行列式，然后再利用公式计算出结果.例14设f(x)=c(必CnXn.用线性方程组的理论证明，若是f(x)有n1个不同的根,那么f (X)为零多项式证明：设 印，玄2,an 1为f(x)的根，且ai =aj(i = j).则将根代入多项式得到如下线性方程组：”c0 +碍 +c；a2 + +cna： =0c0 Ga2 c；a；cna； = 0Co

15、- can .1ga；.!一0X1=0以C0,Ci,c；,，Cn为未知量，则线性方程组的系数矩阵为:1印J a1na11a2aJ a2ana2a=n (印一寺)式01百丈空*1an dfan卅nan -+因为齐次线性方程组的系数矩阵不为0,故系数矩阵只有零解，即：C0 = Ci = Cn = 0所以f(x)为零多项式.5. 降阶法5.1 一般降阶法根据行列式理论中的拉普拉斯定理，行列式的计算可转化为k阶子式及其相应的代数余子式的乘积之和.但此方法计算量偏大，仅适用于行列式中元素为 0较多的情形.同时，涉及一些比较复 杂的、元素含文字或未知量的行列式，仅用此方法是不够的.例15计算四阶行列式3

16、2-2-70-1-3 01563-4102解：观察行列式，可以选择第二行展开，但是第二行有两个非零元素，先用性质将-3也化为零，即卩2-2-1-3561019-16-93-39143- 700132010(-1)21-4-119-39-8-9-3-1614二-358-8-7十 1) (-1)2 2-4-9-35.2利用公式降阶公式1设A ,B都是n阶方阵，则有证明：由于-En0 A+BEnjl 0A- B两边去行列式，得En0A BEn0-EnEnB AEnEnA B0ABa-b例16计算行列式解利用公式1b 2a-b 02a b0-b= (b2 _4a2)b2公式2设A，B，C均为n阶方阵，

17、则(T)n C Br行，在它的所有 n阶子式中，除C证明：把拉普拉斯定理用于上式的后夕卜，其余至少包含 一列零向量，从而值为零.而C的余子式为B ,且C位于整个矩阵的第 n 1, n 2,，n n行,第1,2,小列，因此二 C(_1)sBs=(n +1)+( n+2) + (n+n )+(1 +2+_ +n)其中 22n 2(1 2n)二n 偶数即有2= (-1)nC B例17计算行列式a11a12a13a0ba21a22a230a0a31a32a3300aba00000ba00000b000解 直接利用行列式的性质或行列式展开进行计算是相当繁杂的，而由公式2b a 0a 0 b原式=(_1)

18、3.0 b a*0 a 00 0b0 0a5.3利用拉普拉斯定理定理1:设在行列式 D中任意取定了 k（1岂k乞n -1）个行.由这k行元素所组成的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D .证明：设D中取定k行后得到的子式为 M1,M2,，Mt,它们的代数余子式分别为几，人2,，At,定理要求证明D =M1A1M2A2MtAt根据行列式D的任一个子式M与它的代数余子式A的乘积中每一项都是行列式D展开式中的一项，而且符号也一致，所以M匚A中每一项都是 D中一项而且符号相同，而且M j A和M j Aj （i工j）无公共项因此为了证明定理，只要证明等式两边项数相等就可以了 显然等式左

19、边共有n!项，为了计算右边的项数，首先来求出t .根据子式的取法知道kn!tCn k!(n - k)!因为Mi中共有k!项，A中共有（n-k）!项所以右边共有t k! （n - k）!二 n!项定理得证.例18求行列式-1解：在行列式 D中取定第一、12,M 2 =11,M3 =140-10201二行得到六个子式:M121,M 5 =24,M 6 =14-12-1121M4它们对应的代数余子式为A =(-1)(12) (12)mm；,A =(_1)(1 2) (1 4)m3 二 m3,A5 =(-1)(1 2)d 4)M5 = _M5,a2 =(一1)(12) (1 3)m2 二-m2,A4

20、=(-1)(1 2) (2 3)m4 二 m4,A 十 1)(12) (3 4)M6=M6.根据拉普拉斯定理1 21 31 10 -13 10 22 11 32 4-1 20 1-1 101=M/ M2A2 亠亠 M6Aj11+141 10032101十013=(-1) (-8)-2 (-3) 1 (-1) 5 1-6 3 (-7) 1 -8 6-1 5-18-77.从例子来看，用拉普拉斯定理来计算行列式一般是不方便的.这个定理主要是理论方面的应用.6. 析因子法如果行列式有一些元素是变量x的多项式，那么可以将此行列式看作一个多项式f（x）,然后利用多项式理论，求出f（X）的互素的一次因式，进

21、而求出行列式值的方法，称为“析因子法”例19计算行列式: 知，f(x)有因式x_1、x_2，且f(x)关于x的最高次数为 4，故解：可以把原式看成关于变量112312 -X22323152319 一 xX的4次多项式f（X）由f(-1)二-2f(x) =k(x_1)(x 1)(x_2)(x 2)又由原式知，f(x)中含x4的项为(2-x2H9-x2)及-4(2-X2)9-X2)，故x4的系数为一 3 .因此，k = -3，从而原式二3( x21) (x2 - 4).例20计算行列式:123n1 x a 3n12 x anI A A - ,- ,123x a解：可以把原式看成关于变量x的n-1次

22、多项式f (x)，由于f(2 - a) = f(3-a)二=f(n - a) = 0故f(x)有因式x-(2-a)、x-(3-a)、x-(n-a),且f (x)关于x的最高次数为 n-1,从而， f(x) =k(x a-2)(x a-3)(x a -n)，由原式知，原行列式关于 x的最高次项的系数为 1，故 k 1 .因此，原式 (x a - 2)(x a -3) (x a - n).7. 加边法加边法是把原行列式添加一行一列 主适用于除主对角线上元素外 (1)首行首列(2)首行末列(1)添加在末行末列 计算行列式例21,且其值不变，所得的新行列式反而容易求出其值.该方法,各行(列)对应的元素

23、分别相同的题型.添加行与列的方式一般有五种(3)末行首列(4)末行末列以及(5) 般行列的位置.1a111 a21 an1an解:1 +a11 111a10 00111 +a2 1110a2001一 - -11 1+an1100 an0111 11 +an100 0an100 001-1-1-1-11Dn10 00110 00001 00101 00000 101n=n ai700 10000 01100 010-1_-1亠-4n 1丄二1亠-411 +三一aia2anana1a2an _1anaiain=ni =1二a(1、i Ji J（2 ）添加在一般位置例22计算行列式解：通过添加行列得

24、:11q1X1X2Xn222DnX1X2Xn=iaan _2n_2n _2X1X2XnnnnX1X2Xn11 -11X1X2Xny2222X,X2XnyDn =- -n_2n _2n_2n_2X1X2Xn yn_1n .1n_1n_1X1X2Xn ynnnnX1X2Xny易见Dn ,是范德蒙行列式，则nDn 1 = (y - Xi). (Xk - Xj)i =11百峠色而行列式Dn的值为Dn 1按最后一列展开式 yn4项的系数乘以（T）2n18. 拆分法使新得的行列式便于计本法主要依行列式的性质，将给定的行列式表为几个行列式的和算如果一个行列式的每一列的所有元素都可以写成这样的两项之和，使得其

25、中某列的每个元素的第1项（或第2项）与另一列对应兀素的某一项相冋或成比例，则一般可考虑用“拆分法”例23计算当门色3时aHb1c1 a2十昵an +bG印 +b2G anbbbannbbban：n0aa10aa 0b0a1b0a0axbab90a1abab90a0abbb1n：bbbannn列乘（-b）加到其余各列上,将第对上面的第一个行列,对第二个行列式按第n列展开，最后可得-b0a b-baba_b110ba0a aaaDn = a00-b10b0a-a-a”-”000 1n对bbb0(n A) (n A)nn -4a( -b) aDn jn -1-a( -b)aDnb baaabaaab

26、aaab0aab0aa00aaDn =bba0aaabba0aa0b90aabbb0n垢bbb0n冷0bb0Dn按下面方式拆项,n：n这样，我们获得一个递推公式: 如果将D又可得到29类似于前面的方法可得另一个递推公式:Dn =b(-a)n-bDn联立上述两个递推关系式Dn = a(-b) - - aDn jDn =ba)nJ-bDndCasd2n -2:Dn 二 2： (D2当a =b时，解得Dn =(-1)nab(a2 anJ3bvbn bn)= (_1)naba -当a三b时，解得n2 n_2n_2n_2n_2nDn =(-1) a (a a a a )=(-1) a9. 递推与归纳这种

27、方法是根据行列式性质，把一个n阶行列式表示为一个或若干个具有相同形状但阶数较低的行列式的关系式，再利用关系式推出这个n阶行列式的值一般情况下，主要方法有：递推法1）递推公式法就是先将行列式表示两个（或几个）低阶同型的行列式的线性关系式，再用递推关系及某些低阶（2阶,1阶）行列式的值求出 D的值该方法适用于行（列）中0较多的或主对角线上、 下方元素相同的题型.归纳法2）当行列式已告诉其值 ，且值与自然数有关时，一般用数学归纳法证明结果的正确性 .如果 未告诉结果，也可由递推关系式和前面几个低阶行列式的值，通过观察猜想原行列式的值 .然后用数学归纳法证明猜想的正确性 1）禾U用已给的行列式的特点，

28、建立起 n阶行列式与n-1阶行列式（或更低阶）行列式之间递推 关系式，利用此关系式求行列式的值降阶递推法，常见的有两类：（1） Dn “Dn型，此时根据递推关系有：Dn =|n4D1（2） Dn = pDn 4 qDn/（n EqO）型，此时我们不妨设 二，：是方程x2 - px - q = 0的根，则由根与系数的关系，得 - p - q，将其带入 Dn = pDnJ qDn中，有：Dn - 0 厂 （Dn4 - 2（Dn- 口）（D Q）（1）DnDn 厂Dn4-：DnA （Dn Dn；）二 二（D： D1）（2）下面分两种情况进行讨论：Casd : ：，由（1）和（2）得：时小（0）一2（

29、0）Case2=，由(1)和(2)得:D Dn4 : (D： D1)一：0)二二:n*D1 (n 1)： n(D2 -： D1)（1 ）利用Dn，Dn斗进行递推xa1axa?ana?anDn屮=a-aaa1a?a3ana1a?a3xxa1a?an +0xa1a?a1xa?an +0a1xa?Dn+ =a-a99aaa1a?asan +0a1a?asa1a?asan +(x_an)a1a?as解:ananxaia?0a1xa?0a2 a3aia2a30X -anxa1aixa?a?11x a0a 一 a?x a?a? 3sa as=an:-am+ (X_an)Dn =an-aa1a?as 100

30、0a1a?as1000an(X-an)Dnn二anl 丨(X -aj (x -an)Dni A而 D1 = XD2 二a,x -aj (x -ajx = (x -aj(x ajD3 = a? (x aj(x a?) (x a2)D2 = a2(x -a)(x -a?) (x - a2)(x - aj(x a1) =(x a1 a?) (x _aj(xa?)根据递推关系式可得Dn =(x 印 a?an)(x a1)(x a?) (x a.)(2 )利用 Dn,Dn4,Dn/进行递推例26求行列式2 1 0 0 012 1 0 0Dn0 1? 0 0999990002100012解： 由于Dn=2

31、Dn-Dn ；则不妨设:-,一：是方程X? - 2X 仁0的根，则:T曰 于是:Dn =15 十(n _ 1)1n/(D2 -1DJ =(2 n +(n - 1)D2其中：2 1D = 2 | = 2, D2 = 41=31 2所以:Dn =(2 -n)Di (n- 1)D2 = 4-2n 3n = n 12100012100一 0 1 2 0 0 原行列式=：:：=n+12）归纳法例27计算行列式a + PaP0 001a + PaP 00Dn =031a + Ps 00（。式 B）000 1a + P解：按一行展开得a + PaP 001aP 001a + P00-aP0a + P003-

32、33333300 1a + Pn-100 1a + PDn =(：)n 4后一行列式按第一列展开，得递推公式Dn 十)DnUm (n -3)(1)31易于算出D2-3D34代入递推公式得于是自然猜想D4 =（、）-aP肿5Dn证实这个结论，可以利用第二归纳法此处从略10.作辅助行列式例28设fi（X）, f2（X）, fn（X）为次数不超过n-2的函数，设 冷,2,，n为任意数，证明#人（1）皿2）-Wn）f2（： 1）af2（：2）-f2（： n）afn（： 1）fn（：2）-fn（： n）=0解法一设fl（x） TiXn_2aj2XnJ3 ax -為那么，由ana12a1 nda1n 4a

33、21aa 22a2nda2n 1aan1an2 ann -2ann00n -2 -2n； a2n -2 Ctnn；an马上得证.解法二刚才是作两个辅助行列式,现在作一个新行列式Dn（X）fl（X）f2（x）fl（： 2）f2（2）fl（： n） f2（n）f2（X）fn（2）fn（n）f（ 1）皿2）n）f2（： 1）f2（：2）af2（： n）fn（1）fn（2）fn（n）由题设不难得知Dn是x的不超过n-2次的一个多项式，然而它有所以：Dn(x)=O 特别有13.微积分法33f1 (%)血2)fgn)Dn (。1)=f2 (。1)f202)f2(dn)a=0fn (。1 )fn02)fn

34、n)证毕.11.滚动消去法 当行列式每两行的值比较接近时，可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的若干倍，这种方法 叫作滚动消去法一般利用此方法后，最好在化简后行列式的第一行或者列能产生较多的零，以便 利用降级法来做.例29计算行列式123n -1n12321n -2n -11-1-1D =3a291 an 3n -2a=1i19-1ann 1n_221111解：从第二行开始每行减去上一行，有123-11231nnnnn - 1n-1-1-1-1= (-1)i(n1)2心123n -1n212 n2n 1D =392a1！an-3n-29nn 1n_221A二12n .故只要能求出矩阵A的全证

35、明：A可逆当且仅当它的特征值全部为零.12.特征值法 设1, 2,，n是n级矩阵A的全部特征值，则有公式部特征值，那么就可计算出A的行列式.例30若, 2,，n是n级矩阵A的全部特征值,证明：因为 A = T 2， n ,贝y A是可逆的 = A =0= i2n=0= -0(1/ ,n)例31计算行列式x20000x200Dn =00x00000x22000x解：易知Dn的结果是一个关于未知参数x的多项式，根据 n阶行列式求导公式:fn(x)af12(X)-f1n(x)adfi1(X)fi2(X)fin (X)dx-aafn1(X)fn2(X)fnn(x)下面对它求导：x200X00x20dn

36、:00X0dx1i40200X2设 Dn = f (x)，则(x)二 nxn，所以:fn(x)af12 (xaf1n(x)an孚 fi1(x)-J-Jfi2(X)fin (x)dxadxIdxIfn1(X)fn2(X)fnn(x)20 0 0X2 0 0aaan丁 nn=L x = nx0a0 1aa 0700 0XJ f (x)dx = xn +cf(x)二又当x =0时，f (0) =(-1)n2n，所以c十1)故原行列式的值为Dxn(-1)n42n.其各元素的代数余子式容易计算的情a11a12a1 nD =a21a22a2n,D1 =a9an1an2ann14. 换元法这种方法应用于当以

37、同一个数改变行列式的所有元素时 形.它基于下面的性质，设a11xa21 xaa n1 xa12xa22 xaan2 xam xa2nxaannx39则0 =D +x Aj，其中Aj是元素aj的代数余子式.i,j4例32计算行列式aia2a3Dn解：把Dn的所有元素都加上 -x得:a? - xan XD的非主对角线元素的代数余子式等于零 余元素的积所以，而每一个主对角线元素的代数余子式等于主对角线其例33求证XibX2b证明nDn =(印-X)g -X)X、i吕(ai -X)佝- X)(ai 1 - X)(an - X)=x _x)(a2X3作行列式XnD(x)1 1_x)(an _x) - +

38、I X 6 Xaf(b) bf(a) , f (x) = (Xi -x)(X2 -x) (Xn -x)(a= b)a -b片 Xa xa xa xb xx2Xa xa xb xb xaX3xaa xab xb xb xXnXD（-b）二f （b）.根据行列式的性质可知D(x)可见 D(-a)二 f(a),D（x）是x的一次多项式，所以可令D（x）二ex - d，又因为D（0）= d =D，所以D(-a) - -ca D = f (a);D(-b) - -cb D =f(b)所以:af(b)-bf(a)D 二-a -b注释：以上几种方法已将 n阶行列式的计算方法大部分囊括在内，虽然方法很多，但不

39、难掌握.我们解答问题时，要重视方法分析，着重培养解决问题的能力和技巧，形成良好的数学思维，在今后 的数学学习中应该多多注意.参考文献：1 王萼芳，石生明高等代数(第三版)【M 北京：高等教育出版社，2003:181 320.2 钱吉林.高等代数解题精粹(修订版) 【M .北京：中英民族大学出版社，2002:189.3 钱吉林行列式的计算技巧【J】华中师院学报，1840, Vol.16(3):103111.4 张军生一类递归沂列式的计算方法【J】唐山师专学报，1998, Vol.20(5):1516.徐安德行列式的两种计算方法探究【J】科技信息，2011 ( 33) : 288335.杨鹏辉行列

40、式的计算技巧【J】宜春学院学报，2011 , Vol.33(4):2730.7 丁冰三线型行列式的计算【J】科技通报，2012 , Vol.28(2):15178 樊正华，徐新萍浅谈行列式的计算方法【J】.江苏教育学院学报(自然科学)，2011 ,Vol.27(1):1516.9 王正文高等代数分析与研究M 济南：山东大学出版社，1994.10 张禾瑞，郝新高等代数M北京：高等教育出版社，1983. 130.11 吴赣昌线性代数M 中国人民大学出版社， 2009.12 陈志杰.高等代数与解析几何：上册M.2版.高等教育出版社，2009.13 段向阳浅谈行列式的几种计算方法J 湖南冶金职业技术学院学报，2008 (12) : 42- 45.